Re: Quarks und elektromagnetische Wellen
Eckard Blumschein
>> Die Natur hat immer Recht, das Experiment meistens.
>> 4) Konsequenz bzw. Durchsichtigkeit
>> sehe ich verletzt wenn man nicht mehr weiß womit man eigentlich
>> operiert. Die komplexe Rechnung hat eine Tücke. Ordnet man dem
>> Originalbereich, speziell dem Zeitbereich, eine physikalische Bedeutung
>> zu, dann ist der Bildbereich, speziell der Frequenzbereich
>> unphysikalisch, verführt zu Missinterpretationen. Ganz daneben
*) Hier wollte ich schreiben:
Ganz daneben ging es bei der Einführung der Wellenzahl im Komplexen.
Hätten Schrödinger, Dirac und andere beachtet, dass zu reellen
Zeitfunktionen hermitisch symmetrische komplexe Funktionen der Frequenz
gehören, also auch negative Frequenzen, dann wäre der Quantenmechanik
ihre scheinbare T-Symmetrie und die Skurilität erspart geblieben als
einzige Disziplin der Wissenschaft nicht ohne prinzipiell komplexe
Größen austzukommen.
Ob der Blitzdenker von Neumann zu faul war um gründlich nachzudenken und
den Irrtum zu merken oder aber die Sache mehr oder weniger absichtlich
in Hilberträume hinein verschleiert hat sei dahingestellt.
Unschuldig ist der gleiche Held wohl auch nicht an der Fortdauer von
Cantors dümmlichem quantitativem Unendlichkeitsbegriff, der ja ebenfalls
einen sehr auffälligen Fremdkörper in der Wissenschaft darstellt und bis
jetzt wohl deshalb überlebt hat, weil es Finitisten wie Fundamentalisten
schwerfällt den prinzipiellen Unterschied zwischen den diskreten Zahlen,
die ja abzählbar weil nicht tranzendent sind und den nicht abzählbaren
"Zahlen" zu begreifen, welche auch jene reellen "Zahlen" einschließen,
die ursprünglich rational waren und erst durch die Einbettung (Ergänzung
um aktual unendlich viele Nachkommanullen) ihre numerische Identität
eingebüßt haben.
Eigentlich war es noch kein Fehler von reellwertigen Funktionen
positiver Frequenz auszugehen. Da kommt dann lediglich ein ungewohntes
Ergebnis heraus bei dem eine fiktive Zeit positiv und negativ ist.
Feynman hat dies übrigens so beschäftigt dass man vor allem nach der
Lektüre seiner Nobelpreisrede argwöhnen muss, der Mann dessen Lectures
dafür berühmt sind alles glänzend und eloquent zu erklären, hat nicht
verstanden dass die Ursache seiner gleichzeitig vor- und zurück
zählenden Zeit in einer unphysikalischen Interpretation der FT liegt.
So richtig falsch wurde es, als Schroedinger kurzerhand durch
Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen eine Anpassung an den
üblichen reellen Zeitbegriff erzwang. Alles schien in Ordnung. Die
T-Symmetrie der Quantenmechanik war geboren.
Auch Schulman hat sein Rätsel: die offensichtliche Andersartigkeit der
zeitsymmetrischen Quantenmechanik gegenüber der klassischen, nicht
antizipatorischen Physik.
>>
>
> Nur wenn man falsch rechnet
Was mathematisch rigoros ist kann physikalisch falsch sein.
>> 6) Skepsis
>> Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit, Zeitschleifen, unendlich große
>> oder negative Absolutwerte existierender Dinge (Antimenschen oder
>> -welten), negative Abstände, Temperaturen etc. sind eher als Folgen von
>> Denkfehlern zu erwarten als in der Realität.
>>
>
> Skepsis ist immer gesund. Aber bei Überlichtgeschwindigkeiten muß man einem
> Meßergebnis, das zweifelsfrei ist, den Vorzug geben. Der Rest ist per definitionem nicht
> möglich.
Wie hat Nimtz denn gemessen? Er hat dazu indirekt die völlig falsche
Annahme getroffen, dass mit lediglich positiver Frequenz schon alles
richtig sei, weil es ja keine negative Frequenz gibt.
Schrödinger, Dirac und mit ihnen die heutige Physik gingen auf das
gleiche Glatteis. Zweifelsfrei ist das Messergebnis von Enders und Nimtz
mit Sicherheit nicht, denn ich kann bezeugen dass Nimtz selbst freimütig
bekannt hat es nicht zu verstehen. Wenn das kein Zweifel ist...
Eckard
Christopher Creutzig
> schwerfällt den prinzipiellen Unterschied zwischen den diskreten Zahlen,
> die ja abzählbar weil nicht tranzendent sind und den nicht abzählbaren
„Abzählbar weil nicht transzendent“ ist mal wieder besonders schön.
Sind Mengen aus natürlichen Zahlen eigentlich transzendent?
Christopher
Eckard Blumschein
Natürliche Zahlen und auch ihre Mengen sind weder nicht abzählbar noch
transzendent.
Ich weiß schon selbst, dass ich mich in der Mathematik nicht politisch
korrekt ausdrücke. In der Sache mag ich trotzdem Recht haben, und die
Provokation scheint anzukommen.
Orthodox wäre es Zahlen "nicht transzendent" zu nennen und Mengen
abzählbar.
Ich meine aber, die Grundlage der Abzählbarkeit von Mengen liegt
grundsätzlich in Eigenschaften der Zahlen begründet aus denen sie
bestehen. Numerisch nicht diskrete Zahlen (Zahlen die nicht durch
endlich viele Stellen d. h. rational quantifiziert sind) nennt man
irrational und gegebenenfalls transzendent:
O m n e m r a t i o n e m t r a n s c e n d u n t.
(Sie entziehen sich einem gemeinsamen Verhältnis.)
Transzendente Zahlen sind stets irrational.
Von den algebraisch irrationalen Zahlen lasse ich mich nicht verunsichern.
Mengen algebraisch irrationaler Zahlen sind abzählbar, beliebige
einzelne irrationale Zahlen aber nicht.
Eckard
Christopher Creutzig
> Natürliche Zahlen und auch ihre Mengen sind weder nicht abzählbar noch
> transzendent.
Es gibt überabzählbar viele Mengen natürlicher Zahlen.
> Ich meine aber, die Grundlage der Abzählbarkeit von Mengen liegt
> grundsätzlich in Eigenschaften der Zahlen begründet aus denen sie
> bestehen. Numerisch nicht diskrete Zahlen (Zahlen die nicht durch
Das ist offensichtlich falsch. card({0}) = card({PI}) = 1.
> Von den algebraisch irrationalen Zahlen lasse ich mich nicht verunsichern.
> Mengen algebraisch irrationaler Zahlen sind abzählbar, beliebige
> einzelne irrationale Zahlen aber nicht.
Einzelne Zahlen sind immer abzählbar, denn bis eins kann man in den
natürlichen Zahlen zählen.
Christopher
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>
>> Natürliche Zahlen und auch ihre Mengen sind weder nicht abzählbar noch
>> transzendent.
>
> Es gibt überabzählbar viele Mengen natürlicher Zahlen.
Ich übersetze den schlimmen Begriff überabzählbar in "nicht abzählbar".
Die Menge natürlicher Zahlen ist abzählbar. Wie Cantor richtig erkannte
bleibt es bei der Abzählbarkeit wenn man beliebig viele rationale Zahlen
hinzunimmt.
Freilich dürfen es nicht aktual unendlich viele sein.
>> Ich meine aber, die Grundlage der Abzählbarkeit von Mengen liegt
>> grundsätzlich in Eigenschaften der Zahlen begründet aus denen sie
>> bestehen. Numerisch nicht diskrete Zahlen (Zahlen die nicht durch
>
> Das ist offensichtlich falsch. card({0}) = card({PI}) = 1.
Erstens ist für mich der Begriff Kardinalität inzwischen ein rotes Tuch,
da er auf einen Irrtum beruht.
Zweitens ist pi als Irrationalzahl numerisch nur fiktiv (mit aktuasl
unendlich vielen Stellen) repräsentiert und stellt somit im Sinne von
Cantors Beweisen eine nicht abzählbare Ganzheit dar.
>> Von den algebraisch irrationalen Zahlen lasse ich mich nicht verunsichern.
>> Mengen algebraisch irrationaler Zahlen sind abzählbar, beliebige
>> einzelne irrationale Zahlen aber nicht.
>
> Einzelne Zahlen sind immer abzählbar, denn bis eins kann man in den
> natürlichen Zahlen zählen.
Ich wäre einverstanden falls wir den Begriff Zahl auf rationale Zahlen
einschränken. Es ist aber nicht möglich irgendeine Zahl numerisch aus
den reellen Zahlen heraus zu vereinzeln. Auch ohne große geistige
Beweglichkeit ist dies für irrationale "Zahlen" nachzuvollziehen die man
ja offensichtlich nie vollständig abzählen kann, weil man dazu für jede
einzelne von ihnen aktual unendlich viele Ziffern zählen müsste. Das ist
eine Eigenart des kontinuums (oder für diejenigen die nur Cantors Unsinn
verstehen von aleph_1).
Eckard
Christopher Creutzig
>> Es gibt überabzählbar viele Mengen natürlicher Zahlen.
>
>
> Ich übersetze den schlimmen Begriff überabzählbar in "nicht abzählbar".
Du kannst den üblichen Begriff auch gerne in „mehr als abzählbar“
übersetzen, das ist definitiv korrekt, denn es sind erstens nicht
abzählbar viele und zweitens gibt es abzählbare Teilmengen.
> Die Menge natürlicher Zahlen ist abzählbar. Wie Cantor richtig erkannte
> bleibt es bei der Abzählbarkeit wenn man beliebig viele rationale Zahlen
> hinzunimmt.
Das ist ein Themenwechsel, ich bleibe bei natürlichen Zahlen.
Christopher
PS: Nein, ich brauche keine Erklärungen zu diesem Thema. Das hatten wir
alles schon mehrfach, ich hatte Dich nur kurz an ein paar einfache
Fakten erinnern wollen.
Peter Niessen
> On 9/5/2005 4:14 PM, Christopher Creutzig wrote:
>> Eckard Blumschein wrote:
>>> schwerfällt den prinzipiellen Unterschied zwischen den diskreten Zahlen,
>>> die ja abzählbar weil nicht tranzendent sind und den nicht abzählbaren
>>
>> „Abzählbar weil nicht transzendent“ ist mal wieder besonders schön.
>> Sind Mengen aus natürlichen Zahlen eigentlich transzendent?
>
> Natürliche Zahlen und auch ihre Mengen sind weder nicht abzählbar noch
> transzendent.
>
> Ich weiß schon selbst, dass ich mich in der Mathematik nicht politisch
> korrekt ausdrücke. In der Sache mag ich trotzdem Recht haben, und die
> Provokation scheint ......
Oh Meister Eckhard!
Sie belieben schlichten Stuss zu reden ;-)
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
Peter Niessen
> Erstens ist für mich der Begriff Kardinalität inzwischen ein rotes Tuch,
> da er auf einen Irrtum beruht.
Ach? Auf welchem?
> Zweitens ist pi als Irrationalzahl numerisch nur fiktiv (mit aktuasl
> unendlich vielen Stellen) repräsentiert und stellt somit im Sinne von
> Cantors Beweisen eine nicht abzählbare Ganzheit dar.
LOL!
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
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-~_~- Cunning Pike With Eyebrows
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>>> Es gibt überabzählbar viele Mengen natürlicher Zahlen.
>>
>>
>> Ich übersetze den schlimmen Begriff überabzählbar in "nicht abzählbar".
>
> Du kannst den üblichen Begriff auch gerne in „mehr als abzählbar“
> übersetzen, das ist definitiv korrekt, denn es sind erstens nicht
> abzählbar viele und zweitens gibt es abzählbare Teilmengen.
Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
Auch das kleinste Stück des Kontinuums ist nicht abzählbar.
Korrekt ist Cantors Idee nicht, vielleicht in einem für mich nicht
nachvollziehbaren Sinn als korrekt definierter Unsinn.
"Definitiv korrekt" hat eine andere Bedeutung.
Dein Argument "es sind nicht abzählbar viele" ist noch halbrichtig. Nur
halb deswegen weil "unendlich viele" die nicht quantifizierbare
Gesamtheit der mit der Eigenschaft "unendlich" gedanklich umfassten
Zahlen mit dem eigentlich nur für Mengen vereinzelbarer Elemente
sinnvollen Wort "viele" kombiniert.
Unbewiesen und falsch ist dagegen deine von Cantor übernommene Folgerung
das das was man nicht abzählen könne zu groß dazu sein müsse. Hier liegt
u. a. ein logischer Zirkel vor: Damit man eine Aussage über die
Quantität machen kann, muss ja zuvor eine Quantifizierung (ein Abzählen)
möglich sein. Das ist aber ausgeschlossen.
>> Die Menge natürlicher Zahlen ist abzählbar. Wie Cantor richtig erkannte
>> bleibt es bei der Abzählbarkeit wenn man beliebig viele rationale Zahlen
>> hinzunimmt.
>
> Das ist ein Themenwechsel, ich bleibe bei natürlichen Zahlen.
Zwischen natürlichen und rationalen Zahlen fand auch Cantor hinsichtlich
der Abzählbarkeit keinen Unterschied. Er sprach von gleicher
Kardinalität aleph_0. Ich sage ganz einfach sie sind numerisch diskret.
die nicht abzählbaren "Zahlen" (nach Cantor aleph_1) sind zwar
aufgabenhaft diskret, nicht aber numerisch vollständig repräsentierbar.
Wir können die gleiche Sprache sprechen wenn wir uns auf den Begriff
uncountable einigen. Der vor Cantor übliche Begriff "numbres
incommensurables" passt auch.
> PS: Nein, ich brauche keine Erklärungen zu diesem Thema. Das hatten wir
> alles schon mehrfach, ich hatte Dich nur kurz an ein paar einfache
> Fakten erinnern wollen.
Hätten wir die logischen Fragen schon hinreichend beleuchtet, dann wärst
du gezwungen zu verstehen wo Cantors Irrtum liegt.
Gruß,
Eckard
Ralf Goertz
> On 9/6/2005 5:16 PM, Christopher Creutzig wrote:
>> Eckard Blumschein wrote:
>>>> Es gibt überabzählbar viele Mengen natürlicher Zahlen.
>>>
>>>
>>> Ich übersetze den schlimmen Begriff überabzählbar in "nicht abzählbar".
>>
>> Du kannst den üblichen Begriff auch gerne in ?mehr als abzählbar?
>> übersetzen, das ist definitiv korrekt, denn es sind erstens nicht
>> abzählbar viele und zweitens gibt es abzählbare Teilmengen.
>
> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
> Auch das kleinste Stück des Kontinuums ist nicht abzählbar.
Obwohl ich nicht glaube, dass es sinnvoll ist, Dicht zum wiederholten Male
darauf hinzuweisen, werde ich es trotzdem tun. Kardinalität ist nicht
etwas, was man einer *Zahl* zuweisen könnte, sondern nur einer *Menge*. Man
abstrahiert dabei von den Elementen der Menge. Genauso, wie man beim Zählen
auch davon abstrahiert, was man zählt. Zwei Brötchen sind zwei Brötchen und
zwei natürliche Zahlen sind zwei natürliche Zahlen. Wenn man beides als
Menge auffasst M1:={Bröchten1, Brötchen2} und M2:={47, 11}, dann ist beiden
Mengen die Eigenschaft, zwei Elemente zu haben, gemein. Sie haben dieselbe
Kardinalität. Mathematisch ausgedrückt ist das genau dann der Fall, wenn es
eine bijektive (injektiv und surjektiv) Zuordnung (Abbildung) gibt. In
diesem Fall kann ich folgenden Zuordnungen f: M1 --> M2 machen.
I.
Brötchen1 --> 47
Brötchen2 --> 47
II.
Brötchen1 --> 11
Brötchen2 --> 11
III.
Brötchen1 --> 11
Brötchen2 --> 47
IV.
Brötchen1 --> 47
Brötchen2 --> 11
Offenbar sind nur die letzten beiden surjektiv (alle Elemente der Zielmenge
werden getroffen). Und auch nur diese sind injektiv (jedes Element der
Zielmenge wird von höchstens einem Element der Ursprungsmenge getroffen).
Also sind diese Abbildungen bijektiv. Die Existenz solcher Abbildungen
verrät uns nun, dass beide Mengen tatsächlich dieselbe Kardinalität haben.
Wie sieht es nun mit der Menge M3:={pi, sqrt(2)} aus. Wieviele Elemente hat
diese? Offenbar kann ich eine Bijektion zu M1 (und damit auch zu M2,
Stichwort Äquivalenzrelation) herstellen. Es gibt auch eine Bijektion zu
N2:={1,2}, diese ermöglicht uns das Zählen und sagt uns, dass alle diese
Mengen *zwei* Elemente haben. Eine Menge heißt (höchstens) abzählbar, wenn
es eine Bijektion auf eine Teilmenge der natürlichen Zahlen gibt. Wie
gerade ausgeführt, ist die Menge M3 also (höchstens) abzählbar. Und dass
obwohl sie Elemente hat, die nicht nur irrational, sondern sogar
transzendent sind (pi). Als anderes Beispiel betrachte die Menge der Achsen
in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, also etwa die reelle und die
imaginäre Achse von (C. Obwohl beide Achsen jeweils das ganze Kontinuum
repräsentieren, willst Du doch wohl nicht ernsthaft an der *Zweiheit*
dieser Menge zweifeln, oder?
Ralf
--
There is only one "_" in my address
Eckard Blumschein
> Am Tue, 06 Sep 2005 14:16:55 +0200 schrieb Eckard Blumschein:
>
>> Erstens ist für mich der Begriff Kardinalität inzwischen ein rotes Tuch,
>> da er auf einen Irrtum beruht.
>
> Ach? Auf welchem?
Auf der scheinbar ganz einleuchtenden Überlegung dass von zwei
Gesamtheiten eine entweder größer, kleiner oder gleichgroß sein muss.
Das wäre ja richtig, wenn sich das Kontinuum in einzelne unteilbare
(atomare) Urelemente (mathematische Quanten) vereinzeln (quantisieren)
ließe. Genau dies widerspricht aber der Grundeigenschaft des Kontinuums
unbegrenzt teilbar zu sein.
Man kann sich klarmachen, dass diese Quantisierung erst mit einer aktual
unendlichen Stellenzahl gelingt, aus der Sicht des Zählenden also nie.
Hier müssen wir uns aber davor hüten, dieses "Nie" nach den Maßstäben
menschlicher Erfahrung als unbrauchbar zu verabsolutieren, denn genau
dort sind die irrationalen Zahlen "vollständig" numerisch repräsentiert,
und es ist nützlich mit dieser Fiktion zu operieren.
Philosophen sprechen vom Umschlag einer Quantität in eine neue Qualität.
Um den Staub alten Streits abzuschütteln unterscheide ich zwischen
(a) der Sache um die es geht (riesige oder überaus fein gefächerte
Zahlen) und
(b1, b2) zwei sich gegenseitig ausschließenden Varianten ihrer
Beschreibung.
Mit b1 behält man (wie Cantor) die Vermehr- und Verminderbarkeit der
Zahlen oder ihrer Präzision bei. Man stellt sie sich auch dann noch als
quantifizierbar vor, wenn eine Quantifizierung scheitert weil die Zahlen
oder die Anzahl von Ziffern dafür zu groß werden.
Mit b2 springt man (mit Aristoteles und Spinoza) in eine ganz andere
Beschreibung. Hier gilt oo+a=oo. Anders gesagt: Man postuliert, dass die
fiktive Qualität oo keinen quantitative Vergleich mit einer beliebigen
Zahl erlaubt.
Die Qualität "unendlich" steckt in eindeutiger Form im Axiom von
Archimedes (bekanntlich übernommen von Peano): Zu jeder positiven Zahl
kann man eine weitere positive Zahl addieren und erhält eine größere
Zahl. Die Operation Zählen ist also potentiell unendlich.
In Zahlensystemen die auf der Operation Zählen basieren kann es nur
endliche (finite) numerische Werte geben, keine transfiniten.
Folglich ist der Sprachgebrauch "unendlich große Zahl" unlogisch,
wenngleich ich ihn bei Poisson, Weierstrass und Cantor fand.
Missbräuchlich benutzt man das Wort unendlich als mehr oder weniger
ernst gemeinte Übertreibung einer Steigerung in der Alltagssprache.
Beispiele: Unendlich weit weg. Es tut mir unendlich leid. Ich habe dich
unendlich lieb.
Immerhin drückt sich in den letzten Beispielen aus, dass auch sehr
einfache Menschen solange ihr Denken nicht mathematisch kanalisiert ist
intuitiv richtig mit nicht quantifizierbaren Qualitäten umgehen
können. Niemand würde sagen unendlich tot.
Danke für die Anregung zu einer etwas ausführlicheren Darlegung.
Eckard
Eckard Blumschein
>> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
>> Auch das kleinste Stück des Kontinuums ist nicht abzählbar.
>
> Obwohl ich nicht glaube, dass es sinnvoll ist, Dich zum wiederholten Male
> darauf hinzuweisen, werde ich es trotzdem tun. Kardinalität ist nicht
> etwas, was man einer *Zahl* zuweisen könnte, sondern nur einer *Menge*. Man
> abstrahiert dabei von den Elementen der Menge.
Für Cantor ist eine Menge ein "Inbegriff bestimmter Elemente, welcher
durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann". Daraus schließe
ich, dass die Elemente in der Tat keine Zahlen sein müssen. Elemente
müssen es aber sein. Ohne Elemente gäbe es ja keinen Inbegriff der
Elemente.
> Genauso, wie man beim Zählen
> auch davon abstrahiert, was man zählt. Zwei Brötchen sind zwei Brötchen und
> zwei natürliche Zahlen sind zwei natürliche Zahlen. Wenn man beides als
> Menge auffasst M1:={Bröchten1, Brötchen2} und M2:={47, 11}, dann ist beiden
> Mengen die Eigenschaft, zwei Elemente zu haben, gemein. Sie haben dieselbe
> Kardinalität.
Die Abstraktion von den inneren Eigenschaften jedes diskreten Elements
(Brötchen mit Zählindex oder nackte Zahl) zum mathematischen Objekt Zahl
spielt solange keine Rolle wie die Elemente voneinander isoliert sind.
Bei Doppelbrötchen wird man noch nicht Grübeln kommen, wohl aber bei der
in sich "offenen" Menge des Kontinuums.
Mathematisch ausgedrückt ist das genau dann der Fall, wenn es
> eine bijektive (injektiv und surjektiv) Zuordnung (Abbildung) gibt. In
> diesem Fall kann ich folgenden Zuordnungen f: M1 --> M2 machen.
>
> I.
> Brötchen1 --> 47
> Brötchen2 --> 47
>
> II.
> Brötchen1 --> 11
> Brötchen2 --> 11
>
> III.
> Brötchen1 --> 11
> Brötchen2 --> 47
>
> IV.
> Brötchen1 --> 47
> Brötchen2 --> 11
>
> Offenbar sind nur die letzten beiden surjektiv (alle Elemente der Zielmenge
> werden getroffen). Und auch nur diese sind injektiv (jedes Element der
> Zielmenge wird von höchstens einem Element der Ursprungsmenge getroffen).
> Also sind diese Abbildungen bijektiv.
Danke für die sehr transparente Veranschaulichung. Ich muss mich zwar
schämen dass man mir zutraut diese Trivialzusammenhänge nicht zu
verstehen. Aber vielleicht hilft uns die Darstellung weiter.
> Die Existenz solcher Abbildungen
> verrät uns nun, dass beide Mengen tatsächlich dieselbe Kardinalität haben.
> Wie sieht es nun mit der Menge M3:={pi, sqrt(2)} aus. Wieviele Elemente hat
> diese?
Wenn man beide Elemente jeweils als geschlossen betrachtet, dann braucht
man ja nur zu zählen, wobei man jedes bereits gezählte Element aus der
Menge streicht.
> Offenbar kann ich eine Bijektion zu M1 (und damit auch zu M2,
> Stichwort Äquivalenzrelation) herstellen. Es gibt auch eine Bijektion zu
> N2:={1,2}, diese ermöglicht uns das Zählen und sagt uns, dass alle diese
> Mengen *zwei* Elemente haben. Eine Menge heißt (höchstens) abzählbar, wenn
> es eine Bijektion auf eine Teilmenge der natürlichen Zahlen gibt. Wie
> gerade ausgeführt, ist die Menge M3 also (höchstens) abzählbar. Und dass
> obwohl sie Elemente hat, die nicht nur irrational, sondern sogar
> transzendent sind (pi).
Hier protestiere ich. Die Elemente deren Anzahl gefragt ist ("Wieviele
Elemente hat diese?") sollten in sich geschlossen sein. Wenn wir dabei
bleiben, dann ist über ihre inneren Eigenschaften (Brötchen, irrational,
transzendent, was auch immer) gar keine sinnvolle Aussage abzuleiten.
Mir fällt auf, dass Du es vorziehst, endliche und abzählbare
(unendliche) Mengen zu "höchstens abzählbaren" zusammenzufassen.
Endlichkeit und Unendlichkeit schließen sich doch gegenseitig aus.
Ich empfinde den Begriff "höchstens abzählbar" als schlechten Stil weil
er die falsche Vermutung provoziert, es gäbe etwas was mehr als
abzählbar ist.
> Als anderes Beispiel betrachte die Menge der Achsen
> in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, also etwa die reelle und die
> imaginäre Achse von (C. Obwohl beide Achsen jeweils das ganze Kontinuum
> repräsentieren, willst Du doch wohl nicht ernsthaft an der *Zweiheit*
> dieser Menge zweifeln, oder?
Da scheinst Du mich misszuverstehen. Selbstverständlich hat man die
Freiheit beide Achsen als Zweiheit oder gar als Einheit aufzufassen. Mir
geht es um die rationalen und die reellen Zahlen, in diesem Fall also um
das Innenleben der von Dir definierten Elemente (Achsen).
>
> Ralf
>
>
Ralf Goertz
> On 9/7/2005 9:16 AM, Ralf Goertz wrote:
>
>> Obwohl ich nicht glaube, dass es sinnvoll ist, Dich zum wiederholten Male
>> darauf hinzuweisen, werde ich es trotzdem tun. Kardinalität ist nicht
>> etwas, was man einer *Zahl* zuweisen könnte, sondern nur einer *Menge*.
>> Man abstrahiert dabei von den Elementen der Menge.
>
> Für Cantor ist eine Menge ein "Inbegriff bestimmter Elemente, welcher
> durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann". Daraus schließe
> ich, dass die Elemente in der Tat keine Zahlen sein müssen. Elemente
> müssen es aber sein. Ohne Elemente gäbe es ja keinen Inbegriff der
> Elemente.
Nur nebenbei, es gibt auch die leere Menge, die hat keine Elemente. Und was
ist der Inbegriff der Elemente gleich nochmal?
> Danke für die sehr transparente Veranschaulichung. Ich muss mich zwar
> schämen dass man mir zutraut diese Trivialzusammenhänge nicht zu
> verstehen. Aber vielleicht hilft uns die Darstellung weiter.
Das liegt daran, dass du ständig Mengen und ihre Elemente verwechselst.
>> Die Existenz solcher Abbildungen
>> verrät uns nun, dass beide Mengen tatsächlich dieselbe Kardinalität
>> haben. Wie sieht es nun mit der Menge M3:={pi, sqrt(2)} aus. Wieviele
>> Elemente hat diese?
>
> Wenn man beide Elemente jeweils als geschlossen betrachtet, dann braucht
> man ja nur zu zählen, wobei man jedes bereits gezählte Element aus der
> Menge streicht.
Was heißt geschlossen? Das ist für die Betrachtung gänzlich irrelevant. Die
Menge M3 hat *zwei* Elemente, und die kann ich abzählen.
>
>> Offenbar kann ich eine Bijektion zu M1 (und damit auch zu M2,
>> Stichwort Äquivalenzrelation) herstellen. Es gibt auch eine Bijektion zu
>> N2:={1,2}, diese ermöglicht uns das Zählen und sagt uns, dass alle diese
>> Mengen *zwei* Elemente haben. Eine Menge heißt (höchstens) abzählbar,
>> wenn es eine Bijektion auf eine Teilmenge der natürlichen Zahlen gibt.
>> Wie gerade ausgeführt, ist die Menge M3 also (höchstens) abzählbar. Und
>> dass obwohl sie Elemente hat, die nicht nur irrational, sondern sogar
>> transzendent sind (pi).
>
> Hier protestiere ich. Die Elemente deren Anzahl gefragt ist ("Wieviele
> Elemente hat diese?") sollten in sich geschlossen sein.
Wer sagt das? In der von Dir zitierten Definition steht davon nichts. Und
mit geschlossen meinst Du wohl die vielzitierte Darstellbarkeit als
abbrechende Zahlenfolge. Das ist aber uninteressant. Brötchen kann ich auch
nicht als abbrechende Zahlenfolge darstellen.
