Bijektionen auf echte Teilmengen
Ralf Goertz
Mengen als solche, zu denen es eine Bijektion mit einer echten Teilmenge
gibt, auf P(IR) anzuwenden, oder auf P(P(IR))? Für IN und IP ist es ja
einfach
f(n)=2*n bzw g(x)=exp(x)
Im ersten Fall hilft die Abzählbarkeit, im zweiten Stetigkeit und
Monotonie. Für IN ist es auch einfach möglich, dass das Komplement der
echten Teilmenge endlich ist: f'(n)=n+1. Bei IR schaffe ich das auf die
Schnelle nicht mehr, und bei P(IR) habe ich im Moment überhaupt keine
Idee, wie eine Bijektion auf eine echte Teilmenge (egal wie deren
Komplement ist) aussehen könnte.
Die Frage ist also: kann man bijektive Funktionen g' und h
g' : IR -> IR\X (mit |X| \in IN\{0})
h : P(IR) -> P(IR)\X (mit nichtleerem X)
direkt angeben, oder benötigt man dazu vielleicht AC?
Helmut Richter
> Die Frage ist also: kann man bijektive Funktionen g' und h
>
> g' : IR -> IR\X (mit |X| \in IN\{0})
g'(x) = x+1 f�r x aus N
g'(x) = x sonst
0 ist nicht im Bild, also X = {0}, |X| = 1
> h : P(IR) -> P(IR)\X (mit nichtleerem X)
h(x) = {n+1} falls x = {n} f�r ein n aus N
h(x) = x sonst
{0} ist nicht im Bild.
--
Helmut Richter
Carsten Schultz
Wie Du an Helmuts Beispielen siehst, brauchst Du nur eine Injektion von
IN in die Menge, und die lässt sich hier direkt angeben. Ich glaube,
dass Du eine abzählbare Form von Auswahl (DC genügt) brauchst, um zu
zeigen, dass jede Menge, die nicht gleichmächtig zu einer natürlichen
Zahl ist, eine abzählbar unendliche Teilmenge enthält. Ich weiß das
aber nicht.
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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Roland Franzius
Nimm IR zB in Binärdarstellung in IR und bilde die Binärbrüche bijektiv
auf die Teilmenge der Dezimalbrüche zur Basis 3 ohne Ziffer 2 ab.
Damit hat man zb eine Bijektion zwischen (0,1) und einer überabzählbaren
dichten Teilmenge vom Lebesgue-Maß 0.
--
Roland Franzius
Roland Franzius
Nimm IR zB in Binärdarstellung in IR und bilde die Binärbrüche bijektiv
auf die Teilmenge der Dezimalbrüche zur Basis 3 ohne Ziffer 2 ab.
Damit hat man zb eine Bijektion zwischen (0,1) und einer überabzählbaren
Teilmenge vom Lebesgue-Maß 0, die auf jeder Größenskala immer ein Loch
von 1/3 aufweist.
--
Roland Franzius
Hans Crauel
> Die Frage ist also: kann man bijektive Funktionen g' und h
> g' : IR -> IR\X (mit |X| \in IN\{0})
> h : P(IR) -> P(IR)\X (mit nichtleerem X)
> direkt angeben, oder benötigt man dazu vielleicht AC?
Fï¿œr h tut es nicht zuletzt die von g(x)exp(x) auf der
Potenzmenge induzierte Abbildung, also h(B) {exp(b):b\in B}.
Das gibt als X die Menge aller Teilmengen, deren Schnitt mit
(-\infty,0] nicht leer ist.
Hans Crauel
Ralf Goertz
> On Tue, 15 Dec 2009, Ralf Goertz wrote:
>
>> Die Frage ist also: kann man bijektive Funktionen g' und h
>>
>> g' : IR -> IR\X (mit |X| \in IN\{0})
>
> g'(x) = x+1 für x aus N
> g'(x) = x sonst
>
> 0 ist nicht im Bild, also X = {0}, |X| = 1
>
>> h : P(IR) -> P(IR)\X (mit nichtleerem X)
>
> h(x) = {n+1} falls x = {n} für ein n aus N
> h(x) = x sonst
>
> {0} ist nicht im Bild.
Es ist also doch ganz einfach. Wahrscheinlich sehe ich den Wald vor
lauter Binärbäumen nicht mehr. Aber wenn man von g' noch verlangt, dass
es stetig ist (das hatte ich nämlich versucht), ist's nicht mehr so
einfach, wenn es denn überhaupt geht. Oder?
Hans Crauel
[Existenz von bijektiven g' : IR -> IR\X mit |X| \in IN\{0}]
> Aber wenn man von g' noch verlangt, dass es stetig ist (das
> hatte ich nÀmlich versucht), ist's nicht mehr so einfach,
> wenn es denn ÃŒberhaupt geht. Oder?
Das Bild einer zusammenhï¿œngenden Menge unter einer stetigen
Abbildung ist zusammenhï¿œngend.
Hans Crauel
Ralf Bader
Die Bilder zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind
zusammenhängend. Es gibt aber z.B. stetige injektive Abbildungen von IR auf
ein (beschränktes) offenes Intervall. Womit sich die nächste Frage
anschließt: Wie steht es mit injektiven und gleichmäßig stetigen
Abbildungen IR -> IR?
Ralf
Hans Crauel
> Wie steht es mit injektiven und gleichmÀà ig stetigen
> Abbildungen IR -> IR?
Die Identitï¿œt. Gemeint ist vermutlich, dass sie nicht
bijektiv sein soll.
Beispiel dafï¿œr:
f(x) exp(x) fï¿œr x<0, und f(x)x+1 fï¿œr x\geq0.
Ist sogar stetig differenzierbar.
Hans Crauel
Jutta Gut
"Ralf Goertz" <r_go...@usenet.arcornews.de> schrieb
Bei IR schaffe ich das auf die
> Schnelle nicht mehr, und bei P(IR) habe ich im Moment überhaupt keine
> Idee, wie eine Bijektion auf eine echte Teilmenge (egal wie deren
> Komplement ist) aussehen könnte.
>
> Die Frage ist also: kann man bijektive Funktionen g' und h
>
> g' : IR -> IR\X (mit |X| \in IN\{0})
>
> h : P(IR) -> P(IR)\X (mit nichtleerem X)
>
> direkt angeben, oder benötigt man dazu vielleicht AC?
Nicht direkt eine Antwort auf deine Frage, aber die arctan-Funktion bildet R
auf das Intervall [-pi/2, pi/2], also auch auf eine echte Telimenge.
Grüße
Jutta
Ralf Bader
> Ralf Bader schrieb
>
>> Wie steht es mit injektiven und gleichmÀßig stetigen
>> Abbildungen IR -> IR?
>
> Die Identität. Gemeint ist vermutlich, dass sie nicht
> bijektiv sein soll.
Das auch, aber gemeint ist eigentlich die gleichmäßige Stetigkeit der
Umkehrfunktion.
Hans Crauel
>>> Wie steht es mit injektiven und gleichmà ⠬à  ig stetigen
>>> Abbildungen IR -> IR?
> [...] gemeint ist eigentlich die gleichmÀà ige Stetigkeit der
> Umkehrfunktion.
Das geht nicht.
Das Bild einer beschrￜnkten Menge unter einer gleichmￜￜig stetigen
Abbildung ist beschrï¿œnkt.
Ist also f eine injektive, nicht surjektive Abbildung von R nach R,
und ist ihr Bild beschrï¿œnkt, so ist die Umkehrabbildung nicht
gleichmￜￜig stetig.
Ist ihr Bild nicht beschrï¿œnkt, so muss es jedenfalls einseitig
beschrï¿œnkt sein. Teilt man das Bild in zwei zusammenhï¿œngende
Intervalle, von denen eines beschrï¿œnkt ist (tatsï¿œchlich sein muss),
so muss der beschrï¿œnkte Teil (unter Verwendung der Tatsache, dass
f monoton ist), Bild einer unbeschrï¿œnkten Teilmenge von R sein.
Die Umkehrabbildung kann auf dieser beschrï¿œnkten Teilmenge des
Bildes damit nicht gleichmￜￜig stetig sein.
Hans Crauel
Ralf Goertz
> Die Bilder zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind
> zusammenhängend.
Ich sollte mich um mehr Präzision bemühen. Was ich mir vorstellte, ist
eine stückweise stetige (zwei Stücke), streng monoton steigende Funktion
g: IR -> IR\{0} mit ]-oo,0] –> ]-oo,0[ und ]0,oo[ –> ]0,oo[
aber das geht ja auch nicht. Für den zweiten Teil tut's zwar id, aber
der erste Teil geht nicht, weil dann die Einschränkung [a,0] –> [b,0[
eine kompakte Menge nicht auf eine kompakte Menge abbildet.
> Es gibt aber z.B. stetige injektive Abbildungen von IR auf ein
> (beschränktes) offenes Intervall.
z.B. die logistische Funktion l : IR –> ]0,1[, x –> (e^x)/(1+e^x)
Ralf