> Wenn wir dabei
> bleiben, dann ist über ihre inneren Eigenschaften (Brötchen, irrational,
> transzendent, was auch immer) gar keine sinnvolle Aussage abzuleiten.
Das wollen wir auch nicht. Wir wollen nur darstellen, was allen diesen
Mengen M1, M2, M3 und N2 gemeinsam ist. Die Elemente sind es offenbar
nicht, aber sie haben alle die gleiche Mächtigkeit. Was sollten wir auch
mit dem Mengenbegriff anfangen, wenn wir nicht einmal reelle Zahlen zu
einer Menge zusammenfassen können.
> Mir fällt auf, dass Du es vorziehst, endliche und abzählbare
> (unendliche) Mengen zu "höchstens abzählbaren" zusammenzufassen.
> Endlichkeit und Unendlichkeit schließen sich doch gegenseitig aus.
Das ist Definitionssache. Manche Autoren bezeichnen nur solche Mengen mit
als abzählbar, die bijektiv auf IN abbildbar sind. Diese sind dann
natürlich unendlich. Andere sehen auch endliche Mengen als abzählbar an. Um
klarzustellen, dass man sowohl endliche als auch zu IN bijektive unendliche
Mengen meint, sagt man halt "höchstens abzählbar".
> Ich empfinde den Begriff "höchstens abzählbar" als schlechten Stil weil
> er die falsche Vermutung provoziert, es gäbe etwas was mehr als
> abzählbar ist.
Das ist Deine Meinung, die Du hier ja schon zu Genüge ausgebreitet hast. Ob
Du IR nun als "nicht abzählbar" "überabzählbar" oder "hurz" bezeichnest,
ist letzlich egal, fest steht jedenfalls, dass IR *keine* "höchstens
abzählbare" Menge ist. Was aber nicht heißt, dass es nicht Teilmengen von
IR gibt, die abzählbar wären, wie zum Beispiel {pi, sqrt(2)}
>> Als anderes Beispiel betrachte die Menge der Achsen
>> in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, also etwa die reelle und
>> die imaginäre Achse von (C. Obwohl beide Achsen jeweils das ganze
>> Kontinuum repräsentieren, willst Du doch wohl nicht ernsthaft an der
>> *Zweiheit* dieser Menge zweifeln, oder?
>
> Da scheinst Du mich misszuverstehen. Selbstverständlich hat man die
> Freiheit beide Achsen als Zweiheit oder gar als Einheit aufzufassen.
Warum sollte ich Dich missverstehen. Ich rede von Mengen und ihren
Mächtigkeiten, klar definierte mathematische Begriffe. Du benutzt dieselben
Begriffe, meinst aber offenbar etwas anderes. Dass Du dann zu anderen
Ergebnissen kommst, ist dann ganz allein Dein Problem und keines der
Mathematik.
> Mir geht es um die rationalen und die reellen Zahlen, in diesem Fall also
> um das Innenleben der von Dir definierten Elemente (Achsen).
Da kann aber die Menge nichts dafür.
Fazit:
>>> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
ist falsch
>>> Auch das kleinste Stück des Kontinuums ist nicht abzählbar.
Ist richtig, wenn du als ein Stück ein Intervall mit mehr als einem Punkt
meinst. Dennoch ist die Menge { [0,1], [sqrt(2),pi] } höchstens abzählbar,
genauer: sie ist endlich und hat genau *zwei* Elemente, nämlich [0,1] und
[sqrt(2),pi]. Wenn ich von der Menge der Nullstellen der reellen Funktion
x^2-2 rede, dann rede ich von der Menge {-sqrt(2), sqrt(2)}. Wieviele
Nullstellen sind das?
Bernd Funke
> Eckard Blumschein schrieb:
>
>> On 9/6/2005 5:16 PM, Christopher Creutzig wrote:
>>> Eckard Blumschein wrote:
[...]
> Als anderes Beispiel betrachte die Menge der Achsen
> in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, also etwa die reelle und die
> imaginäre Achse von (C. Obwohl beide Achsen jeweils das ganze Kontinuum
> repräsentieren, willst Du doch wohl nicht ernsthaft an der *Zweiheit*
> dieser Menge zweifeln, oder?
Man könnte meinen, Du kennst Wacky Ecki nicht. Ich zitiere aus
news:4227601C...@et.uni-magdeburg.de
BF>>>> Nochmals: Die Mächtigkeit einer Menge hat mit den Eigenschaften
BF>>>> ihrer Elemente nichts zu tun.
EB>>> Ich zweifle daran, dass es einen stichhaltigen Beweis für diese kühne
EB>>> Behauptung gibt.
BF>> Ein Gegenbeispiel reicht: Die Menge {\pi} hat nur *ein* Element,
welches
BF>> eine irrationale Zahl ist.
EB> Da stützt sich eine anfechtbare Behauptung auf die andere.
Wacky Ecki hält also die Behauptung, dass die Menge, die allein das Element
\pi enthält, _ein_ Element enthält, für anfechtbar. Und Du willst ihm jetzt
mit _zwei_ Elementen kommen?
Wundert sich
Bernd
--
Die Mengen der algebraisch irrationalen und die der
konstruierbar irrationalen Zahlen sind vermutlich deshalb
abzählbar weil sich ihre Irrationalitäten gegenseitig aufheben.
[E. Blumschein in de.sci.mathematik]
Ralf Goertz
Doch, doch ich kenne seine Ergüsse schon ziemlich lange, meine mich auch an
eine sehr unterhaltsame Diskussion zwischen Euch beiden zu erinnern,
deshalb ja auch mein Eingangsstatement:
> Obwohl ich nicht glaube, dass es sinnvoll ist, Dich zum wiederholten Male
> darauf hinzuweisen, werde ich es trotzdem tun.
Bei Eurer Diskussion sah er meist nicht gut aus. Deshalb glaube ich, dass
seine Uneinsichtigkeit vielleicht zum Teil dieser Tatsache geschuldet ist.
Wenn man versucht, ihm sachlich auch die trivialsten Trivialitäten
vorzuexerzieren, nimmt er es vielleicht eher an. Und da er sicher nicht
dumm ist, muss es doch möglich sein, ihm die Einelementigkeit von {pi}
klarzumachen. Dass ich zwei Elemente benutze, liegt nur daran, dass das
Thema Bijektion zwischen einelementigen Mengen einfach zu langweilig ist.
Meint
Bernd Funke
> On 9/6/2005 10:49 PM, Peter Niessen wrote:
>> Am Tue, 06 Sep 2005 14:16:55 +0200 schrieb Eckard Blumschein:
>>
>>> Erstens ist für mich der Begriff Kardinalität inzwischen ein rotes Tuch,
>>> da er auf einen Irrtum beruht.
>>
>> Ach? Auf welchem?
>
> Auf der scheinbar ganz einleuchtenden Überlegung dass von zwei
> Gesamtheiten eine entweder größer, kleiner oder gleichgroß sein muss.
Von zwei _Mengen_ A und B!
> Das wäre ja richtig, wenn sich das Kontinuum in einzelne unteilbare
> (atomare) Urelemente (mathematische Quanten) vereinzeln (quantisieren)
> ließe.
Beweis?
(Und vorher: Defintion "(atomare) Urelemente"?)
Vielmehr gilt:
Existiert eine Bijektion zwischen A und B? ja => "gleichmächtig"
nein => {Existiert eine Injektion von A nach B? ja => "B mächtiger als A"
nein=> "A mächtiger als B"}
Und das ist keine nebulöse "Überlegung" sondern folgt aus Defintion+Beweis.
Naja, statt letzeren bevorzugst Du Geblubber, aber das ist Dein Problem.
[restlichen Eck-Blubb gelöscht]
tschö
Bernd Funke
> Bernd Funke schrieb:
[...]
> Wenn man versucht, ihm sachlich auch die trivialsten Trivialitäten
> vorzuexerzieren, nimmt er es vielleicht eher an.
Das (bzw. ein) Problem bei Wacky Ecki ist ja, dass er selbst bei trivialsten
Trivialitäten nicht beim Thema bleibt, sondern ganz flink tonnenweise
Ablenkungsgeschwurbel über Nietzsche u.Ä. ablässt.
> Und da er sicher nicht
> dumm ist, muss es doch möglich sein, ihm die Einelementigkeit von {pi}
> klarzumachen.
Weder auf die Prämisse noch auf die Zulässigkeit dieses Schlusses würde ich
etwas wetten.
> Dass ich zwei Elemente benutze, liegt nur daran, dass das
> Thema Bijektion zwischen einelementigen Mengen einfach zu langweilig ist.
:-))
tschö
Rolf Albinger
<bernd.SPA...@freenet.de> wrote:
>"Ralf Goertz" <R__G...@web.de> schrieb:
>> Bernd Funke schrieb:
>
>[...]
>
>> Wenn man versucht, ihm sachlich auch die trivialsten Trivialitäten
>> vorzuexerzieren, nimmt er es vielleicht eher an.
>
>Das (bzw. ein) Problem bei Wacky Ecki ist ja, dass er selbst bei trivialsten
>Trivialitäten nicht beim Thema bleibt, sondern ganz flink tonnenweise
>Ablenkungsgeschwurbel über Nietzsche u.Ä. ablässt.
>
>
>> Und da er sicher nicht
>> dumm ist, muss es doch möglich sein, ihm die Einelementigkeit von {pi}
>> klarzumachen.
>
>Weder auf die Prämisse noch auf die Zulässigkeit dieses Schlusses würde ich
>etwas wetten.
Keinen Pfifferling würde ich darauf wetten.
>
>> Dass ich zwei Elemente benutze, liegt nur daran, dass das
>> Thema Bijektion zwischen einelementigen Mengen einfach zu langweilig ist.
>
>:-))
>
>tschö
> Bernd
Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Als Nachfolger einer Bruchzahl mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem
Nenner kann ich jene Zahl ansehen die ich erhalte, indem ich zum Zähler
die Zahl eins addiere.
(E.Blumschein)
Eckard Blumschein
>>>> Erstens ist für mich der Begriff Kardinalität inzwischen ein rotes Tuch,
>>>> da er auf einen Irrtum beruht.
>>>
>>> Ach? Auf welchem?
>>
>> Auf der scheinbar ganz einleuchtenden Überlegung dass von zwei
>> Gesamtheiten eine entweder größer, kleiner oder gleichgroß sein muss.
>
> Von zwei _Mengen_ A und B!
Es ist fragwürdig, ein Stück vom Kontinuum als Menge einzelner Elemente
anzusehen, denn jenes noch so kleine Teil enthält unendlich viele
"Elemente".
Ich hatte schon Cantor zitiert:
Menge = Inbegriff bestimmter Elemente
[keine reelle Zahl ist numerisch vollständig bestimmbar]
ich ergänze (benfalls Cantors Worte):
Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten....
[Man kann sich mit AC die Wohlordnung in die Tasche lügen. Hinschreibbar
ist sie nicht.]
In der Nichtvereinzelbarkeit und somit Nichtunterscheidbarkeit liegt der
Haken. Als Cantor für sein zweites Diagonalargument fiktive reelle
Zahlen mit unendlich vielen Stellen voraussetzte schloss er unteilbare
mathematische Urelemente aus. Er musste es tun. Sonst hätte sein Beweis
nicht funktioniert.
>
>
>> Das wäre ja richtig, wenn sich das Kontinuum in einzelne unteilbare
>> (atomare) Urelemente (mathematische Quanten) vereinzeln (quantisieren)
>> ließe.
>
> Beweis?
> (Und vorher: Defintion "(atomare) Urelemente"?)
Ebbinghaus schreibt (Zahlen, 3. Aufl. S. 303) Bei den Überlegungen...
gehalten die Urelemente (Zahlen, Punkte) die Rolle von Atomen; ihre
Gestalt bleibt im Dunkeln.
Es ist ganz einfach: Bricht man die Ziffernfolge irgendwo ab, dann
definiert dies die mathematischen Quanten, und man bleibt auf rationale
Zahlen beschränkt.
Tut man es nicht, ist der Weg frei zu den nicht erreichbaren reellen
Zahlen des Kontinuums.
> Vielmehr gilt:
>
> Existiert eine Bijektion zwischen A und B? ja => "gleichmächtig"
In der Sache bin ich hier einverstanden.
> nein => {Existiert eine Injektion von A nach B? ja => "B mächtiger als A"
> nein=> "A mächtiger als B"}
>
> Und das ist keine nebulöse "Überlegung" sondern folgt aus Defintion+Beweis.
... die von der unbewiesenen und falschen Annahme ausgehen, dass man
sich auch das Kontinuum wie eine Aufreihung einzelner Punkte vorstellen
darf.
Beliebig viele Punkte hat man schon mit den rationalen Zahlen, aktual
unendlich viele sind aber nicht quantifizierbar. Da kann es auch keine
Injektion geben. Es gehr um eine andere Qualität. Nebulös ist der irrige
Cantorglauben an eine Quantifizierung der Unendlichkeit.
E.
Bernd Funke
> On 9/7/2005 1:54 PM, Bernd Funke wrote:
>
>>>>> Erstens ist für mich der Begriff Kardinalität inzwischen ein rotes
>>>>> Tuch,
>>>>> da er auf einen Irrtum beruht.
>>>>
>>>> Ach? Auf welchem?
>>>
>>> Auf der scheinbar ganz einleuchtenden Überlegung dass von zwei
>>> Gesamtheiten eine entweder größer, kleiner oder gleichgroß sein muss.
>>
>> Von zwei _Mengen_ A und B!
>
> Es ist fragwürdig, ein Stück vom Kontinuum als Menge einzelner Elemente
> anzusehen, denn jenes noch so kleine Teil enthält unendlich viele
> "Elemente".
i) Nur jedes _endlich_ breite Intervall enthält unendlich viele _Elemente_,
die Intervalle sind auch gar nicht die Elemente von A und B.
ii) Das selbe gilt auch für (Q, dieses Dein "Argument" nummeriere ich mal
als "ES.1".
iii) Dass Dir etwas "fragwürdig" erscheint, ist mathematisch irrelevant.
> Ich hatte schon Cantor zitiert:
> Menge = Inbegriff bestimmter Elemente
Ja... und nun?
> [keine reelle Zahl ist numerisch vollständig bestimmbar]
Definiere "numerisch vollständig bestimmbar"!
[...]
> In der Nichtvereinzelbarkeit und somit Nichtunterscheidbarkeit liegt der
> Haken.
Du hast noch nie zwei nichtunterscheidbare reelle Zahlen (oder eine
Konstruktionsvorschrift dafür) angeben können
> Als Cantor für sein zweites Diagonalargument fiktive reelle
> Zahlen mit unendlich vielen Stellen voraussetzte schloss er unteilbare
> mathematische Urelemente aus.
"Unteilbare mathematische Urelemente" gibt es ja auch nur in Deiner
Blumscheinomatik Oder sind Deine "unteilbaren mathematischen Urelemente"
gleichzustezen mit Deinen "mathematischen Quanten"? Reelle Zahlen schloss er
jedenfalls nicht aus.
[...]
>>> Das wäre ja richtig, wenn sich das Kontinuum in einzelne unteilbare
>>> (atomare) Urelemente (mathematische Quanten) vereinzeln (quantisieren)
>>> ließe.
>>
>> Beweis?
Wo ist jetzt der Beweis?
>> (Und vorher: Defintion "(atomare) Urelemente"?)
>
> Ebbinghaus schreibt (Zahlen, 3. Aufl. S. 303) Bei den Überlegungen...
> gehalten die Urelemente (Zahlen, Punkte) die Rolle von Atomen; ihre
> Gestalt bleibt im Dunkeln.
Zahlen sind nicht Punkte! Und können damit nicht beide "Urelemente" (von was
überhaupt?) verkörpern. Was für Zahlen überhaupt? Ganze? Rationale? Reelle?
> Es ist ganz einfach: Bricht man die Ziffernfolge irgendwo ab, dann
> definiert dies die mathematischen Quanten, und man bleibt auf rationale
> Zahlen beschränkt.
Damit haben wir also so eine (unvollständige) Definition Deiner
"mathematischen Quanten":
"Mathematische Quanten" sind rationale Zahlen, die (in welcher Basis?) nur
endlich viele Ziffern haben. Ich nenne sie mal "ED.1".
> Tut man es nicht, ist der Weg frei zu den nicht erreichbaren reellen
> Zahlen des Kontinuums.
Nur für _Dich_, den Ziffernfetischisten, sind sie nicht erreichbar.
[...]
>> Vielmehr gilt:
>>
>> Existiert eine Bijektion zwischen A und B? ja => "gleichmächtig"
>
> In der Sache bin ich hier einverstanden.
>
>> nein => {Existiert eine Injektion von A nach B? ja => "B mächtiger als A"
>> nein=> "A mächtiger als B"}
>>
>> Und das ist keine nebulöse "Überlegung" sondern folgt aus
>> Defintion+Beweis.
>
> ... die von der unbewiesenen und falschen Annahme ausgehen, dass man
> sich auch das Kontinuum wie eine Aufreihung einzelner Punkte vorstellen
> darf.
Definiere "Aufreihung" (oder ersetzte es durch "Menge") und beweise diese
Deine unbewiesene und falsche Aussage!
> Beliebig viele Punkte hat man schon mit den rationalen Zahlen,
Zwar sind Punkte immer noch keine Zahlen, aber ich lese aus Diesem Satz
Deine Definiton
"beliebig viele" = |(Q| und nenne sie "ED.2".
> aktual unendlich viele sind aber nicht quantifizierbar.
"Aktual unendlich viele" gibt es in der Mathematik, in der wir "leben" (d.h.
die _nicht_ von historischen Begriffen verunklärt ist) nicht. Wenn Du damit
argumentieren willst, musst Du es definieren, genauso wie den undefinierten
Begriff "quantifizierbar".
> Da kann es auch keine Injektion geben.
Soso. Die Abbildung f : IR->IR mit f(x)=2x existiert also nicht? Oder ist
sie keine Injektion? Kannst Du das beweisen?
> Es gehr um eine andere Qualität. Nebulös ist der irrige
> Cantorglauben an eine Quantifizierung der Unendlichkeit.
Du konntest diese "Irrigkeit" nie beweisen. Ganz offenbar gibt es
unterscheidliche Typen von unendlichen Mengen.
Ein kleiner Versuch, Deine Definitionen und Aussagen zu sortieren (Du darfst
sie gerne korrigieren):
ED.1: "Mathematische Quanten" = rationale Zahlen, die nur endlich viele
Ziffern haben
ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
ES.1: IR unterscheidet sich von (Q dadurch, dass jedes noch so kleine
Intervall von IR unendlich viele Elemente hat.
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein schrieb:
>> Für Cantor ist eine Menge ein "Inbegriff bestimmter Elemente, welcher
>> durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann". Daraus schließe
>> ich, dass die Elemente in der Tat keine Zahlen sein müssen. Elemente
>> müssen es aber sein. Ohne Elemente gäbe es ja keinen Inbegriff der
>> Elemente.
>
> Nur nebenbei, es gibt auch die leere Menge, die hat keine Elemente. Und was
> ist der Inbegriff der Elemente gleich nochmal?
Könnte es sein, dass erst Zermelo geschäftstüchtig die leere Menge
erfunden hat? Ex, Aus, basta?
Für eine Entdeckung halte ich die leere Tüte nicht.
Cantors Menge ist der "Inbegriff bestimmter Elemente, ..."
>
>>> Die Existenz solcher Abbildungen
>>> verrät uns nun, dass beide Mengen tatsächlich dieselbe Kardinalität
>>> haben. Wie sieht es nun mit der Menge M3:={pi, sqrt(2)} aus. Wieviele
>>> Elemente hat diese?
>>
>> Wenn man beide Elemente jeweils als geschlossen betrachtet, dann braucht
>> man ja nur zu zählen, wobei man jedes bereits gezählte Element aus der
>> Menge streicht.
>
> Was heißt geschlossen? Das ist für die Betrachtung gänzlich irrelevant. Die
> Menge M3 hat *zwei* Elemente, und die kann ich abzählen.
Oh oh, wie erkläre ich Mathematikern was ich hier mit dem Begriff
geschlossen meinte? Ich wollte ausdrücken, dass die beiden Elemente auch
genauso gut Max und Moritz sein könnten. Der Begriff Element schirmt sie
vor neugierigen Fragen ab wie eine geschlossene Kapsel.
D a s Problem unserer gesamten Diskussion besteht darin, dass man eine
reelle Zahl in numerischer Repräsentation n i c h t isolieren kann.
Da hilft der Zermelon auch nicht den man sich definiert, es würde mit
einer dahingelogenen Wohlordnung gehen. Es geht nicht.
>> Hier protestiere ich. Die Elemente deren Anzahl gefragt ist ("Wieviele
>> Elemente hat diese?") sollten in sich geschlossen sein.
>
> Wer sagt das? In der von Dir zitierten Definition steht davon nichts.
In sich geschlossen bedeutet draußen in der normalen Welt dass niemanden
angeht was hinter den zugeklappten Fensterläden ist. Voneinander
isoliert könnte ich auch sagen. Elementum = Urstoff sagt das Gleiche.
Ohne diskrete Elemente kann man nicht zählen.
Und
> mit geschlossen meinst Du wohl die vielzitierte Darstellbarkeit als
> abbrechende Zahlenfolge.
Nein. Siehe oben.
> Was sollten wir auch
> mit dem Mengenbegriff anfangen, wenn wir nicht einmal reelle Zahlen zu
> einer Menge zusammenfassen können.
Das ist wirklich eine gute Frage. Die reellen Zahlen sind ja fiktive
Elemente, und da sollte man vorsichtig sein.
>
>> Mir fällt auf, dass Du es vorziehst, endliche und abzählbare
>> (unendliche) Mengen zu "höchstens abzählbaren" zusammenzufassen.
>> Endlichkeit und Unendlichkeit schließen sich doch gegenseitig aus.
>
> Das ist Definitionssache. Manche Autoren bezeichnen nur solche Mengen mit
> als abzählbar, die bijektiv auf IN abbildbar sind. Diese sind dann
> natürlich unendlich. Andere sehen auch endliche Mengen als abzählbar an. Um
> klarzustellen, dass man sowohl endliche als auch zu IN bijektive unendliche
> Mengen meint, sagt man halt "höchstens abzählbar".
Das war mir schon klar.
>
>> Ich empfinde den Begriff "höchstens abzählbar" als schlechten Stil weil
>> er die falsche Vermutung provoziert, es gäbe etwas was mehr als
>> abzählbar ist.
>
> Das ist Deine Meinung, die Du hier ja schon zu Genüge ausgebreitet hast. Ob
> Du IR nun als "nicht abzählbar" "überabzählbar" oder "hurz" bezeichnest,
> ist letzlich egal, fest steht jedenfalls, dass IR *keine* "höchstens
> abzählbare" Menge ist.
Einverstanden.
> Was aber nicht heißt, dass es nicht Teilmengen von
> IR gibt, die abzählbar wären, wie zum Beispiel {pi, sqrt(2)}
Ob diesem Fall pi und sqrt(2) jeweils Teilmengen von IR sind halte ich
insofern für zweifelhaft als Cantor die Menge als "Vieles" ansieht "das
sich als Eins denken lässt". Ganz und gar unsinnig ist es, zwei nur
aufgabenhaft definierte reelle Zahlen als Elemente von IR ansehen zu
wollen. IR lässt sich nicht elementarisieren und schon gar nicht aus
Elementen zusammensetzen. Es geht nicht.
>
>>> Als anderes Beispiel betrachte die Menge der Achsen
>>> in einem zweidimensionalen Koordinatensystem, also etwa die reelle und
>>> die imaginäre Achse von (C. Obwohl beide Achsen jeweils das ganze
>>> Kontinuum repräsentieren, willst Du doch wohl nicht ernsthaft an der
>>> *Zweiheit* dieser Menge zweifeln, oder?
>>
>> Da scheinst Du mich misszuverstehen. Selbstverständlich hat man die
>> Freiheit beide Achsen als Zweiheit oder gar als Einheit aufzufassen.
>
> Warum sollte ich Dich missverstehen. Ich rede von Mengen und ihren
> Mächtigkeiten, klar definierte mathematische Begriffe. Du benutzt dieselben
> Begriffe, meinst aber offenbar etwas anderes. Dass Du dann zu anderen
> Ergebnissen kommst, ist dann ganz allein Dein Problem und keines der
> Mathematik.
Dem Mengenbegriff muss notwendigerweise vom Begriff Element oder
"mathematisches Objekt" ausgehen. Irrationalzahlen sind keine Objekte
einer exakten Zifferndarstellung. Das ist nicht mein Problem.
Pratt wies wohl zu Recht darauf hin, dass Mengenlehre (diskret) und
Kategorientheorie (kontinuierlich) widersprüchlich basiert sind.
Das ist nicht mein Problem.
>
>> Mir geht es um die rationalen und die reellen Zahlen, in diesem Fall also
>> um das Innenleben der von Dir definierten Elemente (Achsen).
>
> Da kann aber die Menge nichts dafür.
Doch, s. o.
>
> Fazit:
>
>>>> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
>
> ist falsch
Du irrst. Abzählen setzt eine Ordnung voraus. In IR kann man nichts
abzählen. Cantor hat es bewiesen.
>>>> Auch das kleinste Stück des Kontinuums ist nicht abzählbar.
>
> Ist richtig, wenn du als ein Stück ein Intervall mit mehr als einem Punkt
> meinst. Dennoch ist die Menge { [0,1], [sqrt(2),pi] } höchstens abzählbar,
> genauer: sie ist endlich und hat genau *zwei* Elemente, nämlich [0,1] und
> [sqrt(2),pi]. Wenn ich von der Menge der Nullstellen der reellen Funktion
> x^2-2 rede, dann rede ich von der Menge {-sqrt(2), sqrt(2)}. Wieviele
> Nullstellen sind das?
In IR gibt es weder die Eins 1 noch die Null sondern jede Zahl ist erst
mit unendlich vielen Stellen repräsentiert.
Der Kardinalfehler liegt in der Punktvorstellung. Punkte gibt es nur mit
rationalen Zahlen.
Eckard
Eckard Blumschein
On 9/7/2005 1:47 PM, Ralf Goertz wrote:
> muss es doch möglich sein, ihm die Einelementigkeit von {pi}
> klarzumachen.
Aus der Schreibweise {pi} kann sogar schon ich ohne Brille sehen, dass
eine Menge mit einem Element gemeint ist.
Daraus leite ich aber nicht ab, dass wie man denkfaulerweise oft annimmt
auch die Bedeutung (das Innere) dieses Elements im Kontext von IR
einelementig ist. Das was hier als Element benutzt wird, ordnet sich ja
nur _fiktiv_ in die Darstellung als Ziffernfolge ein.
Ich kann es für IR von der aufgabenhaften Buchstabendarstellung pi
zweckmäßig umschreiben in {3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 ...} und jeden
Summanden als Element auffassen.
Für die Darstellung einer Irrationalzahl braucht man unendlich viele
Ziffern.
Ich benutze ungern den Kardinaltätsbegriff: |{reelle Zahl pi}|=aleph_1,
werde aber so - wenn überhaupt - wohl eher verstanden.
Anstelle von reelle Zahl pi könnte auch "die aus 0 durch Einbettung in
IR zu bildende reelle Zahl" stehen. Sie ist mit unendlich vielen
Nachkommanullen ebenso fiktiv wie jede andere reelle Zahl. Mit den
aufgabenhaften Darstellungen lässt sich keine stetige Ordnung begründen.
Man kommt um ein Ziffernsystem nicht herum. Die Fiktivität der reellen
Zahlen hat Cantor nochmals nachgewiesen. Man kommt nicht daran vorbei.
Und man braucht diese Einsicht um z. b. den von Aristoteles erkannten
Widerspruch zwischen Ruhe und beginnender Bewegung aufzulösen.
Habt doch bitte keine Angst davor, dass irgendetwas Wesentliches in der
Mathematik wie von Fraenkel befürchtet zusammenstürzt.
Eckard Blumschein
>> In der Nichtvereinzelbarkeit und somit Nichtunterscheidbarkeit liegt der
>> Haken.
>
> Du hast noch nie zwei nichtunterscheidbare reelle Zahlen (oder eine
> Konstruktionsvorschrift dafür) angeben können
Das kann auch niemand, und zwar deshalb nicht weil man nicht angeben
kann was sich um unendlich wenig (= nichts) unterscheidet und trotzdem
in einer ansteigenden Reihe aufeinander folgt. Die reellen Zahle sind
fiktiv. Mathematiker sollten sich das vorstellen oder es wenigstens
akzeptieren können.
Freilich passt es nicht zur Intention damit in jeder Hinsicht umzugehen
wie mit anderen Zahlen. Aber man wusste es vorher, und Cantor hat es
nochmals gezeigt.
> sind Deine "unteilbaren mathematischen Urelemente"
> gleichzustezen mit Deinen "mathematischen Quanten"?
Die Begriffe wie Urelemente (Zermelo 1930), mathematische Atome
(Weyl 1918 ?), atomarer Charakter, etc. stammen nicht von mir.
Ebbinghaus schrieb den reellen Zahlen die Rolle von Atomen zu.
Da die Atome der Physik nicht unendlich klein sind, halte ich diese
Sichtweise für zumindest sehr irreführend.
>> Ebbinghaus schreibt (Zahlen, 3. Aufl. S. 303) Bei den Überlegungen...
>> behalten die Urelemente (Zahlen, Punkte,...) die Rolle von Atomen; ihre
>> Gestalt bleibt im Dunkeln.
>
> Zahlen sind nicht Punkte!
Korrigiert habe ich behalten statt falsch gehalten und ergänzt ,...
Ansonsten mag Ebbinghaus wissen was er schrieb.
> Und können damit nicht beide "Urelemente" (von was
> überhaupt?) verkörpern. Was für Zahlen überhaupt? Ganze? Rationale? Reelle?
Meine Überlegung ist sonnenklar:
Reelle Zahlen sind fiktiv. Sie sind qualitativ von den rationalen
unterschieden. Wenn der axiomatische Aufbau der Zahlen als hierarchische
Grundlage der Mathematik vernünftig war, dann kann er nur von den
greifbaren, von den rationalen Zahlen als kleinste Quanten ausgegangen
sein, denn einen logisch nachvollziehbaren Schritt von den fiktiven
reellen zu den numerisch quantifizierten rationalen Zahlen kenne ich
nicht, und ich kann ihn mir auch nicht vorstellen.
Zermelos Nullmenge zementiert den Geburtsfehler der rationalen Zahlen
nicht symmetrisch teilbar zu sein, was IR bzw. das Kontinuum ja
zweifellos noch ist. Das setzt konsequent Cantors irrige Vorstellung
fort, die Unendlichkeit sei mehr als oder weniger mächtig quantifizierbar.
Zermelo führte den Begriff Urelemente ein. Beliebt scheint dieser nicht
zu sein.
> Damit haben wir also so eine (unvollständige) Definition Deiner
> "mathematischen Quanten":
> "Mathematische Quanten" sind rationale Zahlen, die (in welcher Basis?) nur
> endlich viele Ziffern haben. Ich nenne sie mal "ED.1".
Ja, so hatte ich es gemeint.
>> Tut man es nicht, ist der Weg frei zu den nicht erreichbaren reellen
>> Zahlen des Kontinuums.
>
> Nur für _Dich_, den Ziffernfetischisten, sind sie nicht erreichbar.
Eigenartig. Ich sah das schon vor Jahren umgekehrt.
>> ... die von der unbewiesenen und falschen Annahme ausgehen, dass man
>> sich auch das Kontinuum wie eine Aufreihung einzelner Punkte vorstellen
>> darf.
>
> Definiere "Aufreihung" (oder ersetzte es durch "Menge") und beweise diese
> Deine unbewiesene und falsche Aussage!
Solange es einzelne voneinander unterscheidbare Punkte gibt liegt noch
nicht die Qualität Kontinuum = Zahlen mit unendlich vielen Ziffern vor.
>> Beliebig viele Punkte hat man schon mit den rationalen Zahlen,
>
> Zwar sind Punkte immer noch keine Zahlen, aber ich lese aus Diesem Satz
> Deine Definiton
> "beliebig viele" = |(Q| und nenne sie "ED.2".
Gibt es da einen wesentlichen Unterschied zu oben?
>> aktual unendlich viele sind aber nicht quantifizierbar.
>
> "Aktual unendlich viele" gibt es in der Mathematik, in der wir "leben" (d.h.
> die _nicht_ von historischen Begriffen verunklärt ist) nicht. Wenn Du damit
> argumentieren willst, musst Du es definieren, genauso wie den undefinierten
> Begriff "quantifizierbar".
Ganz einfach: Aktual unendlich viele heißt, man braucht von den
potentiell unendlich vielen Zahlen oder Indices alle. Das ist
unrealistisch. Deshalb sind das aktuale Unendliche und die auf ihm
begründeten numerisch dargestellten reellen Zahlen ja auch nur fiktive
Zahlen.
>> Da kann es auch keine Injektion geben.
>
> Soso. Die Abbildung f : IR->IR mit f(x)=2x existiert also nicht? Oder ist
> sie keine Injektion? Kannst Du das beweisen?
Wenn Du mich verstanden hast tue es bitte für mich.
>> Es gehr um eine andere Qualität. Nebulös ist der irrige
>> Cantorglauben an eine Quantifizierung der Unendlichkeit.
>
> Du konntest diese "Irrigkeit" nie beweisen. Ganz offenbar gibt es
> unterscheidliche Typen von unendlichen Mengen.
>
> Ein kleiner Versuch, Deine Definitionen und Aussagen zu sortieren (Du darfst
> sie gerne korrigieren):
>
> ED.1: "Mathematische Quanten" = rationale Zahlen, die nur endlich viele
> Ziffern haben
>
> ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
Identisch:
Jede rationale Zahl hat beliebig aber endlich viele Ziffern, lässt sich
also grundsätzlich hinschreiben.
> ES.1: IR unterscheidet sich von (Q dadurch, dass jedes noch so kleine
> Intervall von IR unendlich viele Elemente hat.
Aktual unendlich viele, s. o.
Damit sind die Elemente von (Q numerisch isoliert voneinander. In IR
gibt es keine isolierende Reihung. Für die Vereinzelung würde man aktual
unendlich viele Elemente brauchen. Es geht nur in der Fiktion.
Eckard
Peter Niessen
> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von Q aber nicht von IR.
Albern :-)
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
| | | | |
-( -( -O_O- )- )- Vibrating Cunning Pike
Peter Niessen
> Philosophen sprechen vom Umschlag einer Quantität in eine neue Qualität.
> Um den Staub alten Streits abzuschütteln unterscheide ich zwischen
> (a) der Sache um die es geht (riesige oder überaus fein gefächerte
> Zahlen) und
> (b1, b2) zwei sich gegenseitig ausschließenden Varianten ihrer
> Beschreibung.
Schwätzer!
--
____ "Champein for se Fruuts, ____
| @ @| H Miss Sophie?" |o|o |
X| _|_|_/_\ X|_|_ |X
[##V#] MIST |_|__|
Thomas Nordhaus
Ralf Goertz
> On 9/7/2005 12:46 PM, Ralf Goertz wrote:
>> Eckard Blumschein schrieb:
>> Nur nebenbei, es gibt auch die leere Menge, die hat keine Elemente. Und
>> was ist der Inbegriff der Elemente gleich nochmal?
>
> Könnte es sein, dass erst Zermelo geschäftstüchtig die leere Menge
> erfunden hat? Ex, Aus, basta?
> Für eine Entdeckung halte ich die leere Tüte nicht.
> Cantors Menge ist der "Inbegriff bestimmter Elemente, ..."
Ja und die Null ist natürlich auch keine Zahl.
>> Was heißt geschlossen? Das ist für die Betrachtung gänzlich irrelevant.
>> Die Menge M3 hat *zwei* Elemente, und die kann ich abzählen.
>
> Oh oh, wie erkläre ich Mathematikern was ich hier mit dem Begriff
> geschlossen meinte? Ich wollte ausdrücken, dass die beiden Elemente auch
> genauso gut Max und Moritz sein könnten. Der Begriff Element schirmt sie
> vor neugierigen Fragen ab wie eine geschlossene Kapsel.
Genau, und deshalb ist die Natur der Elemente für Mächtigkeitsfragen
irrelevant.
> D a s Problem unserer gesamten Diskussion besteht darin, dass man eine
> reelle Zahl in numerischer Repräsentation n i c h t isolieren kann.
Also ich kann sqrt(2) von pi ganz leicht unterscheiden: sqrt(2)<2<3<pi. Also
sind diese beiden Elemente zusammen eine Menge wohlunterschiedener Elemente
gleichmächtig zu {1,2} und daher höchstens abzählbar. Beide Zahlen sind
reell (genauer irrational), und {sqrt(2),pi} ist daher eine Teilmenge von
IR. Damit ist deine Aussage
> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
widerlegt.
> Da hilft der Zermelon auch nicht den man sich definiert, es würde mit
> einer dahingelogenen Wohlordnung gehen. Es geht nicht.
Wohlordnungen sind für die Frage der Mächtigkeit ersteinmal uninteressant.
Außerdem kann ich sqrt(2) und pi wunderbar ordnen.
>>> Hier protestiere ich. Die Elemente deren Anzahl gefragt ist ("Wieviele
>>> Elemente hat diese?") sollten in sich geschlossen sein.
>>
>> Wer sagt das? In der von Dir zitierten Definition steht davon nichts.
>
> In sich geschlossen bedeutet draußen in der normalen Welt dass niemanden
> angeht was hinter den zugeklappten Fensterläden ist. Voneinander
> isoliert könnte ich auch sagen. Elementum = Urstoff sagt das Gleiche.
> Ohne diskrete Elemente kann man nicht zählen.
Die Menge {sqrt(2), pi} ist ja sowas von diskret...
>> Das ist Deine Meinung, die Du hier ja schon zu Genüge ausgebreitet hast.
>> Ob Du IR nun als "nicht abzählbar" "überabzählbar" oder "hurz"
>> bezeichnest, ist letzlich egal, fest steht jedenfalls, dass IR *keine*
>> "höchstens abzählbare" Menge ist.
>
> Einverstanden.
Also akzeptierst du Cantors Beweis.
>
>> Was aber nicht heißt, dass es nicht Teilmengen von
>> IR gibt, die abzählbar wären, wie zum Beispiel {pi, sqrt(2)}
>
> Ob diesem Fall pi und sqrt(2) jeweils Teilmengen von IR sind halte ich
> insofern für zweifelhaft als Cantor die Menge als "Vieles" ansieht "das
> sich als Eins denken lässt".
Ich sprach von {pi, sqrt(2)}. pi und sqrt(2) sind keine Mengen. {pi} und
{sqrt(2)} sind (einelementige) Teilmengen von IR. Wieder verwechselst du
Element und Menge.
> Ganz und gar unsinnig ist es, zwei nur
> aufgabenhaft definierte reelle Zahlen als Elemente von IR ansehen zu
> wollen.
Jetzt mal Butter bei die Fische. Für welche *mathematische* Fragestellung
benötige ich die vollständige Zifferndarstellung von pi?
> IR lässt sich nicht elementarisieren und schon gar nicht aus
> Elementen zusammensetzen. Es geht nicht.
Das ist für die Frage der Existenz von abzählbaren Teilmengen von IR
irrelevant.
>
> Du irrst. Abzählen setzt eine Ordnung voraus. In IR kann man nichts
> abzählen. Cantor hat es bewiesen.
Du sagtest doch
> Es gibt zwar abzählbare *Teilmengen* von (Q aber nicht von IR.
sqrt(2) < pi ist doch eine schöne Ordnung. Und {sqrt(2), pi} ist eine
(höchstens) abzählbare Teilmenge von IR, ja oder nein?
>
>> Wenn ich von der Menge der Nullstellen der reellen Funktion
>> x^2-2 rede, dann rede ich von der Menge {-sqrt(2), sqrt(2)}. Wieviele
>> Nullstellen sind das?
>
> In IR gibt es weder die Eins 1 noch die Null sondern jede Zahl ist erst
> mit unendlich vielen Stellen repräsentiert.
Bleiben wir bei den natürlichen Zahlen. Deiner Logik entsprechend weiß ich
nicht, ob ...000000001<...00000002 gilt, denn ich brauche *alle* Stellen um
das zu entscheiden.
Bernd Funke
>
> On 9/7/2005 1:47 PM, Ralf Goertz wrote:
>
>> muss es doch möglich sein, ihm die Einelementigkeit von {pi}
>> klarzumachen.
>
> Aus der Schreibweise {pi} kann sogar schon ich ohne Brille sehen, dass
> eine Menge mit einem Element gemeint ist.
Und genau _das_ meint |{\pi}|=1 (oder auch card({\pi})=1, aber card ist ja
ein rotes Tuch für Dich, und damit automatisch mathematisch zweifelhaft,
jaja...).
> Daraus leite ich aber nicht ab, dass wie man denkfaulerweise oft annimmt
> auch die Bedeutung (das Innere) dieses Elements im Kontext von IR
> einelementig ist.
Wer sollte so einen Unsinn annehmen? Und das auch noch _oft_? Und dann noch
aus Denkfaulheit?
_Niemand_ hier käme auf die Schnapsidee zu schließen: |{A}|=1 => |A|=1
Mal wieder ein gutes Beispiel für Deine unverschämten Unterstellungen.
> Das was hier als Element benutzt wird, ordnet sich ja
> nur _fiktiv_ in die Darstellung als Ziffernfolge ein.
Das ist genauso falsch wie irrelevant.
> Ich kann es für IR von der aufgabenhaften Buchstabendarstellung pi
> zweckmäßig umschreiben in {3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 ...}
Dass das _zweckmäßig_ wäre, ist allein Deine Vorstellung; egal, es ändert an
der Menge {\pi} rein gar nichts.
> und jeden Summanden als Element auffassen.
Als Element von _was_ bitteschön?
Deine "Auffassungsoperation" besteht also doch wohl darin, dass Du der Zahl
\pi eine Menge P _zuordnest_, die da lautet P={3, 1/10, 4/100, 1/1000, ...}
> Für die Darstellung einer Irrationalzahl braucht man unendlich viele
> Ziffern.
Das ist völlig irrelevant für die Tatsache, dass sowohl {\pi} als auch {P}
nur _ein_ Element haben.
> Ich benutze ungern den Kardinaltätsbegriff: |{reelle Zahl pi}|=aleph_1,
> werde aber so - wenn überhaupt - wohl eher verstanden.
Es wird verstanden, dass Du vom Kardinaltätsbegriff _nichts_ verstanden
hast. Denn Dein "|{reelle Zahl pi}|=aleph_1" ist mal wieder markerschüternd
falsch.
Da mit \pi selbstverständlich die reelle Zahl \pi gemeint ist, gilt |{reelle
Zahl \pi}|=|{\pi}|=1. Und natürlich gilt auch |{P}|=1.
Du hingegen versuchst irgendwie etwas über die Kardinalität des Elements \pi
selbst (statt die von {\pi}) zu sagen und meintest dann mit obigem "|{reelle
Zahl pi}|" die "aktual unendlich" vielen Summanden Deiner "zweckmäßigen
Umschreibung". Aber auch damit landetest Du beim falschen Ergebnis, denn
|P|=\aleph_0, da \pi offenbar nur abzählbar unendlich viele Nachkommastellen
hat:
1 -> 3
2 -> 1/10
3 -> 4/100
4 -> 1/1000
...
Ergo: Deine Aussage "|{reelle Zahl \pi}| = \aleph_1" ist noch falscher als
falsch, überfalsch sozusagen.
[...]
> Habt doch bitte keine Angst davor, dass irgendetwas Wesentliches in der
> Mathematik wie von Fraenkel befürchtet zusammenstürzt.
Die Angst habe ich gewiss nicht, schwadronierst Du doch nachwievor nur über
Widersprüche zwischen mathematischen Objekten und _Deiner_ bizarren
_Vorstellung_ von ihnen. Ein Aufdecken von Widersprüchen _innerhalb_ der
Mathematik ist von Dir ganz sicher _nicht_ zu erwarten.
tschö
Bernd Funke
> On 9/7/2005 5:27 PM, Bernd Funke wrote:
>
>>> In der Nichtvereinzelbarkeit und somit Nichtunterscheidbarkeit liegt der
>>> Haken.
>>
>> Du hast noch nie zwei nichtunterscheidbare reelle Zahlen (oder eine
>> Konstruktionsvorschrift dafür) angeben können
>
> Das kann auch niemand, und zwar deshalb nicht weil man nicht angeben
> kann was sich um unendlich wenig (= nichts) unterscheidet
Wenn sich etwas (oder vielmehr notwendigerweise zwei Dinge) um _nichts_
unterscheiden, dann unterscheiden sie sich offenbar eben _nicht_. Dass Du
das anders siehst, passt nicht gut mit Deiner Forderung nach Plausibilität
zusammen, oder?
[...]
>> sind Deine "unteilbaren mathematischen Urelemente"
>> gleichzustezen mit Deinen "mathematischen Quanten"?
>
> Die Begriffe wie Urelemente (Zermelo 1930), mathematische Atome
> (Weyl 1918 ?), atomarer Charakter, etc. stammen nicht von mir.
> Ebbinghaus schrieb den reellen Zahlen die Rolle von Atomen zu.
>
> Da die Atome der Physik nicht unendlich klein sind, halte ich diese
> Sichtweise für zumindest sehr irreführend.
_Du_ bist es doch, der mit diesem Begriff irgendwas erklären oder gar
beweisen will. Also solltest Du auch sagen können, was Du damit meinst und
Dich nicht wieder hinter Passagen aus irgendwelchen Vorworten oder Fußnoten
berühmter Leute verstecken.
>> Und können damit nicht beide "Urelemente" (von was
>> überhaupt?) verkörpern. Was für Zahlen überhaupt? Ganze? Rationale?
>> Reelle?
>
> Meine Überlegung ist sonnenklar:
Guter Witz!
> Reelle Zahlen sind fiktiv.
"fiktiv" ist mal wieder kein mathematischer Begriff. Für mich sind
eigentlich alle mathematischen Objekte fiktiv. Oder hast Du schonmal die
natürliche Zahl 7 angefasst?
> Sie sind qualitativ von den rationalen unterschieden.
Die irrationalen unter ihnen, ja, sie sind nämlich keine Lösungen der
Gleichung ax=b (a, b ganz).
> Wenn der axiomatische Aufbau der Zahlen als hierarchische
> Grundlage der Mathematik vernünftig war, dann kann er nur von den
> greifbaren, von den rationalen Zahlen als kleinste Quanten ausgegangen
> sein,
Dort hat er zwar nicht angefangen (sondern noch einfacher), aber dort ist er
vorbeigekommen, _bevor_ er zu den reellen Zahlen kam.
> denn einen logisch nachvollziehbaren Schritt von den fiktiven
> reellen zu den numerisch quantifizierten rationalen Zahlen kenne ich
> nicht,
Das liegt zum einen an Deiner "Logik" (denn der Schritt kann ja nur von den
rationalen zu den reellen erfolgen, nicht andersrum) und daran, dass Du
in mathematischen Büchern immer nur Vorworte und Fußnoten liest.
> und ich kann ihn mir auch nicht vorstellen.
Na klar, das ist natürlich der stichhaltigste Beweis. Was Eckard sich nicht
vorstellen kann, das muss natürlich falsch sein. _Sehr_ überzeugend, Eckard!
[...]
>> Damit haben wir also so eine (unvollständige) Definition Deiner
>> "mathematischen Quanten":
>> "Mathematische Quanten" sind rationale Zahlen, die (in welcher Basis?)
>> nur
>> endlich viele Ziffern haben. Ich nenne sie mal "ED.1".
>
> Ja, so hatte ich es gemeint.
Und Du bist nicht gewogen, die Definiton zu vervollständigen. Mir scheint,
Du meinst _Dezimalziffern_, ja?
[...]
>>> ... die von der unbewiesenen und falschen Annahme ausgehen, dass man
>>> sich auch das Kontinuum wie eine Aufreihung einzelner Punkte vorstellen
>>> darf.
>>
>> Definiere "Aufreihung" (oder ersetzte es durch "Menge") und beweise diese
>> Deine unbewiesene und falsche Aussage!
>
> Solange es einzelne voneinander unterscheidbare Punkte gibt liegt noch
> nicht die Qualität Kontinuum = Zahlen mit unendlich vielen Ziffern vor.
Das ist kein Beweis, sondern eine Umformulierung Deiner falschen Behauptung,
bei der Du noch mehr kaputt gemacht als vielmehr "beweisen" hast. Ich
entnehme ihm aber Deine Definition ED.3 "Kontinuum = Zahlen mit unendlich
vielen Ziffern".
Deine Behauptung bleibt unbewiesen.
>>> Beliebig viele Punkte hat man schon mit den rationalen Zahlen,
>>
>> Zwar sind Punkte immer noch keine Zahlen, aber ich lese aus Diesem Satz
>> Deine Definiton
>> "beliebig viele" = |(Q| und nenne sie "ED.2".
>
> Gibt es da einen wesentlichen Unterschied zu oben?
Ich sehe keinen. Auch wenn Punkte keine Zahlen sind, hatte ich hier
vorausgesetzt, dass Du einen eindeutigen Punkt zu jeder rationalen Zahl
meintest.
>>> aktual unendlich viele sind aber nicht quantifizierbar.
>>
>> "Aktual unendlich viele" gibt es in der Mathematik, in der wir "leben"
>> (d.h.
>> die _nicht_ von historischen Begriffen verunklärt ist) nicht. Wenn Du
>> damit
>> argumentieren willst, musst Du es definieren, genauso wie den
>> undefinierten
>> Begriff "quantifizierbar".
>
> Ganz einfach: Aktual unendlich viele heißt, man braucht von den
> potentiell unendlich vielen Zahlen oder Indices alle. Das ist
> unrealistisch.
Das ist Mückenheims und Deine Meinung, lässt die Mathematik (die sich zu
Deinem Leidwesen _nicht_ an der Realität orientiert) aber kalt.
Eine Defintion sehe ich darin aber immer noch nicht. Eine Menge heißt bei
Dir "aktual unendlich", wenn... Ja, wann?
[...]
>>> Da kann es auch keine Injektion geben.
>>
>> Soso. Die Abbildung f : IR->IR mit f(x)=2x existiert also nicht? Oder ist
>> sie keine Injektion? Kannst Du das beweisen?
>
> Wenn Du mich verstanden hast tue es bitte für mich.
Ich habe Dich _nicht_ verstanden, dehalb habe ich gefragt. Was meinst Du
also? Dass f nicht existiert? Kannst Du das beweisen? Oder dass f keine
Bijektion ist? Kannst Du das dann beweisen?
[...]
>> ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
>
> Identisch:
> Jede rationale Zahl hat beliebig aber endlich viele Ziffern, lässt sich
> also grundsätzlich hinschreiben.
Weder identisch noch richtig. Hat die rationale Zahl 1/3 endlich viele
Ziffern?
>> ES.1: IR unterscheidet sich von (Q dadurch, dass jedes noch so kleine
>> Intervall von IR unendlich viele Elemente hat.
>
> Aktual unendlich viele, s. o.
Soso, Intervalle von IR haben also "aktual unendlich" viele Elemente. Das
legt die Defintion ED.4 "aktual unendlich viele = |IR| nahe. Hmm, das könnte
noch Probleme bringen...
Ich rekapituliere:
ED.1: "Mathematische Quanten" = rationale Zahlen, die nur endlich viele
Ziffern haben
ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
ED.3: "Kontinuum = Zahlen mit unendlich vielen Ziffern"
ED.4: "aktual unendlich viele" = |IR|
ES.1: IR unterscheidet sich von (Q dadurch, dass jedes noch so kleine
Intervall von IR aktual unendlich viele Elemente hat.
Mit der hinzugekommenen Defintion ED.4 ist ES.1 natürlich nicht mehr
spannend. ED.3 kann ich Dir nicht so ganz abnehmen, oder ist für Dich die
Zahl 1/3=0.[3] schon "ein Kontinuum"?
Eckard Blumschein
>> Könnte es sein, dass erst Zermelo geschäftstüchtig die leere Menge
>> erfunden hat? Ex, Aus, basta?
>> Für eine Entdeckung halte ich die leere Tüte nicht.
>> Cantors Menge ist der "Inbegriff bestimmter Elemente, ..."
>
> Ja und die Null ist natürlich auch keine Zahl.
Ich bin kein Mathematiker und sehe meine Chance etwas dazuzulernen in
absoluter, Hilfe provozierender Offenheit.
Bei der Null denke ich daran, dass sie dem Kehrwert von oo gleicht.
Wie im Angesicht eines satten Behörden(un)menschen fühle ich mich wenn
man sich anmaßt die Null nach links oder nach rechts zu kämmen, ganz
auszuschließen oder auch in eine Extratüte zu legen wenn man die
positiven und negativen Zahlen auseinander geschnitten hat. Brr.
Könnte es sein dass uns Buridans Esel zu mehr Nachdenklichkeit zwingen will?
Ich tue es den alten Griechen gleich und fange nicht nur über die Eins
hinweg zu zählen an sondern lasse mich auch nicht darauf ein, dass eine
Zahl eine Zahl ist egal in welchem Bett.
Bei den natürlichen Zahlen fehlt die Null also.
Erst die Subtraktion macht sie möglich. In Z ist die Null mithin die
erste negative Zahl. Lustig?
Das erben dann die rationalen Zahlen.
Reelle Zahlen sind für mein Spatzengehirn alles andere als reell nämlich
fiktiv. Und damit hat sich die Frage nach der Existenz einer einzelnen
Zahl - und sei es die Null - definitiv erledigt. Hier würden sich das
Prinzip der Diskretheit von Zahlen und der Nichtauflösbarkeit des
Kontinuums gegenseitig totbeißen wenn wir ihnen nicht um den Preis der
Unvorstellbarkeit vernünftige Koexistenzregeln auferlegen würden.
Im Klartext kann das nur heißen: CH und AC sowie sicherlich einiges mehr
in den Schrott. Lasst beispielsweise oo*0=0/0=beliebig gelten.
Die 0,000... (aktual unendlich viele Nullen) existiert im aktual
Unendlichen, also nirgendwo. Ich zerschneide einen Doppelbogen Papier in
der Mitte zwischen plus und minus, und keine Null bleibt übrig oder
schreit aua.
>> Oh oh, wie erkläre ich Mathematikern was ich hier mit dem Begriff
>> geschlossen meinte? Ich wollte ausdrücken, dass die beiden Elemente auch
>> genauso gut Max und Moritz sein könnten. Der Begriff Element schirmt sie
>> vor neugierigen Fragen ab wie eine geschlossene Kapsel.
>
> Genau, und deshalb ist die Natur der Elemente für Mächtigkeitsfragen
> irrelevant.
Klar.
>> D a s Problem unserer gesamten Diskussion besteht darin, dass man eine
>> reelle Zahl in numerischer Repräsentation n i c h t isolieren kann.
>
> Also ich kann sqrt(2) von pi ganz leicht unterscheiden: sqrt(2)<2<3<pi.
Da habe ich weder sqrt(2) noch pi numerisch gegriffen.
> Also
> sind diese beiden Elemente zusammen eine Menge wohlunterschiedener Elemente
> gleichmächtig zu {1,2} und daher höchstens abzählbar.
Klar solange sie auch Max und Moritz heißen können.
> Beide Zahlen sind
> reell (genauer irrational), und {sqrt(2),pi}
Das hat mit der Aussage der Abzählbarkeit von M&M nichts zu tun.
> ist daher eine Teilmenge von
> IR. Damit ist deine Aussage
>> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
>
> widerlegt.
Ist Max eine Teilmenge von (Q oder IR?
>
>> Da hilft der Zermelon auch nicht den man sich definiert, es würde mit
>> einer dahingelogenen Wohlordnung gehen. Es geht nicht.
>
> Wohlordnungen sind für die Frage der Mächtigkeit ersteinmal uninteressant.
Aussagen zur Mächtigkeit sind Quantifizierungen, und die setzen eine zum
Zählen geeignete Ordnung voraus.
> Außerdem kann ich sqrt(2) und pi wunderbar ordnen.
Selbstbetrug.
>
>
>>>> Hier protestiere ich. Die Elemente deren Anzahl gefragt ist ("Wieviele
>>>> Elemente hat diese?") sollten in sich geschlossen sein.
>>>
>>> Wer sagt das? In der von Dir zitierten Definition steht davon nichts.
>>
>> In sich geschlossen bedeutet draußen in der normalen Welt dass niemanden
>> angeht was hinter den zugeklappten Fensterläden ist. Voneinander
>> isoliert könnte ich auch sagen. Elementum = Urstoff sagt das Gleiche.
>> Ohne diskrete Elemente kann man nicht zählen.
>
> Die Menge {sqrt(2), pi} ist ja sowas von diskret...
Du meinst ihre Elemente. Beschränken wir uns auf pi. Ja, die Aufgabe pi
ist diskret. Die vollständige numerische Darstellung ist aber fiktiv und
somit nicht als diskrete Zahl aus dem Kontinuum herauslösbar.
Rationale Näherungen gibt es unendlich viele. Sie bilden einen
unscharfen Haufen um pi.
>
>>> Das ist Deine Meinung, die Du hier ja schon zu Genüge ausgebreitet hast.
>>> Ob Du IR nun als "nicht abzählbar" "überabzählbar" oder "hurz"
>>> bezeichnest, ist letzlich egal, fest steht jedenfalls, dass IR *keine*
>>> "höchstens abzählbare" Menge ist.
>>
>> Einverstanden.
>
> Also akzeptierst du Cantors Beweis.
Als Beweis dafür dass die reellen Zahlen sich fundamental dadurch von
den rationalen unterscheiden dass sie nicht abzählbar sind habe ich ihn
immer akzeptiert. Ich lasse mir nur nicht weismachen, es sei daraus eine
quantitative Aussage abzuleiten.
>>> Was aber nicht heißt, dass es nicht Teilmengen von
>>> IR gibt, die abzählbar wären, wie zum Beispiel {pi, sqrt(2)}
>>
>> Ob diesem Fall pi und sqrt(2) jeweils Teilmengen von IR sind halte ich
>> insofern für zweifelhaft als Cantor die Menge als "Vieles" ansieht "das
>> sich als Eins denken lässt".
>
> Ich sprach von {pi, sqrt(2)}. pi und sqrt(2) sind keine Mengen. {pi} und
> {sqrt(2)} sind (einelementige) Teilmengen von IR. Wieder verwechselst du
> Element und Menge.
Vielleicht geht man mit Cantors wenigen nachvollziehbaren Ideen zu
oberflächlich um. Warum soll eine Menge nicht Element einer anderen
Menge sein oder auch ein Element aus einer Menge bestehen?
Ich sehe nur eine Fallgrube: Elemente müssen in Bezug auf die Menge
voneinander unterschieden (isoliert, diskret wie in Kapseln) sein.
Cantor ließ aber unendliche Mengen zu, gewissermaßen offene Säcke, im
Fall der natürlichen Zahlen durch ein Bildungsgesetz verschlossen, im
Fall der rationalen Zahlen sogar nur durch die Forderung dass von p/q
beide nicht aktual unendlich sein sollen.
>
>> Ganz und gar unsinnig ist es, zwei nur
>> aufgabenhaft definierte reelle Zahlen als Elemente von IR ansehen zu
>> wollen.
>
> Jetzt mal Butter bei die Fische. Für welche *mathematische* Fragestellung
> benötige ich die vollständige Zifferndarstellung von pi?
Nimm nicht pi sondern die reelle Null und lies nochmal was ich ganz oben
schrieb.
Es geht um den von Aristoteles erkannten Widerspruch zwischen Ruhe und
beginnender Bewegung. Das Gitterwerk von (Q ist dazu zu starr.
Anderes Beispiel: Buridans Esel.
>
>> IR lässt sich nicht elementarisieren und schon gar nicht aus
>> Elementen zusammensetzen. Es geht nicht.
>
> Das ist für die Frage der Existenz von abzählbaren Teilmengen von IR
> irrelevant.
Hm. Da sehe ich schon das Problem die beiden Grenzen einer Teilmenge
nicht aufgabenhaft zu benennen. 0,000... (aktual unendlich viele Nullen)
ist aufgabenhaft.
>
>>
>> Du irrst. Abzählen setzt eine Ordnung voraus. In IR kann man nichts
>> abzählen. Cantor hat es bewiesen.
>
> Du sagtest doch
>> Es gibt zwar abzählbare *Teilmengen* von (Q aber nicht von IR.
> sqrt(2) < pi ist doch eine schöne Ordnung.
Auf dem Umweg über (Q, also genau besehen nur in (Q.
> Und {sqrt(2), pi} ist eine
> (höchstens) abzählbare Teilmenge von IR, ja oder nein?
Es ist eine abzählbare Teilmenge von Max und Moritz, nicht von IR weil
die inneren Eigenschaften der Elemente nicht abgezählt werden.
>> In IR gibt es weder die Eins 1 noch die Null sondern jede Zahl ist erst
>> mit unendlich vielen Stellen repräsentiert.
>
> Bleiben wir bei den natürlichen Zahlen. Deiner Logik entsprechend weiß ich
> nicht, ob ...000000001<...00000002 gilt, denn ich brauche *alle* Stellen um
> das zu entscheiden.
Mit repräsentiert meinte ich vollständig repräsentiert.
Eckard
Eckard Blumschein
>
>> Das was hier als Element benutzt wird, ordnet sich ja
>> nur _fiktiv_ in die Darstellung als Ziffernfolge ein.
>
> Das ist genauso falsch wie irrelevant.
Du behauptest zweierlei und gibst keine prüfbare Erklärung dafür.
>> Ich kann es für IR von der aufgabenhaften Buchstabendarstellung pi
>> zweckmäßig umschreiben in {3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 ...}
>
> Dass das _zweckmäßig_ wäre, ist allein Deine Vorstellung; egal, es ändert an
> der Menge {\pi} rein gar nichts.
Man kann an einer Menge von Doppelbrötchen die Quantität (Kardinalität)
ändern indem man die Elemente auseinanderbricht.
>> und jeden Summanden als Element auffassen.
>
> Als Element von _was_ bitteschön?
> Deine "Auffassungsoperation" besteht also doch wohl darin, dass Du der Zahl
> \pi eine Menge P _zuordnest_, die da lautet P={3, 1/10, 4/100, 1/1000, ...}
Ja.
>> Für die Darstellung einer Irrationalzahl braucht man unendlich viele
>> Ziffern.
>
> Das ist völlig irrelevant für die Tatsache, dass sowohl {\pi} als auch {P}
> nur _ein_ Element haben.
Wer gewährleistet die Relevanz dieser Tatsache?
>
>
>> Ich benutze ungern den Kardinaltätsbegriff: |{reelle Zahl pi}|=aleph_1,
>> werde aber so - wenn überhaupt - wohl eher verstanden.
>
> Es wird verstanden, dass Du vom Kardinaltätsbegriff _nichts_ verstanden
> hast. Denn Dein "|{reelle Zahl pi}|=aleph_1" ist mal wieder markerschüternd
> falsch.
Du hast es also wie ich befürchten musste nicht verstanden, vielleicht
nicht verstehen wollen.
>
> Da mit \pi selbstverständlich die reelle Zahl \pi gemeint ist, gilt |{reelle
> Zahl \pi}|=|{\pi}|=1. Und natürlich gilt auch |{P}|=1.
>
> Du hingegen versuchst irgendwie etwas über die Kardinalität des Elements \pi
> selbst (statt die von {\pi}) zu sagen und meintest dann mit obigem "|{reelle
> Zahl pi}|" die "aktual unendlich" vielen Summanden Deiner "zweckmäßigen
> Umschreibung". Aber auch damit landetest Du beim falschen Ergebnis, denn
> |P|=\aleph_0, da \pi offenbar nur abzählbar unendlich viele Nachkommastellen
> hat:
>
> 1 -> 3
> 2 -> 1/10
> 3 -> 4/100
> 4 -> 1/1000
> ...
Man kann zwar die Indices der Nachkommastellen bequem in Bijektion zu IN
bringen. Sie sind also abzählbar unendlich.
Falls Du aber behauptest auf die aktual unendliche Ziffernfolge welche
eine Irrationalzahl repräsentiert die gleiche Prozedur anwenden zu
können, dann zeige mir bitte wo ein nachvollziehbarer Beweis dafür
steht.
> Ein Aufdecken von Widersprüchen _innerhalb_ der
> Mathematik ist von Dir ganz sicher _nicht_ zu erwarten.
An noch immer ungeklärten Widersprüchen ist in der Mathematik kein
Mangel. Worüber antike Denker gestolpert waren hatte ich meist im
Zusammenhang mit meinen eigenen Einwänden mehrfach erwähnt. Vieles steht
auch im Büchlein von Mückenheim.
Warum sollte ich also Eulen (Hinweise auf Widersprüche) nach Athen (in
die Mathematik) tragen. Von mir wäre da wirklich nicht viel Neues zu
erwarten.
Ich nehme lediglich für mich in Anspruch zweimal Handlungsbedarf erkannt
zu haben:
Erstens meine ich, der Mehrheit der Mathematiker ist nicht bewusst, dass
sich die reellen Zahlen nur dann so wie von Cantor demonstriert als
nicht abzählbare Menge von den abzählbaren rationalen Zahlen
unterscheiden, wenn man ihnen fiktiv eine aktual unendliche, praktisch
nie erreichbare Anzahl von Nachkommastellen zuschreibt. Aktual meint:
Alle sind erforderlich. Trifft dies zu, dann könnten meine Überlegungen
zu reellen Zahlen richtig sein:
Einzelne reelle Zahlen sind in einer aktual unendlich dichten Menge
irrelevant. Die neutrale Null ist im Kontinuum IR nur eine Fiktion, jede
andere Zahl übrigens auch. Sie ist von einer positiven Null von IR+ und
einer negativen Null von IR- nicht unterscheidbar. Somit bleibt keine
Null übrig wenn man IR in IR+ und IR- auftrennt. In IR gilt |sign(0)|=1,
sonst gilt ja |sign(0)|=0. Die Gleichheitsrelation ist in IR numerisch
nicht prüfbar. Es ist dort weder nötig noch möglich abgeschlossene
Intervalle numerisch von offenen zu unterscheiden. Buridans Esel konnte
nicht verhungern,weil es unmöglich ist genau die Mitte zu treffen.
Fälschlich gelten eingebettete rationale oder aufgabenhaft gegebene
Zahlen wie pi als vollständig ausschreibbare Zahlen. Dies erschwert die
Erkenntnis dass man sich reelle „Zahlen“ generell als nicht vollständig
numerisch darstellbar vorzustellen hat.
Vaughan R. Pratt (Stanford, CA) wies 1997 auf widersprüchliche
Grundlagen von Mengenlehre (diskret) und Kategorientheorie
(kontinuierlich) hin. Schon Brouwer hatte erkannt: Das „tertium non
datur“ drückt die Diskretheit der Menge aus und gilt im Unendlichen
nicht. Wie mir Herman Jurjus (Tilburg, NL) mitteilte, akzeptiert man
dies zwar, aber lehrt es nicht. Das Kontinuum ist das tertium. Brouwer
hatte versucht den Kontinuumsaspekt der Geometrie zu begründen. Man hält
jedoch die Menge diskreter Zahlen für fundamentaler. Folglich kann die
Topologie keinen symmetrischen Schnitt ausführen. Nur eine Seite darf
offen sein, die andere geschlossen. Diese Unversöhnlichkeit der
Standpunkte von Konstruktivisten und Formalisten hoffe ich überwunden
zu haben indem ich die willkürliche Unterwerfung von IR unter alle
Axiome der Mengenlehre in Frage stelle.
Zweitens fand ich heraus, dass die Zustimmung zu Cantors Argumentation
es gäbe Zahlen über unendlich hinaus darauf beruht, dass er annahm auch
bei zwei unendlichen Mengen könne man zwischen kleiner, gleich groß oder
größer unterscheiden. Mit einer solchen Annahme gibt man den Begriff
unendlich auf, der ja seit dem Altertum axiomatisch dadurch als
Qualität, nicht als Quantität beschrieben ist, dass es zu jeder Zahl
eine größere gibt. Spinoza definierte die Qualität unendlich als das
Unvermehrbare. Es gilt oo + a = oo. Cantor zählte dagegen über oo hinaus
oo+1, oo+2, etc. In mehr als 100 Jahren gelang es niemandem einen
Nutzen der Kardinalitäten zu finden oder gar die Kontinuumshypothese zu
beweisen. Der Unterschied zwischen diskret (aleph null) und
kontinuierlich (aleph eins) hatte ja schon die Pythagoreer erzürnt.
Ebbinghaus bemäntelt es im Buch „Zahlen“ mit einem Zitat von Lessing:
Cantor hat sich geirrt.
Ein demütig platonisches Akzeptieren der fundamentalen Verschiedenheit
zwischen reellen „Zahlen“ im Kontinuum und diskreten Zahlen erlaubt
Erklärungen des von Aristoteles erkannten Widerspruchs zwischen Ruhe und
beginnender Bewegung sowie anderer Paradoxa. Im Zusammenhang mit meijnem
Bemühen um saubere mathematischen Details der Frequenzanalyse spielten
sie für mich eine allerdings untergeordnete Rolle.
Eckard
Eckard Blumschein
So hoch kommt Peter Niessen gar nicht.
Eckard
Ralf Goertz
> On 9/8/2005 10:08 AM, Ralf Goertz wrote:
>
>
>> Also
>> sind diese beiden Elemente zusammen eine Menge wohlunterschiedener
>> Elemente gleichmächtig zu {1,2} und daher höchstens abzählbar.
>
> Klar solange sie auch Max und Moritz heißen können.
Die Menge {Max, Moritz} hat zwei Elemente, ja.
>> Beide Zahlen sind
>> reell (genauer irrational), und {sqrt(2),pi}
>
> Das hat mit der Aussage der Abzählbarkeit von M&M nichts zu tun.
Eben
>> ist daher eine Teilmenge von
>> IR. Damit ist deine Aussage
>
>>> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
>>
>> widerlegt.
>
> Ist Max eine Teilmenge von (Q oder IR?
Oben hast Du gesagt,
> Klar solange sie [die *Elemente* von {sqrt(2, pi}] auch Max und Moritz
> heißen können.
Elemente! Wie soll ein *Element* einer Menge gleichzeitig *Teilmenge* dieser
Menge sein? pi ist auch keine Teilmenge von IR, sondern ein Element. {pi}
ist Teilmenge von IR. Bitte, wenn Du über mathematische Sachverhalte in
mathematischen Begriffen sprichst, dann benutze sie korrekt.
Also nochmal die Frage: Ist {sqrt(2), pi} eine Teilmenge von IR, ja oder
nein? Ist diese endlich, ja oder nein? Ist deine Aussage
> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
also wahr oder falsch? Und komm mir nicht wieder mit den beiden Rüpeln von
Busch.
>>
>>> Da hilft der Zermelon auch nicht den man sich definiert, es würde mit
>>> einer dahingelogenen Wohlordnung gehen. Es geht nicht.
>>
>> Wohlordnungen sind für die Frage der Mächtigkeit ersteinmal
>> uninteressant.
>
> Aussagen zur Mächtigkeit sind Quantifizierungen, und die setzen eine zum
> Zählen geeignete Ordnung voraus.
>> Außerdem kann ich sqrt(2) und pi wunderbar ordnen.
>
> Selbstbetrug.
Gut, dann sind diese beiden Zahlen für dich also nicht unterscheidbar. Dann
möchte ich gern folgendes Spiel mit Dir spielen: Ich gebe dir
floor(sqrt(2))*1000 Euro und Du mir floor(pi)*1000 Euro. Das spiel können
wir gern jeden Monat spielen.
>> Die Menge {sqrt(2), pi} ist ja sowas von diskret...
>
> Du meinst ihre Elemente.
Nein, ich meine die *Menge*. Jede endliche Menge ist diskret.
> Vielleicht geht man mit Cantors wenigen nachvollziehbaren Ideen zu
> oberflächlich um. Warum soll eine Menge nicht Element einer anderen
> Menge sein oder auch ein Element aus einer Menge bestehen?
Das ist doch völlig unstrittig. Die Menge M:={IN,IR} besteht aus zwei
Mengen. Dennoch ist IN *keine* Teilmenge von IR, {IN} aber schon.
> Ich sehe nur eine Fallgrube: Elemente müssen in Bezug auf die Menge
> voneinander unterschieden (isoliert, diskret wie in Kapseln) sein.
> Cantor ließ aber unendliche Mengen zu, gewissermaßen offene Säcke, im
> Fall der natürlichen Zahlen durch ein Bildungsgesetz verschlossen, im
> Fall der rationalen Zahlen sogar nur durch die Forderung dass von p/q
> beide nicht aktual unendlich sein sollen.
>
>>
>>> Ganz und gar unsinnig ist es, zwei nur
>>> aufgabenhaft definierte reelle Zahlen als Elemente von IR ansehen zu
>>> wollen.
>>
>> Jetzt mal Butter bei die Fische. Für welche *mathematische* Fragestellung
>> benötige ich die vollständige Zifferndarstellung von pi?
>
> Nimm nicht pi sondern die reelle Null und lies nochmal was ich ganz oben
> schrieb.
Dann frag ich nochmal so:
Jetzt mal Butter bei die Fische. Für welche *mathematische* Fragestellung
benötige ich die vollständige Zifferndarstellung von 0?
Hinweis1: in jedem Körper K ist 0 die *eindeutig* bestimmte Zahl mit 0*x=0
für alle x \in K.
Hinweis2: in jedem Körper K ist 0 die *eindeutig* bestimmte Zahl mit 0+x=x
für alle x \in K.
Und könntest du freundlicherweise den leidigen Esel endlich verhungern
lassen?
>>> IR lässt sich nicht elementarisieren und schon gar nicht aus
>>> Elementen zusammensetzen. Es geht nicht.
>>
>> Das ist für die Frage der Existenz von abzählbaren Teilmengen von IR
>> irrelevant.
>
> Hm. Da sehe ich schon das Problem die beiden Grenzen einer Teilmenge
> nicht aufgabenhaft zu benennen. 0,000... (aktual unendlich viele Nullen)
> ist aufgabenhaft.
Hä? Welche beiden Grenzen einer Teilmenge? Welches sind die Grenzen der
IR-Teilmenge {sqrt(2),e,pi}? Vielleicht sqrt(2) und pi? Und wenn ich sie
{e,sqrt(2),pi} schreibe?
>> Und {sqrt(2), pi} ist eine
>> (höchstens) abzählbare Teilmenge von IR, ja oder nein?
>
> Es ist eine abzählbare Teilmenge von Max und Moritz, nicht von IR weil
> die inneren Eigenschaften der Elemente nicht abgezählt werden.
Was sollen denn schon wieder diese Lausbuben? Wenn {sqrt(2),pi} für Dich
keine Teilmenge von IR ist, dann nenne mir doch bitte wenigstens eine
einzige Teilmenge von IR die nicht gleich IR ist. Außerdem waren wir uns
doch einig, dass die "inneren Eigenschaften" der Elemente irrelevant sind.
>> Bleiben wir bei den natürlichen Zahlen. Deiner Logik entsprechend weiß
>> ich nicht, ob ...000000001<...00000002 gilt, denn ich brauche *alle*
>> Stellen um das zu entscheiden.
>
> Mit repräsentiert meinte ich vollständig repräsentiert.
Ja ich in dem Fall auch. Ich konnte nur nicht alle aktual unendlich vielen
Stellen hinschreiben.
Ralf Goertz
> On 9/8/2005 10:08 AM, Ralf Goertz wrote:
>
>
>> Also
>> sind diese beiden Elemente zusammen eine Menge wohlunterschiedener
>> Elemente gleichmächtig zu {1,2} und daher höchstens abzählbar.
>
> Klar solange sie auch Max und Moritz heißen können.
Die Menge {Max, Moritz} hat zwei Elemente, ja.
>> Beide Zahlen sind
>> reell (genauer irrational), und {sqrt(2),pi}
>
> Das hat mit der Aussage der Abzählbarkeit von M&M nichts zu tun.
Eben
>> ist daher eine Teilmenge von
>> IR. Damit ist deine Aussage
>
>>> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
>>
>> widerlegt.
>
> Ist Max eine Teilmenge von (Q oder IR?
Oben hast Du gesagt,
> Klar solange sie [die *Elemente* von {sqrt(2, pi}] auch Max und Moritz
> heißen können.
Elemente! Wie soll ein *Element* einer Menge gleichzeitig *Teilmenge* dieser
Menge sein? pi ist auch keine Teilmenge von IR, sondern ein Element. {pi}
ist Teilmenge von IR. Bitte, wenn Du über mathematische Sachverhalte in
mathematischen Begriffen sprichst, dann benutze sie korrekt.
Also nochmal die Frage: Ist {sqrt(2), pi} eine Teilmenge von IR, ja oder
nein? Ist diese endlich, ja oder nein? Ist deine Aussage
> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
also wahr oder falsch? Und komm mir nicht wieder mit den beiden Rüpeln von
Busch.
>>
>>> Da hilft der Zermelon auch nicht den man sich definiert, es würde mit
>>> einer dahingelogenen Wohlordnung gehen. Es geht nicht.
>>
>> Wohlordnungen sind für die Frage der Mächtigkeit ersteinmal
>> uninteressant.
>
> Aussagen zur Mächtigkeit sind Quantifizierungen, und die setzen eine zum
> Zählen geeignete Ordnung voraus.
>> Außerdem kann ich sqrt(2) und pi wunderbar ordnen.
>
> Selbstbetrug.
Gut, dann sind diese beiden Zahlen für dich also nicht unterscheidbar. Dann
möchte ich gern folgendes Spiel mit Dir spielen: Ich gebe dir
floor(sqrt(2))*1000 Euro und Du mir floor(pi)*1000 Euro. Das spiel können
wir gern jeden Monat spielen.
>> Die Menge {sqrt(2), pi} ist ja sowas von diskret...
>
> Du meinst ihre Elemente.
Nein, ich meine die *Menge*. Jede endliche Menge ist diskret.
> Vielleicht geht man mit Cantors wenigen nachvollziehbaren Ideen zu
> oberflächlich um. Warum soll eine Menge nicht Element einer anderen
> Menge sein oder auch ein Element aus einer Menge bestehen?
Das ist doch völlig unstrittig. Die Menge M:={IN,IR} besteht aus zwei
Mengen. Dennoch ist IN *keine* Teilmenge von M, {IN} aber schon.
^^ typo superseded
> Ich sehe nur eine Fallgrube: Elemente müssen in Bezug auf die Menge
> voneinander unterschieden (isoliert, diskret wie in Kapseln) sein.
> Cantor ließ aber unendliche Mengen zu, gewissermaßen offene Säcke, im
> Fall der natürlichen Zahlen durch ein Bildungsgesetz verschlossen, im
> Fall der rationalen Zahlen sogar nur durch die Forderung dass von p/q
> beide nicht aktual unendlich sein sollen.
>
>>
>>> Ganz und gar unsinnig ist es, zwei nur
>>> aufgabenhaft definierte reelle Zahlen als Elemente von IR ansehen zu
>>> wollen.
>>
>> Jetzt mal Butter bei die Fische. Für welche *mathematische* Fragestellung
>> benötige ich die vollständige Zifferndarstellung von pi?
>
> Nimm nicht pi sondern die reelle Null und lies nochmal was ich ganz oben
> schrieb.
Dann frag ich nochmal so:
Jetzt mal Butter bei die Fische. Für welche *mathematische* Fragestellung
benötige ich die vollständige Zifferndarstellung von 0?
Hinweis1: in jedem Körper K ist 0 die *eindeutig* bestimmte Zahl mit 0*x=0
für alle x \in K.
Hinweis2: in jedem Körper K ist 0 die *eindeutig* bestimmte Zahl mit 0+x=x
für alle x \in K.
Und könntest du freundlicherweise den leidigen Esel endlich verhungern
lassen?
>>> IR lässt sich nicht elementarisieren und schon gar nicht aus
>>> Elementen zusammensetzen. Es geht nicht.
>>
>> Das ist für die Frage der Existenz von abzählbaren Teilmengen von IR
>> irrelevant.
>
> Hm. Da sehe ich schon das Problem die beiden Grenzen einer Teilmenge
> nicht aufgabenhaft zu benennen. 0,000... (aktual unendlich viele Nullen)
> ist aufgabenhaft.
Hä? Welche beiden Grenzen einer Teilmenge? Welches sind die Grenzen der
IR-Teilmenge {sqrt(2),e,pi}? Vielleicht sqrt(2) und pi? Und wenn ich sie
{e,sqrt(2),pi} schreibe?
>> Und {sqrt(2), pi} ist eine
>> (höchstens) abzählbare Teilmenge von IR, ja oder nein?
>
> Es ist eine abzählbare Teilmenge von Max und Moritz, nicht von IR weil
> die inneren Eigenschaften der Elemente nicht abgezählt werden.
Was sollen denn schon wieder diese Lausbuben? Wenn {sqrt(2),pi} für Dich
keine Teilmenge von IR ist, dann nenne mir doch bitte wenigstens eine
einzige Teilmenge von IR die nicht gleich IR ist. Außerdem waren wir uns
doch einig, dass die "inneren Eigenschaften" der Elemente irrelevant sind.
>> Bleiben wir bei den natürlichen Zahlen. Deiner Logik entsprechend weiß
>> ich nicht, ob ...000000001<...00000002 gilt, denn ich brauche *alle*
>> Stellen um das zu entscheiden.
>
> Mit repräsentiert meinte ich vollständig repräsentiert.
Ja ich in dem Fall auch. Ich konnte nur nicht alle aktual unendlich vielen
Stellen hinschreiben.
Ralf
Wolfgang Kurth
>...
> Menge sein?
z.B. so: {{}}
SCNR
Wolfgang
Bernd Funke
> On 9/8/2005 2:49 PM, Bernd Funke wrote:
>
>>
>>> Das was hier als Element benutzt wird, ordnet sich ja
>>> nur _fiktiv_ in die Darstellung als Ziffernfolge ein.
>>
>> Das ist genauso falsch wie irrelevant.
>
> Du behauptest zweierlei und gibst keine prüfbare Erklärung dafür.
Irrelevant weil |{A}|=1 _unabhängig_ von den Eigenschaften von A.
"fiktive Einordnung": undefiniert
>>> Ich kann es für IR von der aufgabenhaften Buchstabendarstellung pi
>>> zweckmäßig umschreiben in {3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 ...}
>>
>> Dass das _zweckmäßig_ wäre, ist allein Deine Vorstellung; egal, es ändert
>> an
>> der Menge {\pi} rein gar nichts.
>
> Man kann an einer Menge von Doppelbrötchen die Quantität (Kardinalität)
> ändern indem man die Elemente auseinanderbricht.
Dann betrachtet man aber eine andere Menge. Dass _die_ dann eine andere
Kardinalität hat, ist nicht weiter erstaunlich.
Gemäß Deinem Doppelbrötchenbruch-Argument könnte ich auch schreiben
|{3}| = |{1+2}| = |{1,2}| = 2
was natürlich (wegen des 2. "=") bodenloser Unsinn ist.
Spiegelt _das_ Deine Idee von Mengenlehre wider?
>>> und jeden Summanden als Element auffassen.
>>
>> Als Element von _was_ bitteschön?
>> Deine "Auffassungsoperation" besteht also doch wohl darin, dass Du der
>> Zahl
>> \pi eine Menge P _zuordnest_, die da lautet P={3, 1/10, 4/100, 1/1000,
>> ...}
>
> Ja.
Aber die Mengen {3, 1/10, 4/100, 1/1000, ...} und {3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000
+ ...}sind _unterschiedliche_ Mengen. Geht das in Deinen Kopf?
[...]
>> Da mit \pi selbstverständlich die reelle Zahl \pi gemeint ist, gilt
>> |{reelle
>> Zahl \pi}|=|{\pi}|=1. Und natürlich gilt auch |{P}|=1.
>>
>> Du hingegen versuchst irgendwie etwas über die Kardinalität des Elements
>> \pi
>> selbst (statt die von {\pi}) zu sagen und meintest dann mit obigem
>> "|{reelle
>> Zahl pi}|" die "aktual unendlich" vielen Summanden Deiner "zweckmäßigen
>> Umschreibung". Aber auch damit landetest Du beim falschen Ergebnis, denn
>> |P|=\aleph_0, da \pi offenbar nur abzählbar unendlich viele
>> Nachkommastellen
>> hat:
>>
>> 1 -> 3
>> 2 -> 1/10
>> 3 -> 4/100
>> 4 -> 1/1000
>> ...
>
> Man kann zwar die Indices der Nachkommastellen bequem in Bijektion zu IN
> bringen.
Die Menge der Indices _ist_ sogar IN.
> Sie sind also abzählbar unendlich.
Die Index_menge_ ist abzählbar unendlich, trivialerweise, ja.
> Falls Du aber behauptest auf die aktual unendliche Ziffernfolge welche
> eine Irrationalzahl repräsentiert die gleiche Prozedur anwenden zu
> können, dann zeige mir bitte wo ein nachvollziehbarer Beweis dafür
> steht.
Was gibt es da noch zu beweisen?
Du gibst selbst zu, dass eine Irrationalzahl durch eine (meinethalben
aktual) unendliche Ziffern_folge_ repräsentiert werden kann.
Und Du schreibst oben selbst: "die Indices der Nachkommastellen"
Was kann das anderes heißen als dass _jede_ Nachkommastelle ihren _eigenen_
Index hat, dass also eine Bijektion zwischen den Indices und den
Nachkommastellen besteht (ist ja auch der Job von Indices)? Damit besteht
dann eine Bijektion zwischen den Nachkommastellen und den natürlichen
Zahlen.
Oder kommst Du jetzt mit dem Knaller, dass IN ja "bloß potentiell unendlich"
viele Elemente hätte und dass das "zu wenig" für die "aktual unendlich"
vielen Nachkommastellen wäre?
Eckard Blumschein
>>> Du hast noch nie zwei nichtunterscheidbare reelle Zahlen (oder eine
>>> Konstruktionsvorschrift dafür) angeben können
>>
>> Das kann auch niemand, und zwar deshalb nicht weil man nicht angeben
>> kann was sich um unendlich wenig (= nichts) unterscheidet
>
> Wenn sich etwas (oder vielmehr notwendigerweise zwei Dinge) um _nichts_
> unterscheiden, dann unterscheiden sie sich offenbar eben _nicht_. Dass Du
> das anders siehst, passt nicht gut mit Deiner Forderung nach Plausibilität
> zusammen, oder?
Wenn ich einen verfitzten Faden vor mir habe zerre ich nicht daran.
Cantor hat es - wie ich meine - getan, und sein Ergebnis ist nach meinem
Gefühl eine nicht mit Genuss nachvollziehbare und unfruchtbar gebliebene
Vergewaltigung. Plausibilität auf Bildzeitungsniveau kann ich freilich
auch nicht bieten.
>>> sind Deine "unteilbaren mathematischen Urelemente"
>>> gleichzustezen mit Deinen "mathematischen Quanten"?
>>
>> Die Begriffe wie Urelemente (Zermelo 1930), mathematische Atome
>> (Weyl 1918 ?), atomarer Charakter, etc. stammen nicht von mir.
>> Ebbinghaus schrieb den reellen Zahlen die Rolle von Atomen zu.
>>
>> Da die Atome der Physik nicht unendlich klein sind, halte ich diese
>> Sichtweise für zumindest sehr irreführend.
>
> _Du_ bist es doch, der mit diesem Begriff irgendwas erklären oder gar
> beweisen will. Also solltest Du auch sagen können, was Du damit meinst und
> Dich nicht wieder hinter Passagen aus irgendwelchen Vorworten oder Fußnoten
> berühmter Leute verstecken.
Siehe unten.
>>> Und können damit nicht beide "Urelemente" (von was
>>> überhaupt?) verkörpern. Was für Zahlen überhaupt? Ganze? Rationale?
>>> Reelle?
>>
>> Meine Überlegung ist sonnenklar:
>> Reelle Zahlen sind fiktiv.
>
> "fiktiv" ist mal wieder kein mathematischer Begriff. Für mich sind
> eigentlich alle mathematischen Objekte fiktiv. Oder hast Du schonmal die
> natürliche Zahl 7 angefasst?
Solange alle mathematischen Begriffe zusammen gewisse Fragen nicht lösen
halte ich es für angemessen anderswo übliche Begriffe zu benutzen.
Als Beispiele für eine Fiktion fallen mir u. a. virtuelle Bilder ein.
Mückenheim hat ja Recht dass es das aktual (wirklich) = perfekt
(vollendet) Unendliche nicht in dem Sinne gibt dass man es erreichen
kann. Würde man rigoros dümmlich weiterdenken so käme heraus, dass es
auch keine reellen Zahlen (in Ziffernrepräsentation) und keine
imaginären Zahlen gibt. In IR ist die 7 als 7,000... (aktual unendlich
viele Nullen) tatsächlich fiktiv. In IN ist sie dagegen milliardenfach
als Attribut eines gezählten Objekts eindeutig "angefasst" worden.
>
>
>> Sie sind qualitativ von den rationalen unterschieden.
>
> Die irrationalen unter ihnen, ja, sie sind nämlich keine Lösungen der
> Gleichung ax=b (a, b ganz).
Für die eingebetteten rationalen hat es auch zu gelten. Es gibt keine
konsequent anwendbare Überlegung wie man innerhalb des Kontinuums
eingebettete von irrationalen Zahlen unterscheiden könnte.
>> Wenn der axiomatische Aufbau der Zahlen als hierarchische
>> Grundlage der Mathematik vernünftig war, dann kann er nur von den
>> greifbaren, von den rationalen Zahlen als kleinste Quanten ausgegangen
>> sein,
>
> Dort hat er zwar nicht angefangen (sondern noch einfacher), aber dort ist er
> vorbeigekommen, _bevor_ er zu den reellen Zahlen kam.
Ich sprach vom axiomatischen hierarchischen Aufbau, und der geht von den
allerkleinsten Einheiten aus zu n-Tupeln von Urelementen, Mengen von
Urelementen, Mengen von Mengen von UE, Restklassenringen etc.
Die reellen Zahlen stellen das fiktive Ende der Vergößerung der Anzahl
von Elementen in einem Intervall bei gleichzeitiger Verkleinerung der
sie trennenden Unterschiede das. Insofern kann man nicht hyperreell
darüber hinaus und auch nicht daran vorbei kommen.
>> denn einen logisch nachvollziehbaren Schritt von den fiktiven
>> reellen zu den numerisch quantifizierten rationalen Zahlen kenne ich
>> nicht,
>
> Das liegt zum einen an Deiner "Logik" (denn der Schritt kann ja nur von den
> rationalen zu den reellen erfolgen, nicht andersrum) und daran, dass Du
> in mathematischen Büchern immer nur Vorworte und Fußnoten liest.
Ich schöpfe doch aus meiner Erfahrung mit Integraltransformationen. Da
kommt man vom Diskreten zum Kontinuum ebenso wie auch zurück.
>
>
>> und ich kann ihn mir auch nicht vorstellen.
>
> Na klar, das ist natürlich der stichhaltigste Beweis. Was Eckard sich nicht
> vorstellen kann, das muss natürlich falsch sein. _Sehr_ überzeugend, Eckard!
Mich überzeugt dass Du es auch nicht kannst.
>>> Damit haben wir also so eine (unvollständige) Definition Deiner
>>> "mathematischen Quanten":
>>> "Mathematische Quanten" sind rationale Zahlen, die (in welcher Basis?)
>>> nur
>>> endlich viele Ziffern haben. Ich nenne sie mal "ED.1".
>>
>> Ja, so hatte ich es gemeint.
>
> Und Du bist nicht gewogen, die Definiton zu vervollständigen. Mir scheint,
> Du meinst _Dezimalziffern_, ja?
Dezimal, dual, hexadezimal, wie auch immer.
>> Solange es einzelne voneinander unterscheidbare Punkte gibt liegt noch
>> nicht die Qualität Kontinuum = Zahlen mit unendlich vielen Ziffern vor.
>
> Das ist kein Beweis, sondern eine Umformulierung Deiner falschen Behauptung,
> bei der Du noch mehr kaputt gemacht als vielmehr "beweisen" hast. Ich
> entnehme ihm aber Deine Definition ED.3 "Kontinuum = Zahlen mit unendlich
> vielen Ziffern".
Das Kontinuum reeller Zahlen ordnet unendlich viele fiktive Zahlen von
kleineren zu größeren. Jede "einzelne" Zahl hat man sich als durch
aktual unendlich viele Ziffern repräsentiert zu denken. Der Begriff
einzelne Zahl hat allerdings im Kontinuum seinen Sinn verloren.
>
> Deine Behauptung bleibt unbewiesen.
Dann versuche sie zu falsifizieren.
>
>
>>>> Beliebig viele Punkte hat man schon mit den rationalen Zahlen,
>>>
>>> Zwar sind Punkte immer noch keine Zahlen, aber ich lese aus Diesem Satz
>>> Deine Definiton
>>> "beliebig viele" = |(Q| und nenne sie "ED.2".
>>
>> Gibt es da einen wesentlichen Unterschied zu oben?
>
> Ich sehe keinen.
Ich auch nicht.
> Auch wenn Punkte keine Zahlen sind, hatte ich hier
> vorausgesetzt, dass Du einen eindeutigen Punkt zu jeder rationalen Zahl
> meintest.
Ja, rationale Zahlen bezeichnen Punkte.
>>>> aktual unendlich viele sind aber nicht quantifizierbar.
>>>
>>> "Aktual unendlich viele" gibt es in der Mathematik, in der wir "leben"
>>> (d.h.
>>> die _nicht_ von historischen Begriffen verunklärt ist) nicht. Wenn Du
>>> damit
>>> argumentieren willst, musst Du es definieren, genauso wie den
>>> undefinierten
>>> Begriff "quantifizierbar".
>>
>> Ganz einfach: Aktual unendlich viele heißt, man braucht von den
>> potentiell unendlich vielen Zahlen oder Indices alle. Das ist
>> unrealistisch.
>
> Das ist Mückenheims und Deine Meinung, lässt die Mathematik (die sich zu
> Deinem Leidwesen _nicht_ an der Realität orientiert) aber kalt.
Nein. Hier weiche ich von Mückenheim ab und folge Cantor. Wenn es die
Mathematik kalt lässt, dass die üblichen Definitonen reeller Zahlen den
Unterschied zu den rationalen nicht eindeutig und klar erkennbar
widerspiegeln, weise ich nur gelassen darauf hin.
>
> Eine Defintion sehe ich darin aber immer noch nicht. Eine
unendliche
Menge heißt bei
> Dir "aktual unendlich", wenn... Ja, wann?
... man mit ihr etwas Unmögliches anstellt nämlich so tut als wären alle
Elemente exakt bekannt und auf dieser Grundlage Operatione ausführt wie
die Berechnung einer Potenzmenge oder auch das Einordnen ins Kontinuum.
>>>> Da kann es auch keine Injektion geben.
>>>
>>> Soso. Die Abbildung f : IR->IR mit f(x)=2x existiert also nicht? Oder ist
>>> sie keine Injektion? Kannst Du das beweisen?
>>
>> Wenn Du mich verstanden hast tue es bitte für mich.
>
> Ich habe Dich _nicht_ verstanden, deshalb habe ich gefragt.
Ohne gründlich nachgedacht zu haben versuche ich eine Antwort:
Wenn man meint eine Funktion auf (ist das richtig?) IR formuliert zu
haben, dann sehe ich zwar theoretisch keine Probleme. Praktisch kommt
man aber nicht daran vorbei sich bei der Ein- und Ausgabe von Werten der
rationalen Zahlen (Näherungen, glatte Zahlen) oder der aufgabenhaften
Zahlen (wie pi) zu bedienen. Wirklich reelle Zahlen sind ja als
Fiktionen nicht greifbar. Deshalb vermute ich dass auch Zurdnungen von
Zahl zu Zahl nur in Sonderfällen dann gesichert denkbar sind,
etwa IR -> IR.
>>> ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
>>
>> Identisch:
>> Jede rationale Zahl hat beliebig aber endlich viele Ziffern, lässt sich
>> also grundsätzlich hinschreiben.
>
> Weder identisch noch richtig. Hat die rationale Zahl 1/3 endlich viele
> Ziffern?
Die Zifferndarstellung von Brüchen die in eine Periode abbrechen mag ein
wenig verwirren. Sie stellt kein ernstes Problem dar. Formal ziehe ich
mich aus der Schlinge indem ich sage, man kann ja den Überstrich
hinschreiben und ist fertig.
Mit dem Wort "identisch" bezog ich mich auf das was Du ED.1 nanntest.
>
>
>>> ES.1: IR unterscheidet sich von (Q dadurch, dass jedes noch so kleine
>>> Intervall von IR unendlich viele Elemente hat.
>>
>> Aktual unendlich viele, s. o.
>
> Soso, Intervalle von IR haben also "aktual unendlich" viele Elemente. Das
> legt die Defintion ED.4 "aktual unendlich viele = |IR| nahe. Hmm, das könnte
> noch Probleme bringen...
>
> Ich rekapituliere:
>
> ED.1: "Mathematische Quanten" = rationale Zahlen, die nur endlich viele
> Ziffern haben
>
> ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
Nochmal: Die rationalen Zahlen verhalten sich wie die natürlichen.
Potentiell unendlich lassen sich zwar beliebig aber doch nur endlich
viele von ihnen angeben. Sie sind also abzählbar.
>
> ED.3: "Kontinuum = Zahlen mit unendlich vielen Ziffern"
>
> ED.4: "aktual unendlich viele" = |IR|
>
> ES.1: IR unterscheidet sich von (Q dadurch, dass jedes noch so kleine
> Intervall von IR aktual unendlich viele Elemente hat.
>
> Mit der hinzugekommenen Defintion ED.4 ist ES.1 natürlich nicht mehr
> spannend.
Ergänze einfach "aktual" und "nichtperiodisch" in 3.
Reelle Zahlen sind sämtlich fiktiv. Die Aufgabe sie vollständig
numerisch hinzuschreiben scheitert daran. Man kann die Anzahl von
nichtperiodisch aufeinanderfolgenden Nachkommastellen nicht wirklich
(aktual) vollständig hinschreiben, setzt dies aber beispielsweise als
Grundlage für eine Einordnung ins Kontinuum oder der Berechnung der
Potenzmenge gedanklich voraus.
Wer wie Cantor oberflächlich denkt ist verführt, die Andersartigkeit der
reellen Zahlen auf eine größere Anzahl = Mächtigkeit = Kardinalität zu
schieben die transfinit sein müsste da ja bereits die rationalen Zahlen
keiner Beschränkung unterliegen. Er wundert sich dann über den
qualitativen Sprung zwischen (Q und IR (Kontinuumshypothese).
Tatsächlich liegt die Andersartigkeit ganz eindeutig in der Fiktivität
der reellen Zahlen, daran dass sie dem mit diskreten Zahlen
nicht erreichbaren weil ihm fundamental widersprechenden Kontinuum
angehören, darin, dass sie unlösbare Aufgaben widerspiegeln. Es handelt
sich also um einen qualitativen Unterschied, keinen quantifizierbaren.
Man sollte sich dieser Andersartigkeit besser bewusst werden.
ED.3 kann ich Dir nicht so ganz abnehmen, oder ist für Dich die
> Zahl 1/3=0.[3] schon "ein Kontinuum"?
S. o.
Ich vertraue auf eure Intelligenz und hoffe auch zum Nutzen der Physik
irgendwann verstanden zu werden.
Gruss,
Eckard
Eckard Blumschein
Danke. Ja, so hatte ich als Laie mir das vorgestellt.
Eckard
Eckard Blumschein
> "Eckard Blumschein" <blums...@et.uni-magdeburg.de> schrieb:
>> On 9/8/2005 2:49 PM, Bernd Funke wrote:
>>
>>>
>>>> Das was hier als Element benutzt wird, ordnet sich ja
>>>> nur _fiktiv_ in die Darstellung als Ziffernfolge ein.
>>>
>>> Das ist genauso falsch wie irrelevant.
>>
>> Du behauptest zweierlei und gibst keine prüfbare Erklärung dafür.
>
> Irrelevant weil |{A}|=1 _unabhängig_ von den Eigenschaften von A.
Das stimmt nur solange wie ich nicht die A als Einzel-Element
definierende "Schale" öffne so dass sich das Innere entfalten kann.
> "fiktive Einordnung": undefiniert
Vielleicht doch nicht ganz.
Peirce: mere potentialities
Ich hatte meine Vorstellung auch beschrieben.
>>>> Ich kann es für IR von der aufgabenhaften Buchstabendarstellung pi
>>>> zweckmäßig umschreiben in {3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 ...}
>>>
>>> Dass das _zweckmäßig_ wäre, ist allein Deine Vorstellung; egal, es ändert
>>> an
>>> der Menge {\pi} rein gar nichts.
>>
>> Man kann an einer Menge von Doppelbrötchen die Quantität (Kardinalität)
>> ändern indem man die Elemente auseinanderbricht.
>
> Dann betrachtet man aber eine andere Menge. Dass _die_ dann eine andere
> Kardinalität hat, ist nicht weiter erstaunlich.
Freilich. |{\pi}| ist also recht missverständlich. Man kann pi als
Element oder aber als Kürzel für eine nicht abzählbare Folge auffassen.
> Aber die Mengen {3, 1/10, 4/100, 1/1000, ...} und {3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000
> + ...}sind _unterschiedliche_ Mengen. Geht das in Deinen Kopf?
Damit habe ich kein Problem.
>> Man kann zwar die Indices der Nachkommastellen bequem in Bijektion zu IN
>> bringen.
>
> Die Menge der Indices _ist_ sogar IN.
In diesem Fall ja. Dann eben Bijektion IN <--> IN (richtig geschrieben?)
>> Falls Du aber behauptest auf die aktual unendliche Ziffernfolge welche
>> eine Irrationalzahl repräsentiert die gleiche Prozedur anwenden zu
>> können, dann zeige mir bitte wo ein nachvollziehbarer Beweis dafür
>> steht.
>
> Was gibt es da noch zu beweisen?
>
> Du gibst selbst zu, dass eine Irrationalzahl durch eine (meinethalben
> aktual) unendliche Ziffern_folge_ repräsentiert werden kann.
>
> Und Du schreibst oben selbst: "die Indices der Nachkommastellen"
> Was kann das anderes heißen als dass _jede_ Nachkommastelle ihren _eigenen_
> Index hat, dass also eine Bijektion zwischen den Indices und den
> Nachkommastellen besteht (ist ja auch der Job von Indices)? Damit besteht
> dann eine Bijektion zwischen den Nachkommastellen und den natürlichen
> Zahlen.
Hier reichen die Begriffe offensichtlich nicht soweit, dass Du den
Sachverhalt verstehen könntest. Die Repräsentation ist ja nur in
Gedanken (antizipatorisch) möglich. Insofern hat Mückenheim doch völlig
Recht. Man kann die Nachkommastellen nicht alle angeben. Eine Bijektion
ist nicht allgemein möglich, nur trivial zur gleichen Darstellung pi
selbst.
> Oder kommst Du jetzt mit dem Knaller, dass IN ja "bloß potentiell unendlich"
> viele Elemente hätte und dass das "zu wenig" für die "aktual unendlich"
> vielen Nachkommastellen wäre?
Das Wort "viele" offenbart Denken in Quantitäten. Man kommt zum aktual
Unendliche nicht durch noch so viele, nicht durch beliebig viele Stellen.
Der Qualitätssprung wird erzwungen durch die Forderung dass man alle
braucht.
Gruss,
Eckard
Josef Matz
"Eckard Blumschein" <blums...@et.uni-magdeburg.de> schrieb im Newsbeitrag
news:43206848...@et.uni-magdeburg.de...
Ich weiß nicht was du mit Cantor hast, jedenfalls war der Sängerknabe und
hat keinen solchen Stuß
von sich gegeben.
Eckard Blumschein
>
>>> Die Menge {sqrt(2), pi} ist ja sowas von diskret...
>>
>> Du meinst ihre Elemente.
>
> Nein, ich meine die *Menge*. Jede endliche Menge ist diskret.
Hinsichtlich der Anzahl ihrer eingekapselten Elemente ist die Menge zar
diskret. Die aus der Kapsel genommenen Elemente selbst sind innerhalb
des nicht in diskrete Elemente zerlegbaren Kontinuums jedoch nicht
abzählbar.
> Dann frag ich nochmal so:
> Jetzt mal Butter bei die Fische. Für welche *mathematische* Fragestellung
> benötige ich die vollständige Zifferndarstellung von 0?
> Hinweis1: in jedem Körper K ist 0 die *eindeutig* bestimmte Zahl mit 0*x=0
> für alle x \in K.
Naja. Darüber dass IR ein Körper sein darf das äquivalente IR+ aber nur
eine Halbgruppe wundere und ärgere ich mich schon lange.
An der Sache mit den neutralen Elementen kaue ich auch schon eine Weile
und habe wohl auch die Lösung.
> Hinweis2: in jedem Körper K ist 0 die *eindeutig* bestimmte Zahl mit 0+x=x
> für alle x \in K.
> Und könntest du freundlicherweise den leidigen Esel endlich verhungern
> lassen?
Nein. Ich meine nur eine dumme Mathematik lässt ihn verhungern.
>
>>>> IR lässt sich nicht elementarisieren und schon gar nicht aus
>>>> Elementen zusammensetzen. Es geht nicht.
>>>
>>> Das ist für die Frage der Existenz von abzählbaren Teilmengen von IR
>>> irrelevant.
>>
>> Hm. Da sehe ich schon das Problem die beiden Grenzen einer Teilmenge
>> nicht aufgabenhaft zu benennen. 0,000... (aktual unendlich viele Nullen)
>> ist aufgabenhaft.
>
> Hä? Welche beiden Grenzen einer Teilmenge?
Entschuldigung ich dachte an ein Intervall. Punktuelle Teilmengen lassen
sich für IR gar nicht angeben, da man ja die Aufgaben wie pi nicht lösen
kann, pi also nur ein Korrelat der nicht numerisch angebbaren reellen
Zahl dieser Größe ist.
>>> Und {sqrt(2), pi} ist eine
>>> (höchstens) abzählbare Teilmenge von IR, ja oder nein?
Nein. Siehe oben.
> ... nenne mir doch bitte wenigstens eine
> einzige Teilmenge von IR die nicht gleich IR ist.
IR+.
>>> Bleiben wir bei den natürlichen Zahlen. Deiner Logik entsprechend weiß
>>> ich nicht, ob ...000000001<...00000002 gilt, denn ich brauche *alle*
>>> Stellen um das zu entscheiden.
>>
>> Mit repräsentiert meinte ich vollständig repräsentiert.
>
> Ja ich in dem Fall auch. Ich konnte nur nicht alle aktual unendlich vielen
> Stellen hinschreiben.
Jetz verstehe ich vielleicht was Du meintest. Angenommen du meintes
keine Nachkommastellen sondern wahnsinnig große Zahlen die sich nur um
eins unterscheiden, dann sind sie noch unterscheidbar soange sie nur
wahnsinnig groß aber nicht unendlich groß sind. Das erst wäre dann die
andere Qualität.
Eckard.
Wolfgang Kurth
...
>> z.B. so: {{}}
>
> Danke.
Bitte.
> Ja, so hatte ich als Laie mir das vorgestellt.
Hm? Welchen Sinn sieht denn ein Laie in dieser willkürlichen Anordnung
hübsch geschwungener Krakel?
Gruss
Wolfgang
Bernd Funke
> On 9/8/2005 3:50 PM, Bernd Funke wrote:
>
>>>> Du hast noch nie zwei nichtunterscheidbare reelle Zahlen (oder eine
>>>> Konstruktionsvorschrift dafür) angeben können
>>>
>>> Das kann auch niemand, und zwar deshalb nicht weil man nicht angeben
>>> kann was sich um unendlich wenig (= nichts) unterscheidet
>>
>> Wenn sich etwas (oder vielmehr notwendigerweise zwei Dinge) um _nichts_
>> unterscheiden, dann unterscheiden sie sich offenbar eben _nicht_. Dass Du
>> das anders siehst, passt nicht gut mit Deiner Forderung nach
>> Plausibilität
>> zusammen, oder?
>
> Wenn ich einen verfitzten Faden vor mir habe zerre ich nicht daran.
Das ist keine Antwort auf meine Frage. Wenn sich etwas (oder vielmehr
notwendigerweise zwei Dinge) um _nichts_
unterscheiden, was kann das dann anderes bedeuten als dass sie sich eben
_nicht_ unterscheiden?
[...]
>>> Reelle Zahlen sind fiktiv.
[...]
>>> Sie sind qualitativ von den rationalen unterschieden.
>>
>> Die irrationalen unter ihnen, ja, sie sind nämlich keine Lösungen der
>> Gleichung ax=b (a, b ganz).
>
> Für die eingebetteten rationalen hat es auch zu gelten.
Hat _was_ zu gelten? Dass sie keine Lösungen derartiger Gleichungen wären?
So dass für das in IR eingebettete x=0.[3] nicht 3*x=1 gälte? Meinst Du das
ernst?
[...]
>>> denn einen logisch nachvollziehbaren Schritt von den fiktiven
>>> reellen zu den numerisch quantifizierten rationalen Zahlen kenne ich
>>> nicht,
>>
>> Das liegt zum einen an Deiner "Logik" (denn der Schritt kann ja nur von
>> den
>> rationalen zu den reellen erfolgen, nicht andersrum) und daran, dass Du
>> in mathematischen Büchern immer nur Vorworte und Fußnoten liest.
>
> Ich schöpfe doch aus meiner Erfahrung mit Integraltransformationen. Da
> kommt man vom Diskreten zum Kontinuum ebenso wie auch zurück.
Das hat mit der Erweiterung von (Q auf IR aber genau gar nix zu tun. Hör
bitte mit so albernen Nebelkerzen auf.
>>>> Damit haben wir also so eine (unvollständige) Definition Deiner
>>>> "mathematischen Quanten":
>>>> "Mathematische Quanten" sind rationale Zahlen, die (in welcher Basis?)
>>>> nur
>>>> endlich viele Ziffern haben. Ich nenne sie mal "ED.1".
>>>
>>> Ja, so hatte ich es gemeint.
>>
>> Und Du bist nicht gewogen, die Definiton zu vervollständigen. Mir
>> scheint,
>> Du meinst _Dezimalziffern_, ja?
>
> Dezimal, dual, hexadezimal, wie auch immer.
Dann gibt es aber _unterschiedliche_ "Sytseme" von "mathematischen Quanten".
Die Menge /A_2 mit Dualbasis als Kriterium ist eine _andere_ als /A_10, die
mit Dezimalbasis als Kriterium. Ist _das_ praktisch?
>>> Solange es einzelne voneinander unterscheidbare Punkte gibt liegt noch
>>> nicht die Qualität Kontinuum = Zahlen mit unendlich vielen Ziffern vor.
>>
>> Das ist kein Beweis, sondern eine Umformulierung Deiner falschen
>> Behauptung,
>> bei der Du noch mehr kaputt gemacht als vielmehr "beweisen" hast. Ich
>> entnehme ihm aber Deine Definition ED.3 "Kontinuum = Zahlen mit unendlich
>> vielen Ziffern".
>
> Das Kontinuum reeller Zahlen ordnet unendlich viele fiktive Zahlen von
> kleineren zu größeren. Jede "einzelne" Zahl hat man sich als durch
> aktual unendlich viele Ziffern repräsentiert zu denken.
Ist das jetzt als Alternative zu ED.3 gedacht? ED.3a: "Kontinuum = Anordnung
unendlich vieler fiktiver Zahlen von kleineren zu größeren"?
> Der Begriff einzelne Zahl hat allerdings im Kontinuum seinen Sinn
> verloren.
Auch das ist nur Deine Behauptung, die Du immer nur wiederholst aber nie
präzisierst, geschweige denn beweist. Von den unendlich vielen Nachbarn z.B.
der 1, die alle angeblich nicht von ihr zu unterscheiden sind, kannst Du
keinen einzigen angeben.
>> Deine Behauptung bleibt unbewiesen.
>
> Dann versuche sie zu falsifizieren.
Dazu müsste erstmal klar sein, worüber genau sie überhaupt Aussagen macht?
Was sind "Punkte"? Was sind _einzelne_ Punkte? Was bedeutet "Kontinuum"
darin (das aus ED.3 oder das, was die Mathematiker darunter verstehen?)?
Wenn jetzt (ED.5, s.u.) "Punkte = rationale Zahlen" bedeutet, dann lautet
Deine zweite Aussage, dass man sich das Kontinuum nicht als einzelne
rationale Zahlen vorstellen darf. Und wenn "Kontinuum" das meint, was die
Mathematiker darunter verstehen, dann stimmt das sogar. Bloß... das tut auch
keiner.
Wenn Du anderer Meinung bist, dann erläutere doch bitte, _wo_ bei der
Definition von "weniger mächtig/gleichmächtig/mächtiger" vermöge
Injektion/Bijektion/Surjektion sich darauf gestützt würde, dass das
Kontinuum aus einzelnen rationale Zahlen bestünde.
[...]
>> Auch wenn Punkte keine Zahlen sind, hatte ich hier
>> vorausgesetzt, dass Du einen eindeutigen Punkt zu jeder rationalen Zahl
>> meintest.
>
> Ja, rationale Zahlen bezeichnen Punkte.
Das könnte ED.5 sein: "rationale Zahlen = Punkte"
Oder was soll das heißen, sie "bezeichnen" sie. Welchen "Punkt" bezeichnet
die Zahl 1/2?
>>> Ganz einfach: Aktual unendlich viele heißt, man braucht von den
>>> potentiell unendlich vielen Zahlen oder Indices alle. Das ist
>>> unrealistisch.
>>
>> Das ist Mückenheims und Deine Meinung, lässt die Mathematik (die sich zu
>> Deinem Leidwesen _nicht_ an der Realität orientiert) aber kalt.
>
> Nein. Hier weiche ich von Mückenheim ab und folge Cantor.
Was soll dann das Gefasel "Das ist unrealistisch."??
> Wenn es die
> Mathematik kalt lässt, dass die üblichen Definitonen reeller Zahlen den
> Unterschied zu den rationalen nicht eindeutig und klar erkennbar
> widerspiegeln, weise ich nur gelassen darauf hin.
Nur für _Dich_ Lernresistenten spiegeln sie den _wahren_ Unterschied nicht
klar erkennbar wider. Wie denn auch, wo Du jene üblichen Definitionen doch
nur vom Hörensagen kennst?
Also fabulierst Du Dir Deinen eigenen Unterschied (Sauße, Nebel, nicht
quantifizierbar, nicht numerisch identifizierbar, blablabla) zusammen,
kannst Deine Grundbehauptung jedoch nicht beweisen und kommst zu so
irrsinnigen Schlussfolgerungen wie |{\pi}|=\aleph_1. Und dann wunderst Du
Dich (möglicherweise) noch, dass Du für derartige "gelassenen Hinweise" bloß
ausgelacht wirst.
>> Eine Defintion sehe ich darin aber immer noch nicht. Eine
>> unendliche Menge heißt bei Dir "aktual unendlich", wenn... Ja, wann?
>
> ... man mit ihr etwas Unmögliches anstellt
Soll das jetzt eine alternative Definition zu ED.4 sein? ED.4a: "Eine aktual
unendliche Menge ist eine, mit der man etwas Unmögliches anstellt."
Na gut, halte ich so fest.
> nämlich so tut als wären alle
> Elemente exakt bekannt und auf dieser Grundlage Operatione ausführt wie
> die Berechnung einer Potenzmenge
POT(IN) wird auch "berechnet"; ist damit IN jetzt auch "aktual unendlich"?
[...]
>>>>> Da kann es auch keine Injektion geben.
>>>>
>>>> Soso. Die Abbildung f : IR->IR mit f(x)=2x existiert also nicht? Oder
>>>> ist
>>>> sie keine Injektion? Kannst Du das beweisen?
>>>
>>> Wenn Du mich verstanden hast tue es bitte für mich.
>>
>> Ich habe Dich _nicht_ verstanden, deshalb habe ich gefragt.
>
> Ohne gründlich nachgedacht zu haben
Oh, das offenbart die _Mühe_, die Du Dir bei Deinen Schlussfolgerungen
gibst.
> versuche ich eine Antwort:
> Wenn man meint eine Funktion auf (ist das richtig?) IR formuliert zu
> haben, dann sehe ich zwar theoretisch keine Probleme.
Ach? Dann ist die "theoretische Abbildung" f : IR->IR mit f(x)=2x doch eine
Injektion, oder was?
> Praktisch kommt
> man aber nicht daran vorbei sich bei der Ein- und Ausgabe von Werten der
> rationalen Zahlen (Näherungen, glatte Zahlen) oder der aufgabenhaften
> Zahlen (wie pi) zu bedienen.
Ein- und Ausgabe von Werten??? Wo bitte ist sowas "Praxis" beim Untersuchen
von Existenz und Injektivität einer Abbildung? In der Mathematik nicht!
> Wirklich reelle Zahlen sind ja als Fiktionen nicht greifbar.
Gibt es jetzt auch schon "wirkliche" und "unwirklich" reelle Zahlen? Kannst
Du für solche mal Beispiele angeben?
Und wo steht in der Definition von "injektiv", dass Elemente "greifbar" sein
müssen?
> Deshalb vermute ich dass auch Zurdnungen von
> Zahl zu Zahl nur in Sonderfällen dann gesichert denkbar sind, etwa IR ->
> IR.
Hä??? Ist "IR -> IR" jetzt eine solcher "Sonderfall einer Zuordnung von Zahl
zu Zahl"?
Ach ja, Du schriebst ja oben "ohne gründlich nachgedacht zu haben", ich
vergaß.
Also was ist jetzt? Existiert die Abbildung f : IR->IR mit f(x)=2x, ja oder
nein? Wenn ja, ist die injektiv oder nicht?
>>>> ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
>>>
>>> Identisch:
>>> Jede rationale Zahl hat beliebig aber endlich viele Ziffern, lässt sich
>>> also grundsätzlich hinschreiben.
>>
>> Weder identisch noch richtig. Hat die rationale Zahl 1/3 endlich viele
>> Ziffern?
>
> Die Zifferndarstellung von Brüchen die in eine Periode abbrechen mag ein
> wenig verwirren.
_Dich_ scheint sie zu verwirren, sonst würdest Du nicht so rundweg falsche
Aussagen darüber machen.
> Sie stellt kein ernstes Problem dar. Formal ziehe ich
> mich aus der Schlinge indem ich sage, man kann ja den Überstrich
> hinschreiben und ist fertig.
Trotzdem hat sie _nicht_ endlich viele Stellen.
> Mit dem Wort "identisch" bezog ich mich auf das was Du ED.1 nanntest.
Was soll das heißen? Dass ED.2 und ED.1 identisch wären?
[...]
>> ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
>
> Nochmal: Die rationalen Zahlen verhalten sich wie die natürlichen.
Das ist mir neu. Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen immer unendlich
viele weitere rationale Zahlen; zwischen zwei natürlichen jedoch nur
höchstens endlich viele. Es gibt eine kleinste natürliche Zahl, aber keine
kleinste rationale; es gibt eine kleinste positive natürliche Zahl, aber
keine kleinste positive rationale Zahl. Usw...
> Potentiell unendlich lassen sich zwar beliebig aber doch nur endlich
> viele von ihnen angeben.
Der Satz ergibt weder grammtikalisch noch inhaltlich einen Sinn: Was soll es
bedeuten, dass sich nur endlich viele natürliche Zahlen "angeben" lassen?
Was bedeutet "angeben" hier überhaupt? Und welche Konsequenz sollte diese
"Beschränkung der Angebbarkeit" für ihre Existenz haben?
> Sie sind also abzählbar.
Streiche das "also" und ich kann Dir zustimmen.
>> ED.3: "Kontinuum = Zahlen mit unendlich vielen Ziffern"
>>
>> ED.4: "aktual unendlich viele" = |IR|
>>
>> ES.1: IR unterscheidet sich von (Q dadurch, dass jedes noch so kleine
>> Intervall von IR aktual unendlich viele Elemente hat.
>>
>> Mit der hinzugekommenen Defintion ED.4 ist ES.1 natürlich nicht mehr
>> spannend.
>
> Ergänze einfach "aktual" und "nichtperiodisch" in 3.
Oh? Also -> ED.3: "Kontinuum = Zahlen mit aktual unendlich vielen, sich
nicht periodisch wiederholenden Ziffern"
D.h. _Dein_ Kontinuum enthält keine einzige rationale Zahl? Ungünstig, aber
wenn Du es so willst...
Ich rekapituliere:
ED.1: "Mathematische Quanten" = rationale Zahlen, die nur endlich viele
Ziffern haben
ED.2: "beliebig viele" = |(Q|
ED.3: "Kontinuum" = Zahlen mit aktual unendlich vielen, sich nicht
periodisch wiederholenden Ziffern
ED.3a: "Kontinuum" = Anordnung unendlich vieler fiktiver Zahlen von
kleineren zu größeren
ED.4: "aktual unendlich viele" = |IR|
ED.4a: Eine "aktual unendliche" Menge ist eine, mit der man etwas
Unmögliches anstellt.
ED.5: "Punkte" = rationale Zahlen
Hmm...
Christopher Creutzig
> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
Q ist eine abzählbare Teilmenge von R. Die Menge {1,2,3} ist ebenfalls
eine abzählbare Teilmenge von R. Widerlegung durch Gegenbeispiel.
(Dafür ist es übrigens absolut irrelevant, ob Du 1 lieber als
1.0000000... schreibst. Die Menge enthält genau drei Elemente, und bis
drei kann man zählen.)
> Unbewiesen und falsch ist dagegen deine von Cantor übernommene Folgerung
> das das was man nicht abzählen könne zu groß dazu sein müsse. Hier liegt
Moment – ich habe das ganz eindeutig begründet: Es gibt abzählbare
Teilmengen.
> Zwischen natürlichen und rationalen Zahlen fand auch Cantor hinsichtlich
> der Abzählbarkeit keinen Unterschied. Er sprach von gleicher
> Kardinalität aleph_0. Ich sage ganz einfach sie sind numerisch diskret.
Das ist bei rationalen Zahlen offensichtlich falsch, wenn man „diskret“
mit der üblichen Bedeutung versteht.
> Hätten wir die logischen Fragen schon hinreichend beleuchtet, dann wärst
> du gezwungen zu verstehen wo Cantors Irrtum liegt.
Ich habe ziemlich genaue Vorstellungen, wo einige Deiner Irrtümer liegen.
Christopher
Christopher Creutzig
> D a s Problem unserer gesamten Diskussion besteht darin, dass man eine
> reelle Zahl in numerischer Repräsentation n i c h t isolieren kann.
Also gehen wir auf das andere Beispiel zurück: Kann man Mengen
natürlicher Zahlen voneinander „isolieren“?
Christopher
Christopher Creutzig
> Erstens meine ich, der Mehrheit der Mathematiker ist nicht bewusst, dass
> sich die reellen Zahlen nur dann so wie von Cantor demonstriert als
> nicht abzählbare Menge von den abzählbaren rationalen Zahlen
> unterscheiden, wenn man ihnen fiktiv eine aktual unendliche, praktisch
> nie erreichbare Anzahl von Nachkommastellen zuschreibt. Aktual meint:
> Alle sind erforderlich. Trifft dies zu, dann könnten meine Überlegungen
Das sollte allen Mathematikern bewusst sein, zumal man nur so die
reellen Zahlen überhaupt erhält. (Je nach Einführung der rellen Zahlen
kann man das aus der axiomatisch geforderten Eindeutigkeit oder aus
inf { |x-y|, x, y e Q } = 0 folgern.) Erstaunlich ist nur, dass Du
diese Eigenschaft als problematisch ansiehst. Für welche
innermathematische Frage sollte es denn notwendig sein, die Stellen
einer konkreten reellen Zahl alle anzugeben? Allenfalls einfache
Bildungsgesetze ganz spezieller Zahlen könnten von Interesse sein.
> Einzelne reelle Zahlen sind in einer aktual unendlich dichten Menge
> irrelevant. Die neutrale Null ist im Kontinuum IR nur eine Fiktion, jede
„Irrelevant“ hängt immer am Kontext. Für die meisten Anwendungen der
Maßtheorie sind einzelne Zahlen irrelevant. Selbst alle rationalen
Zahlen zusammen sind für viele Anwendungen irrelevant – und noch
schlimmer, selbst die Menge *aller* reellen Zahlen, von denen sich jede
mit beliebig vielen endlich vielen Zeichen beschreiben lässt, ist für
viele Anwendungen der Maßtheorie absolut irrelevant.
> andere Zahl übrigens auch. Sie ist von einer positiven Null von IR+ und
> einer negativen Null von IR- nicht unterscheidbar. Somit bleibt keine
Im Rahmen der algebraischen Betrachtung ist das wieder absoluter
Humbug. Die Eindeutigkeit der 0 ist eine typische Übungsaufgabe für
Erstsemester.
> sonst gilt ja |sign(0)|=0. Die Gleichheitsrelation ist in IR numerisch
> nicht prüfbar. Es ist dort weder nötig noch möglich abgeschlossene
Das ist Berechenbarkeitstheorie, nicht Mathematik.
> oo+1, oo+2, etc. In mehr als 100 Jahren gelang es niemandem einen
> Nutzen der Kardinalitäten zu finden oder gar die Kontinuumshypothese zu
Das ist hier mehrfach widerlegt worden.
> Ein demütig platonisches Akzeptieren der fundamentalen Verschiedenheit
> zwischen reellen „Zahlen“ im Kontinuum und diskreten Zahlen erlaubt
Der selbe Unterschied existiert auch zwischen der Menge der reellen
Zahlen und der Potenzmenge dieser Menge. Usw., ad infinitum.
Christopher
Bernd Funke
> On 9/8/2005 5:59 PM, Bernd Funke wrote:
>> "Eckard Blumschein" <blums...@et.uni-magdeburg.de> schrieb:
>>> On 9/8/2005 2:49 PM, Bernd Funke wrote:
>>>
>>>>
>>>>> Das was hier als Element benutzt wird, ordnet sich ja
>>>>> nur _fiktiv_ in die Darstellung als Ziffernfolge ein.
>>>>
>>>> Das ist genauso falsch wie irrelevant.
>>>
>>> Du behauptest zweierlei und gibst keine prüfbare Erklärung dafür.
>>
>> Irrelevant weil |{A}|=1 _unabhängig_ von den Eigenschaften von A.
>
> Das stimmt nur solange wie ich nicht die A als Einzel-Element
> definierende "Schale" öffne so dass sich das Innere entfalten kann.
Falsch. Es stimmt _immer_, ganz egal, wie A in seinem Inneren aussieht. Auch
|{IR}|=1.
Wenn Du anderer Meinung bist, dann betreibst Du eine andere Mengenlehre,
aber das weist Du ja immer weit von Dir.
[...]
>>>>> Ich kann es für IR von der aufgabenhaften Buchstabendarstellung pi
>>>>> zweckmäßig umschreiben in {3 + 1/10 + 4/100 + 1/1000 ...}
>>>>
>>>> Dass das _zweckmäßig_ wäre, ist allein Deine Vorstellung; egal, es
>>>> ändert
>>>> an
>>>> der Menge {\pi} rein gar nichts.
>>>
>>> Man kann an einer Menge von Doppelbrötchen die Quantität (Kardinalität)
>>> ändern indem man die Elemente auseinanderbricht.
>>
>> Dann betrachtet man aber eine andere Menge. Dass _die_ dann eine andere
>> Kardinalität hat, ist nicht weiter erstaunlich.
>
> Freilich. |{\pi}| ist also recht missverständlich.
In keinster Weise: |{\pi}| ist die Anzahl der Elemente der Menge die nur das
eine Element namens \pi enthält. Was ist daran missverständlich?
Dass sich das Wesen _eines_ Elementes auf seine Anzahl (1) auswirken sollte,
das gibt es nur in Deiner privaten Blumschein-Mengenlehre, nicht aber in der
Mengenlehre, die Du so gerne kritisieren möchtest.
> Man kann pi als Element oder aber als Kürzel für eine nicht abzählbare
> Folge auffassen.
Und das widerspricht sich in keiner Art und Weise (auch wenn es keine "nicht
abzählbare Folge" gibt). Es bleibt _ein_ Element, egal ob es für irgendwas
als Kürzel steht.
>> Aber die Mengen {3, 1/10, 4/100, 1/1000, ...} und {3 + 1/10 + 4/100 +
>> 1/1000
>> + ...}sind _unterschiedliche_ Mengen. Geht das in Deinen Kopf?
>
> Damit habe ich kein Problem.
Und wieso meinst Du, diese beiden _verschiedenen_ Mengen müssten die _selbe_
Kardinalität haben?
[...]
>>> Falls Du aber behauptest auf die aktual unendliche Ziffernfolge welche
>>> eine Irrationalzahl repräsentiert die gleiche Prozedur anwenden zu
>>> können, dann zeige mir bitte wo ein nachvollziehbarer Beweis dafür
>>> steht.
>>
>> Was gibt es da noch zu beweisen?
>>
>> Du gibst selbst zu, dass eine Irrationalzahl durch eine (meinethalben
>> aktual) unendliche Ziffern_folge_ repräsentiert werden kann.
>>
>> Und Du schreibst oben selbst: "die Indices der Nachkommastellen"
>> Was kann das anderes heißen als dass _jede_ Nachkommastelle ihren
>> _eigenen_
>> Index hat, dass also eine Bijektion zwischen den Indices und den
>> Nachkommastellen besteht (ist ja auch der Job von Indices)? Damit besteht
>> dann eine Bijektion zwischen den Nachkommastellen und den natürlichen
>> Zahlen.
>
> Hier reichen die Begriffe offensichtlich nicht soweit, dass Du den
> Sachverhalt verstehen könntest.
Die Begriffe reichen weit genug, um widerspruchsfreie Mathematik zu
betreiben. Nur für Deine vermeintlichen Widersprüche brauchst Du neue
Begriffe, die Du selbst nicht definieren kannst. Dass das planlose
Herumschwurbeln auf diesen undefinierten Begriffen dann "Ergebnisse"
liefert, die ich nicht verstehe, dafür brauche ich mich nicht zu schämen.
> Die Repräsentation ist ja nur in Gedanken (antizipatorisch) möglich.
Natürlich, die ganze Mathematik ist nur in Gedanken möglich. Das ändert an
der Existenz der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Nachkommastellen,
die die b-adische Darstellung ja _explizit_ benutzt, aber überhaupt gar
nichts.
> Insofern hat Mückenheim doch völlig Recht. Man kann die Nachkommastellen
> nicht alle angeben.
Was soll das heißen, man kann sie nicht "alle angeben"? Man kann sie nicht
alle auf ein Blatt schreiben, oder was? Doch wieder mit Mücke auf dem
Ultrafinitisten-Trip, wie? Wo bitte in der Definition von "Bijektion" steht
geschrieben, dass man die Elemente des Defintions- oder Bildbereichs alle
zusammen auf ein Blatt schreiben können muss?
> Eine Bijektion ist nicht allgemein möglich, nur trivial zur gleichen
> Darstellung pi
> selbst.
Das ist ganz einfach falsch, denn die b-adische Darstellung (ohne die es
Deine heißgeliebten und für alle Deine Argumente so zentralen
Nachkommastellen ja gar nicht geben würde) _benutzt_ diese Bijektion ja.
Bernd Funke
>
> "Eckard Blumschein" <blums...@et.uni-magdeburg.de> schrieb im
> Newsbeitrag
> news:43206848...@et.uni-magdeburg.de...
>> On 9/8/2005 3:50 PM, Bernd Funke wrote:
[Fullquote bandbreitenfreundlich entsorgt]
>> Ich vertraue auf eure Intelligenz und hoffe auch zum Nutzen der Physik
>> irgendwann verstanden zu werden.
>>
>> Gruss,
>> Eckard
>>
>
> Ich weiß nicht was du mit Cantor hast, jedenfalls war der Sängerknabe und
> hat keinen solchen Stuß von sich gegeben.
Das ist offenkundig, aber hätte doch keines Fullquotes bedurft :-(
Christopher Creutzig
> in einer ansteigenden Reihe aufeinander folgt. Die reellen Zahle sind
> fiktiv. Mathematiker sollten sich das vorstellen oder es wenigstens
> akzeptieren können.
Kein Problem. Reelle Zahlen sind fiktiv. Das unterschreibe ich
jederzeit. Natürliche Zahlen übrigens auch. Funktionen auch.
Eigentlich ist die gesamte Mathematik fiktiv. Und das meine ich absolut
ernst.
> Ganz einfach: Aktual unendlich viele heißt, man braucht von den
> potentiell unendlich vielen Zahlen oder Indices alle. Das ist
Kein Problem, man nimmt einfach die Menge IN. Da sind *alle* drin.
Fiktiv, versteht sich, schließlich ist IN ein mathematisches Objekt.
>>ES.1: IR unterscheidet sich von (Q dadurch, dass jedes noch so kleine
>>Intervall von IR unendlich viele Elemente hat.
>
>
> Aktual unendlich viele, s. o.
Das trifft auf (Q ebenfalls zu. Oder kannst Du ein Intervall positiver
Breite angeben, in dem nur endlich viele rationale Zahlen liegen?
Christopher
Ralf Goertz
Ja darauf hatte ich schon fast gewartet. Aber in dem vorliegenden Fall war
der Denkfehler klar bei Eckard.
SCNRE
Eckard Blumschein
>>> Irrelevant weil |{A}|=1 _unabhängig_ von den Eigenschaften von A.
>>
>> Das stimmt nur solange wie ich nicht die A als Einzel-Element
>> definierende "Schale" öffne so dass sich das Innere entfalten kann.
>
> Falsch. Es stimmt _immer_, ganz egal, wie A in seinem Inneren aussieht. Auch
> |{IR}|=1.
Wenn jemand bösartig wird werde auch ich böse.
"Falsch" ist hier eine nicht richtige Behauptung.
Der folgende Satz ist zwar richtig, geht aber an dem was ich schrieb
vorbei.
So sollten wir nicht weiter diskutieren.
>
> Wenn Du anderer Meinung bist, dann betreibst Du eine andere Mengenlehre,
> aber das weist Du ja immer weit von Dir.
>
> [...]
Auch dass ist eine pure Frechheit gegen die ich mich nicht sachlich
wehren kann.
>>> Dann betrachtet man aber eine andere Menge. Dass _die_ dann eine andere
>>> Kardinalität hat, ist nicht weiter erstaunlich.
>>
>> Freilich. |{\pi}| ist also recht missverständlich.
>
> In keinster Weise: |{\pi}| ist die Anzahl der Elemente der Menge die nur das
> eine Element namens \pi enthält. Was ist daran missverständlich?
Gleicht |{IN}| eins oder aleph_0? Das hängt doch wohl davon ab ob ich IN
als Symbol und somit als ein einziges Element auffasse oder es als die
Gesamtheit der natürlichen Zahlen entschlüssele
Übrigens, gibt es in der Mathematik ein "Keinster"?
> Dass sich das Wesen _eines_ Elementes auf seine Anzahl (1) auswirken sollte,
> das gibt es nur in Deiner privaten Blumschein-Mengenlehre, nicht aber in der
> Mengenlehre, die Du so gerne kritisieren möchtest.
Du zeigst zweierlei:
- Argumentationsschwäche
- so wenig Anstand dass ich auf diskussionen mit Dir verzichte.
>> Man kann pi als Element oder aber als Kürzel für eine nicht abzählbare
>> Folge auffassen.
>
> Und das widerspricht sich in keiner Art und Weise (auch wenn es keine "nicht
> abzählbare Folge" gibt). Es bleibt _ein_ Element, egal ob es für irgendwas
> als Kürzel steht.
S. o.
>
>>>> Falls Du aber behauptest auf die aktual unendliche Ziffernfolge welche
>>>> eine Irrationalzahl repräsentiert die gleiche Prozedur anwenden zu
>>>> können, dann zeige mir bitte wo ein nachvollziehbarer Beweis dafür
>> Die Repräsentation ist ja nur in Gedanken (antizipatorisch) möglich.
>
> Natürlich, die ganze Mathematik ist nur in Gedanken möglich.
Diese - wie ich meine sehr schädliche - Auffassung ist leider weit
verbreitet. Sie schüttet das Kind mir dem Bade aus. Sie leugnet den
Unterschied zwischen abzählbaren Zahlen und dem nicht abzählbaren
Kontinuum. Bisher hatte ich es tunlichst vermieden den wie ich ahne in
der Mathematik mit Konfusion belasteten Begriff mathematischer Existenz
im Zusammenhang mit den reellen Zahlen zu benutzen. Mückenheim behauptet
in seinem Büchlein, es gäbe keine aktuale Unendlichkeit. Freilich gibt
es nur endliche Zahlen. Es ist aber üblich und nützlich, ja in der
Physik sogar nötig mit den fiktiven, strenggenommen nicht existenten
transzendeten und sonstigen reellen Zahlen zu operieren.
> Das ändert an der Existenz
Da haben wir den Begriff. Ich ahnte es.
> der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Nachkommastellen,
> die die b-adische Darstellung ja _explizit_ benutzt, aber überhaupt gar
> nichts.
Zwischen beliebig vielen und allen Nachkommastellen liegt ein
entscheidender Unterschied.
>
>
>> Insofern hat Mückenheim doch völlig Recht. Man kann die Nachkommastellen
>> nicht alle angeben.
>
> Was soll das heißen, man kann sie nicht "alle angeben"?
Soll heißen es ist ganz grundsätzlich generell unmöglich weil die dafür
nötige Informationsmenge nicht nur beliebig sondern aktual unendlich
groß ist. Die Informationsmenge die man braucht um alle natürlichen
Zahlen in Zifferndarstellung aufgabenhaft zu beschreiben ist sehr klein.
Rationale Zahlen repräsentieren eine beliebig aber nicht aktual
unendlich große Informationsmenge.
> Man kann sie nicht
> alle auf ein Blatt schreiben, oder was? Doch wieder mit Mücke auf dem
> Ultrafinitisten-Trip, wie? Wo bitte in der Definition von "Bijektion" steht
> geschrieben, dass man die Elemente des Defintions- oder Bildbereichs alle
> zusammen auf ein Blatt schreiben können muss?
Verstecke Dich bitte nicht hinter möglicherweise fragwürdig angewandten
Formalismen.
>> Eine Bijektion ist nicht allgemein möglich, nur trivial zur gleichen
>> Darstellung pi
>> selbst.
>
> Das ist ganz einfach falsch, denn die b-adische Darstellung (ohne die es
> Deine heißgeliebten und für alle Deine Argumente so zentralen
> Nachkommastellen ja gar nicht geben würde) _benutzt_ diese Bijektion ja.
Es ist doch richtig. Im Unendlichn kompensieren sich allerlei
Widersprüche. Reelle Zahlen lassen sich ja auch mit beliebig vielen
Nachkommastellen nicht repräsentieren. Dafür würde man aktual unendlich
viele brauchen, und das ist etwas ganz anderes, eine neue Qualität. Ich
benutze die Bijektion nur solange wie ich mich innerhalb der rationalen
Zahlen auf die reellen zu bewege.
Eckard
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>
>> Erstens meine ich, der Mehrheit der Mathematiker ist nicht bewusst, dass
>> sich die reellen Zahlen nur dann so wie von Cantor demonstriert als
>> nicht abzählbare Menge von den abzählbaren rationalen Zahlen
>> unterscheiden, wenn man ihnen fiktiv eine aktual unendliche, praktisch
>> nie erreichbare Anzahl von Nachkommastellen zuschreibt. Aktual meint:
>> Alle sind erforderlich. Trifft dies zu, dann könnten meine Überlegungen
>
> Das sollte allen Mathematikern bewusst sein, zumal man nur so die
> reellen Zahlen überhaupt erhält. (Je nach Einführung der rellen Zahlen
> kann man das aus der axiomatisch geforderten Eindeutigkeit oder aus
> inf { |x-y|, x, y e Q } = 0 folgern.) Erstaunlich ist nur, dass Du
> diese Eigenschaft als problematisch ansiehst. Für welche
> innermathematische Frage sollte es denn notwendig sein, die Stellen
> einer konkreten reellen Zahl alle anzugeben? Allenfalls einfache
> Bildungsgesetze ganz spezieller Zahlen könnten von Interesse sein.
Dass ich aus den üblichen Definitionen der reellen Zahlen deren
Fiktivität nicht ersehe (außer der von Cantor mit der Präzisierung von
oo als aktual unendlich) hatte ich schon irgendwann hier dargelegt. Um
Missverständnissen vorzubeugen sollte ich sicherlich statt "praktisch"
verschärft schreiben "auch theoretisch".
Ich sehe es auch so. Den Unterschied zwischen wirklich reellen und
rationalen Zahlen braucht man nur selten zu beachten.
>> Einzelne reelle Zahlen sind in einer aktual unendlich dichten Menge
>> irrelevant. Die neutrale Null ist im Kontinuum IR nur eine Fiktion, jede
>
> „Irrelevant“ hängt immer am Kontext. Für die meisten Anwendungen der
> Maßtheorie sind einzelne Zahlen irrelevant. Selbst alle rationalen
> Zahlen zusammen sind für viele Anwendungen irrelevant – und noch
> schlimmer, selbst die Menge *aller* reellen Zahlen, von denen sich jede
> mit beliebig vielen endlich vielen Zeichen beschreiben lässt, ist für
> viele Anwendungen der Maßtheorie absolut irrelevant.
Danke. Sollte ich besser schreiben: "Einzelne reelle Zahlen besitzen nur
eine fiktive Existenz. Sie sind in einer aktual unendlich dichten Menge
vom Ensemble ihrer unendlich vielen nahen Nachbarn nicht unterscheidbar,
nicht auffindbar, gleichwerig mitvertreten und somit ohne jede
Bedeutung"? Ist dies besser verständlich? Ich hoffe es.
>
>> andere Zahl übrigens auch. Sie ist von einer positiven Null von IR+ und
>> einer negativen Null von IR- nicht unterscheidbar. Somit bleibt keine
>
> Im Rahmen der algebraischen Betrachtung ist das wieder absoluter
> Humbug. Die Eindeutigkeit der 0 ist eine typische Übungsaufgabe für
> Erstsemester.
Da sind wir wohl am Kern meiner Überlegungen angelangt. Was für diskrete
Zahlen unbestritten richtig ist muss nicht auch automatisch für die
fiktiven reellen Zahlen gelten. Das Kontinuum ist das tertium.
>
>> sonst gilt ja |sign(0)|=0. Die Gleichheitsrelation ist in IR numerisch
>> nicht prüfbar. Es ist dort weder nötig noch möglich abgeschlossene
>
> Das ist Berechenbarkeitstheorie, nicht Mathematik.
Ich kenne zwar die Berechenbarkeitstheorie nicht, nehme aber an dass
diese nicht außerhalb der Mathematik steht.
Nein. Hier geht es wie oben darum, dass man leider die Mathematik auf
Algebra und Mengenlehre aufbaut, andere wichtige Zweige der Mathematik
damit aber teilweise unvereinbar sind. Für die Physik wünsche ich mir
eine geschlossene Mathematik, und ich zeige wie sie aussehen könnte.
>> oo+1, oo+2, etc. In mehr als 100 Jahren gelang es niemandem einen
>> Nutzen der Kardinalitäten zu finden oder gar die Kontinuumshypothese zu
>
> Das ist hier mehrfach widerlegt worden.
Nein. Die Kontinuumshypothese gilt als unbeweis- und unwiderlegbar. Ob
sie richtig oder falsch ist darüber kenne ich keine endgültige Aussage.
Den Nutzen von höheren alephs als aleph_1 hat hier niemand aufgezeigt.
>
>> Ein demütig platonisches Akzeptieren der fundamentalen Verschiedenheit
>> zwischen reellen „Zahlen“ im Kontinuum und diskreten Zahlen erlaubt
>
> Der selbe Unterschied existiert auch zwischen der Menge der reellen
> Zahlen und der Potenzmenge dieser Menge. Usw., ad infinitum.
Nein. Der Mechanismus zum Zerstören der Abzählbarkeit wirkt nur beim
ersten Mal. Man kann sich nicht mehrfach erschießen. Ein Unterschied
zwischen nicht abzählbar und nicht abzählbarer als nicht abzählbar ist
aus meiner Sicht wie ein Unterschied zwischen fiktiv und fiktiver als
fiktiv, tot und toter als tot, absolut und absoluter als absolut,
unendlich und unendlicher als unendlich, offen und offener als offen,
wahr und wahrer als wahr....
Danke nochmals für die Hinweise.
Gruss,
Eckard
Bernd Funke
> On 9/8/2005 11:46 PM, Bernd Funke wrote:
>
>>>> Irrelevant weil |{A}|=1 _unabhängig_ von den Eigenschaften von A.
>>>
>>> Das stimmt nur solange wie ich nicht die A als Einzel-Element
>>> definierende "Schale" öffne so dass sich das Innere entfalten
>>> kann.
>>
>> Falsch. Es stimmt _immer_, ganz egal, wie A in seinem Inneren
>> aussieht. Auch
>>> {IR}|=1.
>
> Wenn jemand bösartig wird werde auch ich böse.
Was ist daran bösartig, darauf hinzuweisen, dass in der Mengenlehre
eine Menge mit einem Element ein Element enthält, _unabhängig_ von den
Eigenschaften des Elements?
> "Falsch" ist hier eine nicht richtige Behauptung.
Doch, das "falsch" ist sehr wohl zutreffend, denn die Menge {A} hat
auch dann _ein_ Element, wenn ich As "Schale geöffnet" habe, also
weiß, welche (möglicherweise unglaublichen) Eigenschaften es besitzt.
Diese Eigenschaft einer Menge {A} (_nicht_ einer Menge A, hörst Du?)
ist _elementarste_ Mengenlehre. Lehnst Du diese Eigenschaft jetzt ab,
oder nicht?
> Der folgende Satz ist zwar richtig, geht aber an dem was ich schrieb
> vorbei.
> So sollten wir nicht weiter diskutieren.
>
>>
>> Wenn Du anderer Meinung bist, dann betreibst Du eine andere
>> Mengenlehre, aber das weist Du ja immer weit von Dir.
>>
>> [...]
>
> Auch dass ist eine pure Frechheit gegen die ich mich nicht sachlich
> wehren kann.
Das versteh ich nicht, tut mir leid. Ist mein obiger Satz nun richtig
oder pure Frechheit? Aber was soll daran frech sein? Du lässt hin und
wieder das Lippenbekenntnis fallen, dass Du keine neue Mathematik
einführen willst, stellst dann aber elementarste Grundeigenschaften
der Mengenlehre wie die generelle Einelementigkeit der Menge {A} in
Frage. Was denn nun?
>>>> Dann betrachtet man aber eine andere Menge. Dass _die_ dann eine
>>>> andere Kardinalität hat, ist nicht weiter erstaunlich.
>>>
>>> Freilich. |{\pi}| ist also recht missverständlich.
>>
>> In keinster Weise: |{\pi}| ist die Anzahl der Elemente der Menge
>> die
>> nur das eine Element namens \pi enthält. Was ist daran
>> missverständlich?
>
> Gleicht |{IN}| eins oder aleph_0? Das hängt doch wohl davon ab ob
> ich
> IN als Symbol und somit als ein einziges Element auffasse oder es
> als
> die Gesamtheit der natürlichen Zahlen entschlüssele
Nein, und das ist _Dein_ Verständnisproblem. Du bist ganz
offensichtlich unfähig oder unwillig den Ausdruck |{IN}| vom Ausdruck
|IN| zu unterscheiden.
|{IN}| ist immer 1, dafür brauche nicht mal zu wissen, was IN
überhaupt bedeutet.
|IN| ist dagegen \aleph_0, dafür muss man natürlich über IN etwas
wissen.
Ja, Du scheinst _wirklich_ {IN} nicht von IN unterscheiden zu können
oder zu wollen.
Gehen wir noch einen Schritt zurück. Kannst Du folgende Aufgaben
lösen?
a)
|{18,20,2,0}| = ?
b)
|{{18,20,2,0}}|=?
>> Dass sich das Wesen _eines_ Elementes auf seine Anzahl (1)
>> auswirken
>> sollte, das gibt es nur in Deiner privaten Blumschein-Mengenlehre,
>> nicht aber in der Mengenlehre, die Du so gerne kritisieren
>> möchtest.
>
> Du zeigst zweierlei:
> - Argumentationsschwäche
Das mag Dir so erscheinen, weil Du meine Argumente einfach löschst
(s.u. zur Frage der Mengen {3,4/10,...} und {3+4/10+...}). Und _Du_
beschwerst Dich über Frechheit und mangelnden Anstand?
> - so wenig Anstand dass ich auf diskussionen mit Dir verzichte.
Das ist eine billige Ausrede, nur um nicht auf meine Argumente
eingehen zu müssen. Hat die Menge {A} nun _immer_ genau ein Element
oder nicht?
>>> Man kann pi als Element oder aber als Kürzel für eine nicht
>>> abzählbare Folge auffassen.
>>
>> Und das widerspricht sich in keiner Art und Weise (auch wenn es
>> keine "nicht abzählbare Folge" gibt). Es bleibt _ein_ Element, egal
>> ob es für irgendwas als Kürzel steht.
>
> S. o.
Ja, siehe oben. Die generelle Einelementigkeit der Menge {A} ist
elementar.
Du löschtest meine folgende Frage:
>> Aber die Mengen {3, 1/10, 4/100, 1/1000, ...} und {3 + 1/10 + 4/100
>> +
>> 1/1000
>> + ...}sind unterschiedliche Mengen. Geht das in Deinen Kopf?
>
> Damit habe ich kein Problem.
Und wieso meinst Du, diese beiden verschiedenen Mengen müssten die
selbe
Kardinalität haben?
[...]
[Abzählbarkeit der Nachkommastellen]
>> Das ändert an der Existenz
>
> Da haben wir den Begriff. Ich ahnte es.
>
>> der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und Nachkommastellen,
>> die die b-adische Darstellung ja _explizit_ benutzt, aber überhaupt
>> gar nichts.
>
> Zwischen beliebig vielen und allen Nachkommastellen liegt ein
> entscheidender Unterschied.
Kannst Du eine Nachkommastelle nennen, die keinen Index hat, die also
beim Durchnummerieren nicht erwischt wird?
>>> Insofern hat Mückenheim doch völlig Recht. Man kann die
>>> Nachkommastellen nicht alle angeben.
>>
>> Was soll das heißen, man kann sie nicht "alle angeben"?
>
> Soll heißen es ist ganz grundsätzlich generell unmöglich weil die
> dafür nötige Informationsmenge nicht nur beliebig sondern aktual
> unendlich groß ist.
Und an welcher Stelle der Bijektivität eine Abbildung spielt diese
angebliche "aktual unendlich große Informationsmenge" eine Rolle?
[...]
>> Man kann sie nicht
>> alle auf ein Blatt schreiben, oder was? Doch wieder mit Mücke auf
>> dem
>> Ultrafinitisten-Trip, wie? Wo bitte in der Definition von
>> "Bijektion" steht geschrieben, dass man die Elemente des
>> Defintions-
>> oder Bildbereichs alle zusammen auf ein Blatt schreiben können
>> muss?
>
> Verstecke Dich bitte nicht hinter möglicherweise fragwürdig
> angewandten Formalismen.
Es geht hier doch gerade darum, dass Du deren "Fragwürdigkeit" nicht
begründen kannst. Was kratzt es die Bijektion zwischen zwei
(meinethalben aktual) unendlichen Mengen, dass Du ihnen eine "aktual
unendlich große Informationsmenge" zuschreibst?
>>> Eine Bijektion ist nicht allgemein möglich, nur trivial zur
>>> gleichen
>>> Darstellung pi
>>> selbst.
>>
>> Das ist ganz einfach falsch, denn die b-adische Darstellung (ohne
>> die es Deine heißgeliebten und für alle Deine Argumente so
>> zentralen
>> Nachkommastellen ja gar nicht geben würde) _benutzt_ diese
>> Bijektion
>> ja.
>
> Es ist doch richtig.
Dann müsstest Du zeigen können, dass es Nachkommastellen gibt, die
beim Durchnummerieren nicht erwischt werden. Kannst Du das? Sonst
bleibt es bei Deiner _Behauptung_ EB.1: "Zwischen IN und den
Nachkommastellen einer irrationalen Zahl gibt es keine Bijektion."
tschö
Bernd
--
Die Mengen der algebraisch irrationalen und die der
konstruierbar irrationalen Zahlen sind vermutlich deshalb
abzählbar weil sich ihre Irrationalitäten gegenseitig aufheben.
[Dr.-Ing. E. Blumschein in de.sci.mathematik]
Bernd Funke
[...]
Hier hat OE fatalerweise das "|" am Zeilenanfang verhunzt.
Korrekturen:
> Nein, und das ist _Dein_ Verständnisproblem. Du bist ganz
> offensichtlich unfähig oder unwillig den Ausdruck |{IN}| vom
> Ausdruck
>> IN| zu unterscheiden.
=> "den Ausdruck |{IN}| vom Ausdruck |IN| zu unterscheiden."
>> {IN}| ist immer 1, dafür brauche nicht mal zu wissen, was IN
>> überhaupt bedeutet.
=> "|{IN}| ist immer 1"
>> IN| ist dagegen \aleph_0, dafür muss man natürlich über IN etwas
>> wissen.
=> "|IN| ist dagegen \aleph_0"
> Ja, Du scheinst _wirklich_ {IN} nicht von IN unterscheiden zu können
> oder zu wollen.
>
> Gehen wir noch einen Schritt zurück. Kannst Du folgende Aufgaben
> lösen?
>
> a)
>> {18,20,2,0}| = ?
=> "|{18,20,2,0}| = ?"
> b)
>> {{18,20,2,0}}|=?
=> "|{{18,20,2,0}}| = ?"
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>
>> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
>
> Q ist eine abzählbare Teilmenge von R.
Hm. Das wäre formal zu akzeptieren. Das Abzählen erfolgt allerdings
nicht erst in IR sondern muss unbedingt schon in (Q erfolgen. Man sagt
zwar, (Q sei eine Teilmenge von IR. Dies halte ich aber für eine
fragwürdige Vergröberung. Das Kontinuum zeichnet sich in aus
physikalisch-logischer Sicht eben gerade dadurch aus, dass kein Gitter
darin erkennbar ist. (Q ist sozusagen eingeschmolzen wie ein Kristell in
eine Flüssigkeit.
> Die Menge {1,2,3} ist ebenfalls
> eine abzählbare Teilmenge von R.
Das sehe ich deshalb nicht weil 1,2,3 erst mit ihrer Einkleidung zu
Mitgliedern von IR werden.
>> Unbewiesen und falsch ist dagegen deine von Cantor übernommene Folgerung
>> das das was man nicht abzählen könne zu groß dazu sein müsse. Hier liegt
>
> Moment – ich habe das ganz eindeutig begründet: Es gibt abzählbare
> Teilmengen.
S. o.
Wenn IR wirklich eine aufschreibbare Wohlordnung besäße, dann brauchte
man den Selbstbetrug AC nicht.
>> Zwischen natürlichen und rationalen Zahlen fand auch Cantor hinsichtlich
>> der Abzählbarkeit keinen Unterschied. Er sprach von gleicher
>> Kardinalität aleph_0. Ich sage ganz einfach sie sind numerisch diskret.
>
> Das ist bei rationalen Zahlen offensichtlich falsch, wenn man „diskret“
> mit der üblichen Bedeutung versteht.
Diesen Einwand verstehe ich nicht.
>> Hätten wir die logischen Fragen schon hinreichend beleuchtet, dann wärst
>> du gezwungen zu verstehen wo Cantors Irrtum liegt.
>
> Ich habe ziemlich genaue Vorstellungen, wo einige Deiner Irrtümer liegen.
Bisher hast Du sie nicht aufgezeigt und auch nicht begründen können
wieso eine unendliche Menge entweder kleiner, größer oder gleichgroß
einer anderen sein muß worin ich Cantors Irrtum sehe.
Mit einer Division durch null kann man ja auch herrlich zaubern.
Multiplikation mit unendlich ist nicht anders.
Gruss,
Eckard
>
>
> Christopher
Eckard Blumschein
Einen Sack (Menge) in dem als einziges Element ein leerer Sack steckt.
Stünde im inneren Sack eine durchgestrichene Null, dann würde ich
vermuten dies ergibt bei Zermelo die Zwei.
Gruss,
Eckard
Eckard Blumschein
Jede natürliche Zahl beruht auf Wiederholung des mathematischen Objekt
"eins" welches die Eigenschaft hat eine Einheit zu bilden und sich
dadurch abzugrenzen. Die natürlichen Zahlen verkörpern also bereits
voneinander isolierte Objekte. Da gibt es nichts mehr voneinander zu
isolieren (nichts zu diskretisieren).
Ausnahme: Wenn man alle natürlichen Zahlen als Ganzheit greifen will,
dann greift man nach dem aktual Unendlichen. Das tut man indem man das
Symbol oo hinschreibt. Man kann sich zwar vorstellen es stecken alle
natürlichen Zahlen drin. Sie sind aber nicht einzeln greifbar, sind
nicht mehr voneinander isoliert.
Reelle Zahlen sind rationale Zahlen p/q mit aktual unendlich großen p
und q, oo/oo sozusagen.
E.
Bernd Funke
> On 9/8/2005 8:24 PM, Wolfgang Kurth wrote:
>> Eckard Blumschein wrote:
>>
>> ...
>>>> z.B. so: {{}}
[...]
> Einen Sack (Menge) in dem als einziges Element ein leerer Sack
> steckt.
> Stünde im inneren Sack eine durchgestrichene Null, dann würde ich
> vermuten dies ergibt bei Zermelo die Zwei.
Vielleicht in dieser Sprache noch ein paar Worte zu Deiner
Verwechslung der Mengen {IN} und IN:
Die Menge IN hat ihren "Sack" stets dabei, daher heißt es ja auch
IN={1, 2, 3, ...} und nicht IN=1, 2, 3, ...
Wenn man jetzt also die Menge {IN} bildet, heißt das _nicht_, dass man
alle natürlichen Zahlen in einen frischen Sack schüttet, sondern IN
als "Sack mit natürlichen Zahlen" in diesen frischen Sack steckt. Man
hat also den frischen äußeren Sack, darin noch einen und in diesem
inneren dann die natürlichen Zahlen: {IN}={{1, 2, 3, ...}}
Und |{IN}| ist definiert als die Anzahl der Dinge im _äußeren_ Sack,
nichts anderes. Nun, was _ist_ darin? Genau _ein_ weiterer Sack.
DTH
Rolf Albinger
Nein,nein,nein. Ein Sack(bag) ist keine Menge(set). Ein Sack kann
mehrere gleiche Elemente enthalten.
Mal wieder keine Ahnung, Meister Eckard?
SNCR
>Gruss,
>Eckard
Viel Spass weiterhin
Rolf
--
Als Nachfolger einer Bruchzahl mit ganzzahligem Zähler und ganzzahligem
Nenner kann ich jene Zahl ansehen die ich erhalte, indem ich zum Zähler
die Zahl eins addiere.
(E.Blumschein)
Rolf Albinger
<blums...@et.uni-magdeburg.de> wrote:
>On 9/8/2005 11:15 PM, Christopher Creutzig wrote:
>> Eckard Blumschein wrote:
>>
>>> Es gibt zwar abzählbare Teilmengen von (Q aber nicht von IR.
>>
>> Q ist eine abzählbare Teilmenge von R.
>
>Hm. Das wäre formal zu akzeptieren. Das Abzählen erfolgt allerdings
>nicht erst in IR sondern muss unbedingt schon in (Q erfolgen. Man sagt
>zwar, (Q sei eine Teilmenge von IR. Dies halte ich aber für eine
>fragwürdige Vergröberung. Das Kontinuum zeichnet sich in aus
>physikalisch-logischer Sicht eben gerade dadurch aus, dass kein Gitter
physikalisch-logisch: dümmer gehts nimmer.
>darin erkennbar ist. (Q ist sozusagen eingeschmolzen wie ein Kristell in
>eine Flüssigkeit.
>
>[Snip]
>
>>> Zwischen natürlichen und rationalen Zahlen fand auch Cantor hinsichtlich
>>> der Abzählbarkeit keinen Unterschied. Er sprach von gleicher
>>> Kardinalität aleph_0. Ich sage ganz einfach sie sind numerisch diskret.
>>
>> Das ist bei rationalen Zahlen offensichtlich falsch, wenn man „diskret“
>> mit der üblichen Bedeutung versteht.
>
>Diesen Einwand verstehe ich nicht.
Weil du mal wieder zu dämlich bist, zu begreifen, dass du Mist
schreibst. Wenn Q diskret ist, dann nenn mir doch mal den
unmittelbaren Nachfolger von 1/2, der größer als 1/2 ist.
Unmittelbar heißt: der direkte, ohne einen dazwischen.
>
>>> Hätten wir die logischen Fragen schon hinreichend beleuchtet, dann wärst
>>> du gezwungen zu verstehen wo Cantors Irrtum liegt.
>>
>> Ich habe ziemlich genaue Vorstellungen, wo einige Deiner Irrtümer liegen.
>
>Bisher hast Du sie nicht aufgezeigt und auch nicht begründen können
>wieso eine unendliche Menge entweder kleiner, größer oder gleichgroß
>einer anderen sein muß worin ich Cantors Irrtum sehe.
>Mit einer Division durch null kann man ja auch herrlich zaubern.
>Multiplikation mit unendlich ist nicht anders.
Du kennst dich mal wieder richtig gut aus!
Du weisst sicherlich, dass eine Division durch 0 in den Körperaxiomen
nicht vorkommt?
Ralf Bader
> Ich kenne zwar die Berechenbarkeitstheorie nicht, nehme aber an dass
> diese nicht außerhalb der Mathematik steht.
> Nein. Hier geht es wie oben darum, dass man leider die Mathematik auf
> Algebra und Mengenlehre aufbaut, andere wichtige Zweige der Mathematik
> damit aber teilweise unvereinbar sind. Für die Physik wünsche ich mir
> eine geschlossene Mathematik, und ich zeige wie sie aussehen könnte.
Ja, zeig' doch mal was und führe ein Stück Analysis auf Grundlage der
Blumscheinschen Zahlen ohne numerische Identität vor. Das wäre
beeindruckender als die Endloswiederholung des immergleichen saublöden
Gesabbels.
Christopher Creutzig
> Dass ich aus den üblichen Definitionen der reellen Zahlen deren
> Fiktivität nicht ersehe (außer der von Cantor mit der Präzisierung von
> oo als aktual unendlich) hatte ich schon irgendwann hier dargelegt. Um
Was ist „Fiktivität“? Schon die natürlichen Zahlen sind reine
Geisteskonstrukte, mithin fiktiv. Dass man einen winzig kleinen Teil
dieser Zahlen mit den Mitteln unseres Universums exakt hinschreiben
kann, ist kein Unterschied zu den reellen Zahlen, es gibt auch
irrationale Zahlen, die sich exakt aufschreiben lassen, auch wenn Du
diese Schreibweisen als „aufgabenhaft“ charakterisierst und damit
anscheinend implizieren möchtest, sie seien dann doch nicht aufgeschrieben.
> Danke. Sollte ich besser schreiben: "Einzelne reelle Zahlen besitzen nur
> eine fiktive Existenz. Sie sind in einer aktual unendlich dichten Menge
> vom Ensemble ihrer unendlich vielen nahen Nachbarn nicht unterscheidbar,
> nicht auffindbar, gleichwerig mitvertreten und somit ohne jede
> Bedeutung"? Ist dies besser verständlich? Ich hoffe es.
Nur halt, je nach Kontext, völlig falsch. Abgesehen davon trifft die
Argumentation auch auf rationale Zahlen zu, die liegen nämlich auch
„aktual unendlich dicht“ und haben „unendlich viele nahe Nachbarn“.
>> Im Rahmen der algebraischen Betrachtung ist das wieder absoluter
>>Humbug. Die Eindeutigkeit der 0 ist eine typische Übungsaufgabe für
>>Erstsemester.
>
>
> Da sind wir wohl am Kern meiner Überlegungen angelangt. Was für diskrete
> Zahlen unbestritten richtig ist muss nicht auch automatisch für die
> fiktiven reellen Zahlen gelten. Das Kontinuum ist das tertium.
Welchen Humbug Du mit letzterem meinst, ist mir immer noch nicht klar
geworden. Das tertium non datur als Prinzip der Logik hängt in keiner
Weise an mengentheoretischen Dingen wie Kardinalität, Abzählbarkeit oder
„Kontinuum“. „Das Kontinuum ist das tertium“ ist eine derart hohle
Sprechblase, dass man sich unwillkürlich fragt, ob der Sprecher
eigentlich weiss, was „tertium“ bedeutet, von „Kontinuum“ ganz zu schweigen.
Aber sei gewiss: Der Beweis der Eindeutigkeit der 0 in einem Ring hängt
nicht an der Größe des Rings. Ob der Ring endlich, abzählbar unendlich
oder überabzählbar unendlich ist, taucht dort nicht einmal auf. (Nein,
im Deutschen heißt der Begriff nicht „unabzählbar“, sondern
„überabzählbar“. Es ist mir dabei vollkommen egal, welcher Schindluder
mit dem Präfix „über-“ getrieben wurde. Wir haben auch „Führerscheine“
u.Ä.)
> Ich kenne zwar die Berechenbarkeitstheorie nicht, nehme aber an dass
> diese nicht außerhalb der Mathematik steht.
Das hängt vom standpunkt ab: Berechenbarkeitstheorie ist Informatik.
Manche betrachten Informatik als Teil der Mathematik.
Auf jeden Fall befasst sich die Berechenbarkeitstheorie nicht mit
mathematischer Existenz, sondern mit der theoretischen, prinzipiellen
Berechenbarkeit einzelner Werte. Das scheint das zu sein, was Du
einforderst.
> Nein. Hier geht es wie oben darum, dass man leider die Mathematik auf
> Algebra und Mengenlehre aufbaut, andere wichtige Zweige der Mathematik
> damit aber teilweise unvereinbar sind. Für die Physik wünsche ich mir
Das hast Du nur noch nicht zeigen können.
> eine geschlossene Mathematik, und ich zeige wie sie aussehen könnte.
Wo? Hier nicht. Um das zu tun, solltest Du als erstes lernen,
Mathematik zu formulieren.
>
>
>>>oo+1, oo+2, etc. In mehr als 100 Jahren gelang es niemandem einen
>>>Nutzen der Kardinalitäten zu finden oder gar die Kontinuumshypothese zu
>>
>> Das ist hier mehrfach widerlegt worden.
>
>
> Nein. Die Kontinuumshypothese gilt als unbeweis- und unwiderlegbar. Ob
Lerne bitte lesen. Ich habe mich explizit auf die erste Aussage bezogen.
> sie richtig oder falsch ist darüber kenne ich keine endgültige Aussage.
Die Aussage ist endgültig: Es gibt Modelle, in denen sie richtg ist und
es gibt Modelle, in denen sie falsch ist. Da es keinerlei
außermathematische Gründe gibt, ein Modell als „richtig“ und die anderen
als „falsch“ anzusehen, ist die CH schlichtweg unentscheidbar. Anders
gesagt: Man kann es sich aussuchen; benutzt man CH oder ~CH, sollte man
das dazuschreiben. Genau wie beim Auswahlaxiom, welches die meisten
Mathematiker als wahr verwenden.
> Den Nutzen von höheren alephs als aleph_1 hat hier niemand aufgezeigt.
Es gab genügend Links.
> Nein. Der Mechanismus zum Zerstören der Abzählbarkeit wirkt nur beim
> ersten Mal. Man kann sich nicht mehrfach erschießen. Ein Unterschied
Aber ob es Dir passt oder nicht: card(P(IR)) > card(IR). Oder ohne
Kardinalitäten ausgedrückt: Die Unendlichkeit von P(IR) ist wiederum von
einer anderen Qualität als die von IR und als die von IN. Es gibt keine
surjektive Funktion von IR nach P(IR).
Christopher
Christopher Creutzig
>>Die Menge {1,2,3} ist ebenfalls
>>eine abzählbare Teilmenge von R.
>
>
> Das sehe ich deshalb nicht weil 1,2,3 erst mit ihrer Einkleidung zu
> Mitgliedern von IR werden.
Was ist eine „Einkleidung“? Ist 1 eine reelle Zahl? In der Mathematik
ja, denn jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl. In der Mathematik
ist {1,2,3} eine Teilmenge von IR. In der Mathematik ist {1,2,3} eine
endliche Menge der Kardinalität 3 und damit sicherlich (höchstens)
abzählbar.
>>>Unbewiesen und falsch ist dagegen deine von Cantor übernommene Folgerung
>>>das das was man nicht abzählen könne zu groß dazu sein müsse. Hier liegt
>>
>> Moment – ich habe das ganz eindeutig begründet: Es gibt abzählbare
>>Teilmengen.
>
>
> S. o.
> Wenn IR wirklich eine aufschreibbare Wohlordnung besäße, dann brauchte
> man den Selbstbetrug AC nicht.
Wohlordnung und AC haben mit den momentan behandelten Fragestellungen
schlichtweg gar nichts zu tun. Das ist einfach nur eine Nebelkerze.
Also zurück: Es gibt abzählbare Teilmengen, die gesamte Menge ist aber
nicht abzählbar. Nach meinem Sprachverständnis ist es absolut
naheliegend, der Menge die Eigenschaft „mehr als abzählbar“ zuzuschreiben.
>>>Zwischen natürlichen und rationalen Zahlen fand auch Cantor hinsichtlich
>>>der Abzählbarkeit keinen Unterschied. Er sprach von gleicher
>>>Kardinalität aleph_0. Ich sage ganz einfach sie sind numerisch diskret.
>>
>> Das ist bei rationalen Zahlen offensichtlich falsch, wenn man „diskret“
>> mit der üblichen Bedeutung versteht.
>
>
> Diesen Einwand verstehe ich nicht.
Die Menge der rationalen Zahlen ist nicht diskret. Auch nicht
„numerisch diskret“, wenn Du damit das Gleiche meinst wie ich.
>> Ich habe ziemlich genaue Vorstellungen, wo einige Deiner Irrtümer liegen.
>
>
> Bisher hast Du sie nicht aufgezeigt und auch nicht begründen können
Einige schon. Bspw. den Irrtum, |{A}| habe irgendetwas mit den
Eigenschaften von A zu tun. Oder den Irrtum, die Eigenschaften von
{1,2,3} würden irgendwie daran hängen, ob wir 1, 2 und 3 als natürliche
oder als rationale oder als reelle Zahlen betrachten. Oder den Irrtum,
es gäbe in den rationalen Zahlen einen positiven kleinsten Abstand
zwischen zwei Zahlen. Oder den Irrtum, mathematische Existenz hätte
irgendetwas mit Darstellbarkeit oder Berechenbarkeit oder unserem
Universum oder irgendeinem Informationsgehalt zu tun.
> wieso eine unendliche Menge entweder kleiner, größer oder gleichgroß
> einer anderen sein muß worin ich Cantors Irrtum sehe.
Siehe oben. Außerdem habe ich bereits mehrmals darauf hingewiesen,
dass es hier kein „muss“ gibt, sondern dass man einfach eine solche
Ordnungsrelation definieren *kann*, die in sich konsistent ist und eine
direkte Fortsetzung der Ordnungsrelation im Endlichen ist. Die ist
schlicht und leicht verständlich, sie drängt sich geradezu auf, und sie
hat sich einfach durchgesetzt, ob das zu Deiner Philosophie und Deinem
Verständnis des Wortes „unendlich“ passt oder nicht. Und ja, so
funktioniert Mathematik: Man verwendet Begriffe im innerhalb der
Mathematik allgemein üblichen Sinn, um miteinander kommunizieren zu
können, und untersucht die Eigenschaften der Strukturen, die man selbst
oder andere vorgeschlagen haben. Es liegt auch jedem Mathematiker etwas
daran, die Ergebnisse der anderen kritisch zu untersuchen: Erstens will
man selbst nicht auf Fehlern aufbauen und zweitens führen entdeckte
Fehler zu Veröffentlichungen.
> Mit einer Division durch null kann man ja auch herrlich zaubern.
Man kann schlampig rechnen und dabei so etwas verstecken, ja. Eine
solche Schlampigkeit ist in dem Beweis der Überabzählbarkeit aber nicht
enthalten.
Christopher
Bernd Funke
Wie stellst Du Dir das vor? Selbst fern jeder Saucen-Mystik kann er doch
noch nicht mal sein "natürliches Spektrogramm", jene _konkrete_
mathematische Anwendung also, die die Saucen-Büchse des Pandeckard vor gut
zwei Jahren überhaupt erst geöffnet hat, mathematisch hinschreiben.
tschö
Peter Niessen
> Nein,nein,nein. Ein Sack(bag) ist keine Menge(set). Ein Sack kann
> mehrere gleiche Elemente enthalten.
Das stimmt so nicht.
Das Extensionalitätsaxiom (Gleichheit) verbietet den Fall gleicher Elemente
nicht. Prüfe es mal anhand des Axioms nach.
{a}={a,a} ist ein legaler Ausdruck!
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
|
*-O_O-* Cunning Pike cheerleader
Rolf Albinger
<peter-...@arcor.de> wrote:
>Am Fri, 09 Sep 2005 13:29:44 +0200 schrieb Rolf Albinger:
>
>> Nein,nein,nein. Ein Sack(bag) ist keine Menge(set). Ein Sack kann
>> mehrere gleiche Elemente enthalten.
>
>Das stimmt so nicht.
>Das Extensionalitätsaxiom (Gleichheit) verbietet den Fall gleicher Elemente
>nicht. Prüfe es mal anhand des Axioms nach.
>{a}={a,a} ist ein legaler Ausdruck!
Es geht hier im Informatik. Deswegen stand
ein SNCR da.
(Es gibt kein Bag in der Mathematik)
>Mit freundlichen Grüßen
>Peter Nießen
Christopher Creutzig
> Es geht hier im Informatik. Deswegen stand
> ein SNCR da.
Ich kenne SCNR, aber was ist SNCR? Gibt es NCR eigentlich noch?
> (Es gibt kein Bag in der Mathematik)
Die Mathematik kennt den Begriff der Multimenge, der doch eigentlich
genau das Gleiche bezeichnet, oder nicht?
Christopher
Rolf Albinger
<chris...@creutzig.de> wrote:
>Rolf Albinger wrote:
>
>> Es geht hier im Informatik. Deswegen stand
>> ein SNCR da.
>
> Ich kenne SCNR, aber was ist SNCR? Gibt es NCR eigentlich noch?
Das ist ein Schreibfehler.
(Ich musste so oft SNCF schreiben, so dass mir dieser Fehler oft
unterläuft)
>
>> (Es gibt kein Bag in der Mathematik)
>
> Die Mathematik kennt den Begriff der Multimenge, der doch eigentlich
>genau das Gleiche bezeichnet, oder nicht?
Ja, aber keinen "Sack", darum ging es.
>
>Christopher
Peter Niessen
>> Die Mathematik kennt den Begriff der Multimenge, der doch eigentlich
>>genau das Gleiche bezeichnet, oder nicht?
> Ja, aber keinen "Sack", darum ging es.
Der Sack, zitiert nach Oskar Becker, kommt hierher:
Aus einer Diskussion mit Dedekind und Emmi Nöther:
F. Bernstein übermittelt die folgenden Bemerkungen:
„Von besonderem Interesse dürfte folgende Episode sein: Dedekind äußerte,
hinsichtlich des Begriffes der Menge: er stelle sich eine Menge vor wie
einen geschlossenen Sack, der ganz bestimmte Dinge enthalte, die man aber
nicht sehe, und von denen man nichts wisse, außer daß sie vorhanden und
bestimmt seien. Einige Zeit später gab Cantor seine Vorstellung einer Menge
zu erkennen: Er richtete seine kolossale Figur auf, beschrieb mit erhobenem
Arm eine großartige Geste und sagte mit einem ins Unbestimmte gerichteten
Blick: Eine Menge stelle ich mir vor wie einen Abgrund".
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
_|\_
><__=_O Cunning Pike SideWays?
Eckard Blumschein
On 9/9/2005 5:09 PM, Philipp Wehrli wrote:
> Eckard Blumschein schrieb:
>> "Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem" deckt sich doch wohl
>> mit grundsätzlicher Beobachtbarkeit.
> Das stimmt nur, wenn ich wie ein Markensammler alles notiere, was ich
> sehe. Wenn ich aber nach Naturgesetzen suche, kann es durchaus anders
> sein. Ich kann mir durchaus vorstellen, dass eine Theorie einfacher
> wird, wenn ich annehme, dass es noch mehr gibt, als ich sehen kann. Z.
> B. scheinen mir die komplexen Zahlen einfacher als die reellen, weil
> sie algebraisch abgeschlossen sind. Dennoch sehen wir nur reelle
> Zahlen.
Mit der Rolle der komplexen Funktionen von Realitäts-Größen die nicht
negetiv sein können (Zeit, Radius, ...) beschäftige ich mich sehr.
Resultat: Die Nicht-Negativität ist sachlich allgemeingültig. Die
übliche Erweiterung auf fiktive auch negative Objekte führt aus dieser
Sicht zu Spezialfällen. Dementsprechend ist die reellwertige Darstellung
primär. Man abstrahiert aus der sachlich höchst komplexen Realität
heraus in eine nur scheinbar mathematisch erweiterte komplexwertige
Darstellung hinein. Tatsächlich führt die dazu nötige Willkür
zwangsläufig zu sogar doppelter Redundanz. Unter verschiedenen
Blickwinkeln sind beide mögliche Fourier-Transformationen Spezialfälle
der allgemeingültigen Cosinus-Transformation und nicht etwa umgekehrt.
Für schädlich halte ich die Mengenlehre insofern als sie IR als Körper,
IR+ dagegen nur als Halbgruppe anerkennt.
>
>> >> 1) Grundsätzliche Beobachtbarkeit
>> >> Beispiel: Die Rückseite des Monds ist beobachtbar, die Zukunft nicht.
> Heisst dies nun, dass es die Zukunft nicht gibt? Oder dass es
> unwissenschaftlich ist, Aussagen über die Zukunft zu machen?
>
>> Hm. Ist es nicht auch wichtig, dass viele Mosaiksteinchen zu einem
>> klaren Bild zusammen passen und es keine verwirrenden Alternativen gibt?
> Das meine ich mit einfach. Gesucht ist eine Gesamttheorie, die alle
> Beobachtungen beschreibt und diese Gesamttheorie soll auf möglichst
> wenigen unbegründeten Annahmen basieren.
>
>> > Ich weiss nicht, wozu wir die Kausalität brauchen. Wir sehen, dass die
>> > Kausalität in der Natur (fast?) immer erfüllt ist. Aber weshalb
>> > sollen wir sie a priori voraussetzen?
Unser Vertrauen darauf, dass generell "alles mit rechten Dingen zugeht"
ist die wohl wichtigste Grundlage menschlichen Denkens und Handelns,
und sie wurde bisher nie enttäuscht.
Ich sehe Kausalität und Determinismus als fast gegensätzlich an.
>>
>> Kausalität beschreibt die jeweils nur in der Vergangenheit reale
>> Einbettung aller Prozesse in ein absolut eindeutiges Geflecht von
>> Einflüssen.
>> Beispiel: Jedes Kind hat zugehörig zu seiner Vergangenheit und
>> unabänderlich genau einen leiblichen Vater und eine Mutter.
>> Wieviel Kinder jemand haben wird ist zwar beeinflussbar aber unsicher.
>> Kausalität sehe ich fast synonym zu Realität.
> Du willst der Natur vorschreiben, wie sie sein muss.
Nein. Ich schließe mich jenen an, die über Jahrtausende gelernt haben
auf der Suche nach Zusammenhängen immer wieder die Vermutung bestätigt
zu finden, dass es nicht "Übernatürliches" gibt und sich Irrtümer
irgendwann aufklären lassen.
Ich finde die
> Wissenschafter sollten die Natur genau anschauen und aus den
> Beobachtungen schliessen, wie die Natur ist. Vielleicht stellen wir so
> fest, dass die Natur kausal ist, vielleicht auch nicht. Ich kann mit
> beidem leben.
Was sollte denn eine nichtkausale Welt sein?
>
>> Das ist Wasser auf meine Mühlen. Cantor hat sich mit seinem
>> quantitativen Unendlichkeitsbegriff geirrt.
> Nein, Cantor hat sich nicht geirrt.
Kannst Du das beweisen?
> Die Frage ist nur, ob die
> Unendlichkeit, wie Cantor sie definiert, in der Natur eine Rolle
> spielt. Nicht alle Mathematik muss in der Natur ein Äquivalent haben.
> Deswegen ist die Mathematik aber nicht falsch.
Georg Cantor hatte zwar Vorstellungen zur Natur, welche krass von dem
abweichen was wir heute wissen. Das hat aber nichts mit seinem Versagen
als Mathematiker zu tun, wenngleich C. schrieb, dass sein Infinitum
creatum sive Transfinitum überall dort ausgesagt wird, wo in der Natura
creata ein Aktual-Unendliches (Transfinites) konstatiert werden muss.
Cantors Versagen war sein Ansinnen eine quantitative Unendlichkeit zu
definieren. Seit der Antike, in der Wortbedeutung sowie manifestiert im
Axiom von Archimedes ist der Begriff unendlich ein qualitativer. Cantor
hat dies zwar vehement und wortreich bestritten aber mit keinem einzigen
Argument widerlegt.
Man kann sagen, Cantor hatte den Unendlichkeitsbegriff nicht begriffen,
wahrscheinlich bis in den 1884 offen ausbrechenden Wahnsinn hinein nicht
begreifen wollen, denn auf seinem spektakulär fehlinterpretierten Beweis
einer behaupteten Überabzählbarkeit baute sich all sein Ruhm auf.
Verzweifelt behauptete er sogar, die Kontinuumshypothese sei ihm von
Gott selbst eingegeben worden.
Im Gegensatz zur Natur können Teile der Mathematik sehr wohl falsch
sein, und bei der Mengenlehre sehe ich grundlegende Fehler.
Eckard Blumschein
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>
>> Dass ich aus den üblichen Definitionen der reellen Zahlen deren
>> Fiktivität nicht ersehe (außer der von Cantor mit der Präzisierung von
>> oo als aktual unendlich) hatte ich schon irgendwann hier dargelegt. Um
>
> Was ist „Fiktivität“? Schon die natürlichen Zahlen sind reine
> Geisteskonstrukte, mithin fiktiv. Dass man einen winzig kleinen Teil
> dieser Zahlen mit den Mitteln unseres Universums exakt hinschreiben
> kann, ist kein Unterschied zu den reellen Zahlen, es gibt auch
> irrationale Zahlen, die sich exakt aufschreiben lassen, auch wenn Du
> diese Schreibweisen als „aufgabenhaft“ charakterisierst und damit
> anscheinend implizieren möchtest, sie seien dann doch nicht aufgeschrieben.
Wenn der Begriff fiktiv derart missverstanden wird, dann ist es
vermutlich besser wenn ich ihn vermeide.
Es geht nicht um begrenzte Möglichkeiten sondern darum, dass reelle
Zahlen ganz grundsätzlich und mit beliebig vielen Stellen nie
vollständig numerisch repräsentiert werden können.
Mückenheim folgert hemdsärmlig: Es gibt kein aktual Unendliches. Aus der
Sicht des Zählenden, Hinschreibenden, den Zahlenbegriff von daher
verstehenden hat er ja Recht. Aber, die Mathematik braucht auch das
Kontinuum, und der Schritt von den rationalen zu den reellen Zahlen ist
ein Schritt in eine andersartige Qualität.
Wer da gedankenlos sagt es gäbe irrationale Zahlen übersieht den
unüberbrückbaren Graben zwischen der Aufgabe pi und ihrer generell immer
nur rational möglichen numerischen Approximation.
>
>> Danke. Sollte ich besser schreiben: "Einzelne reelle Zahlen besitzen nur
>> eine fiktive Existenz. Sie sind in einer aktual unendlich dichten Menge
>> vom Ensemble ihrer unendlich vielen nahen Nachbarn nicht unterscheidbar,
>> nicht auffindbar, gleichwerig mitvertreten und somit ohne jede
>> Bedeutung"? Ist dies besser verständlich? Ich hoffe es.
>
> Nur halt, je nach Kontext, völlig falsch.
Was hältst Du für falsch?
> Abgesehen davon trifft die
> Argumentation auch auf rationale Zahlen zu, die liegen nämlich auch
> „aktual unendlich dicht“ und haben „unendlich viele nahe Nachbarn“.
Nein. Es ist mir fast unverständlich warum sich Mathematiker so schwer
tun, den Unterschied zwischen Quantität und Qualität zu akzeptieren.
>
>>> Im Rahmen der algebraischen Betrachtung ist das wieder absoluter
>>>Humbug. Die Eindeutigkeit der 0 ist eine typische Übungsaufgabe für
>>>Erstsemester.
>>
>>
>> Da sind wir wohl am Kern meiner Überlegungen angelangt. Was für diskrete
>> Zahlen unbestritten richtig ist muss nicht auch automatisch für die
>> fiktiven reellen Zahlen gelten. Das Kontinuum ist das tertium.
>
> Welchen Humbug Du mit letzterem meinst, ist mir immer noch nicht klar
> geworden.
Wie willst Du wissen dass etwas Humbug ist, wenn Du einräumst es nicht
zu verstehen?
> Das tertium non datur als Prinzip der Logik hängt in keiner
> Weise an mengentheoretischen Dingen wie Kardinalität, Abzählbarkeit oder
> „Kontinuum“.
Umgekehrt.
> „Das Kontinuum ist das tertium“ ist eine derart hohle
> Sprechblase, dass man sich unwillkürlich fragt, ob der Sprecher
> eigentlich weiss, was „tertium“ bedeutet, von „Kontinuum“ ganz zu schweigen.
Der "Sprecher" ist wohl noch immer Professor für Mathematik und
Informatik in Kalifornien, und ich habe es zweifellos korrekt übersetzt.
>
> Aber sei gewiss: Der Beweis der Eindeutigkeit der 0 in einem Ring hängt
> nicht an der Größe des Rings.
Ja, der Unterschied zwischen abzählbar und nicht abzählbar ist keine
Frage der Quantität.
> Ob der Ring endlich, abzählbar unendlich
> oder überabzählbar unendlich ist, taucht dort nicht einmal auf.
Kann ja auch gar nicht, weil die etablierten Mathematiker anscheinend
nicht begreifen, dass das was sie per Definition für reelle Zahlen
halten bei Licht besehen rational und damit abzählbar ist.
> (Nein,
> im Deutschen heißt der Begriff nicht „unabzählbar“, sondern
> „überabzählbar“. Es ist mir dabei vollkommen egal, welcher Schindluder
> mit dem Präfix „über-“ getrieben wurde. Wir haben auch „Führerscheine“
> u.Ä.)
Die Wortbedeutung impliziert eine falsche Vorstellung. Das Kontinuum ist
eiine andere, eine überhaupt nicht abzählbare Qualität.
Die Vorstellung von Überabzählbarkeit ist ebenso widersinnig wie die
Vorstellung mehr Mensch als andere Menschen zu sein. Ich hätte
vergleichsweise wenig dagegen den Bundeskanzler einen Führer zu nennen.
Damit wäre ja noch niemand zu bösen Assoziationen gezwungen. Ich könnte
mir jedoch nicht vorstellen den Begriff Übermensch sinnvoll auf einen
von uns beiden anzuwenden.
"Überabzählbar" nimmt eindeutig Partei für eine falsche Ideologie: für
einen widersinnigen weil quantitativen und nicht qualitativen
Unendlichkeitsbegriff.
>
>> Ich kenne zwar die Berechenbarkeitstheorie nicht, nehme aber an dass
>> diese nicht außerhalb der Mathematik steht.
>
> Das hängt vom standpunkt ab: Berechenbarkeitstheorie ist Informatik.
> Manche betrachten Informatik als Teil der Mathematik.
>
> Auf jeden Fall befasst sich die Berechenbarkeitstheorie nicht mit
> mathematischer Existenz, sondern mit der theoretischen, prinzipiellen
> Berechenbarkeit einzelner Werte. Das scheint das zu sein, was Du
> einforderst.
Wenn es um einzelne Werte geht, sehe ich die reellen Zahlen draußen.
Pi ist ja kein einzelner Wert.
>> Nein. Hier geht es wie oben darum, dass man leider die Mathematik auf
>> Algebra und Mengenlehre aufbaut, andere wichtige Zweige der Mathematik
>> damit aber teilweise unvereinbar sind. Für die Physik wünsche ich mir
>
> Das hast Du nur noch nicht zeigen können.
Irrationale Zahlen sind ein solcher Widerspruch zwischen Diskreta und
Kontinua.
Pratt erwähnte ihn als Widerspruch zwischen Mengenlehre und
Kategorientheorie.
Die Standard-Topologie kann keinen symmetrischen Schnitt ausführen.
Man tut sich schwer mit im Fall reeller Zahlen unnötiger willkürlicher
Definiererei der Null.
>> eine geschlossene Mathematik, und ich zeige wie sie aussehen könnte.
>
> Wo? Hier nicht.
Auch gestandene Mathematiker würden hier wohl gegen eine Wand aus
Scheuklappen reden ungefähr wie ein Moslem der Christen zum wharen
Glauben bekehren will oder umgekehrt.
Ich versuche es nochmal ganz kurz:
Nehmt die reellen Zahlen so wie sie Cantors Beweis entsprechen, nicht
etwa quantitativ so wie er sie sehen wollte. Dann sind sie - und zwar im
klaren Gegensatz zu den rationalen Zahlen - nicht mehr vollständig
numerisch identifizierbar. Dann erübrigt sich jegliche Frage ob die Null
ein- oder ausgeschlossen ist, dann gibt es den Gegensatz zwischen Ruhe
und beginnender Bewegung nicht mehr...
> Um das zu tun, solltest Du als erstes lernen,
> Mathematik zu formulieren.
Meine Aussage, dass zwischen zwei unendlich großen Mengen kein
quantitativer Vergleich zulässig ist lautet oo+a=oo.
>>>>oo+1, oo+2, etc. In mehr als 100 Jahren gelang es niemandem einen
>>>>Nutzen der Kardinalitäten zu finden oder gar die Kontinuumshypothese zu
>>>
>>> Das ist hier mehrfach widerlegt worden.
>>
>>
>> Nein. Die Kontinuumshypothese gilt als unbeweis- und unwiderlegbar. Ob
>
> Lerne bitte lesen. Ich habe mich explizit auf die erste Aussage bezogen.
Ganz schön frech. Bisher warst Du wohltuend sachlich. Aber ich halte Dir
zugute, dass die Frage nach dem Nutzen der Kardinalitäten aleph_2 etc.
unangenehm ist. Die Sache mit oo+1, oo+2, etc. hatte ich von Anfang an
verstanden. Das Konzept von transfiniten Kardinal- und Ordinalzahlen
hatte ich aber zugleich als unbegründet erkannt. Cantor hatte sich
geirrt, und es vermutlich nicht ausgehalten dies erkennen zu müssen.
>
>> sie richtig oder falsch ist darüber kenne ich keine endgültige Aussage.
>
> Die Aussage ist endgültig: Es gibt Modelle, in denen sie richtg ist und
> es gibt Modelle, in denen sie falsch ist.
Vermutlich sind alle diese Modelle wertlos.
> Da es keinerlei
> außermathematische Gründe gibt, ein Modell als „richtig“ und die anderen
> als „falsch“ anzusehen, ist die CH schlichtweg unentscheidbar. Anders
> gesagt: Man kann es sich aussuchen; benutzt man CH oder ~CH, sollte man
> das dazuschreiben. Genau wie beim Auswahlaxiom, welches die meisten
> Mathematiker als wahr verwenden.
Endlose Unentschiedenheit ist ein typisches Kennzeichen fragwürdiger
Theorien.
>
>> Den Nutzen von höheren alephs als aleph_1 hat hier niemand aufgezeigt.
>
> Es gab genügend Links.
Wenn ein Nutzen behauptet wurde, was selten vorkam, dann bezog er sich
stets auf eine von keinem Anwender nachvollziehbare mathematische
Selbstbeschäftigung mit irgendwelchen theoretischen Auswüchsen.
>> Nein. Der Mechanismus zum Zerstören der Abzählbarkeit wirkt nur beim
>> ersten Mal. Man kann sich nicht mehrfach erschießen. Ein Unterschied
>
> Aber ob es Dir passt oder nicht: card(P(IR)) > card(IR). Oder ohne
> Kardinalitäten ausgedrückt: Die Unendlichkeit von P(IR) ist wiederum von
> einer anderen Qualität als die von IR und als die von IN. Es gibt keine
> surjektive Funktion von IR nach P(IR).
Das erinnert mich an mehrfache Todesursachen oder mehrfach falsche
Berechnungen. Es ist jedenfalls wohl kaum eine Grundlage für irgendetwas
Vernünftiges. Falsch ist falsch, tot ist tot, lebendig ist lebendig und
abzählbar ist abzählbar.
Eckard
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>
>>>Die Menge {1,2,3} ist ebenfalls
>>>eine abzählbare Teilmenge von R.
>>
>>
>> Das sehe ich deshalb nicht weil 1,2,3 erst mit ihrer Einkleidung zu
>> Mitgliedern von IR werden.
>
> Was ist eine „Einkleidung“? Ist 1 eine reelle Zahl? In der Mathematik
> ja, denn jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl.
Das kenne ich zwar auch, aber es passt nicht zusammen mit Cantors 2.
diagonalargument sondern entspringt einer gedankenlosen Schematisierung,
keiner platonischen.
In der Mathematik
> ist {1,2,3} eine Teilmenge von IR. In der Mathematik ist {1,2,3} eine
> endliche Menge der Kardinalität 3 und damit sicherlich (höchstens)
> abzählbar.
Ist so bekannt, bedarf aber dringend einer Reinterpretation.
>
>>>>Unbewiesen und falsch ist dagegen deine von Cantor übernommene Folgerung
>>>>das das was man nicht abzählen könne zu groß dazu sein müsse. Hier liegt
>>>
>>> Moment – ich habe das ganz eindeutig begründet: Es gibt abzählbare
>>>Teilmengen.
Nur dann, wenn man so oberflächlich herangeht, wie es die Mathematik
leider noch immer tut.
>> S. o.
>> Wenn IR wirklich eine aufschreibbare Wohlordnung besäße, dann brauchte
>> man den Selbstbetrug AC nicht.
>
> Wohlordnung und AC haben mit den momentan behandelten Fragestellungen
> schlichtweg gar nichts zu tun. Das ist einfach nur eine Nebelkerze.
Die Eigenschaft des nicht aufschreibbaren Kontinuums ist entscheidend.
> Also zurück: Es gibt abzählbare Teilmengen, die gesamte Menge ist aber
> nicht abzählbar.
Nein, s. o.
> Nach meinem Sprachverständnis ist es absolut
> naheliegend, der Menge die Eigenschaft „mehr als abzählbar“ zuzuschreiben.
"Nicht abzählbar" ist eine Quakität, "mehr als abzählbar" wäre eine
Quantität, und das Unendliche hat keine andere Bedeutung als dass es
nicht abzählbar ist. Es ist sinnlos nach einer Mächtigkeit zu fragen.
>
>>>>Zwischen natürlichen und rationalen Zahlen fand auch Cantor hinsichtlich
>>>>der Abzählbarkeit keinen Unterschied. Er sprach von gleicher
>>>>Kardinalität aleph_0. Ich sage ganz einfach sie sind numerisch diskret.
>>>
>>> Das ist bei rationalen Zahlen offensichtlich falsch, wenn man „diskret“
>>> mit der üblichen Bedeutung versteht.
>>
>>
>> Diesen Einwand verstehe ich nicht.
>
> Die Menge der rationalen Zahlen ist nicht diskret.
Jede rationale Zahl ist diskret. Was definiert die Menge der rationalen
Zahlen im Gegensatz zu den reellen? Der Umstand, dass man nicht alle
braucht, also beliebig weit gefasste aber noch vorstellbare Grenzen hat.
Du scheinst diskret mit konkret zu verwechseln.
> Auch nicht „numerisch diskret“,
doch
> wenn Du damit das Gleiche meinst wie ich.
?
>
>>> Ich habe ziemlich genaue Vorstellungen, wo einige Deiner Irrtümer liegen.
>>
>>
>> Bisher hast Du sie nicht aufgezeigt und auch nicht begründen können
>
> Einige schon. Bspw. den Irrtum, |{A}| habe irgendetwas mit den
> Eigenschaften von A zu tun.
Das habe ich so nie behauptet. Es ging um eine mögliche
selbstentpackende Struktur von einem aufgabenhaft gegebenen A, nicht um
explizite Eigenschaften.
> Oder den Irrtum, die Eigenschaften von
> {1,2,3} würden irgendwie daran hängen, ob wir 1, 2 und 3 als natürliche
> oder als rationale oder als reelle Zahlen betrachten.
1, 2, 3 sind in dieser Schreibweise ja keine reellen Zahlen.
> Oder den Irrtum,
> es gäbe in den rationalen Zahlen einen positiven kleinsten Abstand
> zwischen zwei Zahlen.
Dieser Abstand ist zwar beliebig klein, existiert aber solange
rationale Zahlen und keine reellen vorliegen.
> Oder den Irrtum, mathematische Existenz hätte
> irgendetwas mit Darstellbarkeit oder Berechenbarkeit oder unserem
> Universum oder irgendeinem Informationsgehalt zu tun.
Unterschiebe mir bitte nicht Mückenheims Vorstellungen!
Eigentlich solltest Du als Mathematiker in der Lage sein mir als
Nichtmathematiker Fehler nachzuweisen. Ich stelle aber fest: Das was Du
falsch nennst bezieht sich, sofern es mir zuzuschreiben ist, auf das was
ich für zu korrigieren halte.
Meine zwei wesentlichen Argumente sehe ich dagegen überhaupt nicht
entkräftet.
>
>> wieso eine unendliche Menge entweder kleiner, größer oder gleichgroß
>> einer anderen sein muß worin ich Cantors Irrtum sehe.
>
> Siehe oben.
Wo denn?
> Außerdem habe ich bereits mehrmals darauf hingewiesen,
> dass es hier kein „muss“ gibt, sondern dass man einfach eine solche
> Ordnungsrelation definieren *kann*, die in sich konsistent ist und eine
> direkte Fortsetzung der Ordnungsrelation im Endlichen ist.
Ich halte Cantors Irrtum noch für verzeihlich. Nicht billigen kann ich
die unplatonische Definierarroganz mit der Charaktere wie Zermelo
meinten alles aber auch alles so definieren zu dürfen dass es scheinbar
ohne Widesprüche unter die ziemlich begrenzte decke der Mengenlehre
passt. Aus Scholastik und dialektischem Materialismus kennt man solche
perfiden Praktiken auch.
> Die ist
> schlicht und leicht verständlich,
Ein Fehler von Cantors logisch nicht haltbarem Transfinitem ist es sich
schlichten Gemütern mit großer Geste aufzudrängen. Ebbinghaus schrieb:
Cantors Mengenlehre ist anschaulicher Natur...
> sie drängt sich geradezu auf, und sie
> hat sich einfach durchgesetzt, ob das zu Deiner Philosophie und Deinem
> Verständnis des Wortes „unendlich“ passt oder nicht.
Am Archimedesaxiom gibt es nichts zu rütteln. Es wurde ja sogar von
Peano übernommen.
> Und ja, so
> funktioniert Mathematik: Man verwendet Begriffe im innerhalb der
> Mathematik allgemein üblichen Sinn, um miteinander kommunizieren zu
> können, und untersucht die Eigenschaften der Strukturen, die man selbst
> oder andere vorgeschlagen haben.
Gibt es eigentlich hier auch bekennende Platonisten? Ich fand bisher vor
allem unter Physikern welche, speziell Pauli, Jung, Wiener, aber auch
Goedel.
Jean Dieudonné beschrieb die "in der Regel etwas schizoide Haltung" der
Mathematiker so:
On foundations we believe in the reality of mathematics, but of course
when philosophers attack us with their paradoxes we rush to hide behind
formalism and say: Mathematics is just a combination of meaningless
symbols and we bring out Chapters 1 and 2 on set theory [in Nicolas
Bourbaki's ...]
> Es liegt auch jedem Mathematiker etwas
> daran, die Ergebnisse der anderen kritisch zu untersuchen: Erstens will
> man selbst nicht auf Fehlern aufbauen und zweitens führen entdeckte
> Fehler zu Veröffentlichungen.
Und die Flut von zunehmend nicht mehr für alle Mathematiker genießbaren
Veröffentlichungen hält man dann noch für etwas Gutes.
>
>> Mit einer Division durch null kann man ja auch herrlich zaubern.
>
> Man kann schlampig rechnen und dabei so etwas verstecken, ja. Eine
> solche Schlampigkeit ist in dem Beweis der Überabzählbarkeit aber nicht
> enthalten.
Wenn nun aber doch? Dieser Beweis ist pfiffig. Er stammt ja auch von
Paul Du Bois-Reymond. Aber die absichtlich falsche Interpretation durch
Cantor als Überabzählbarkeit ist deshalb nicht haltbar weil Cantor
voraussetzte dass man unendliche Mengen quantitativ miteinander
vergleichen darf. Warum traut sich niemand dies zu merken?
Schlampig denken ist schlimmer als schlampig rechnen.
Feigheit und Schwäche sind noch schlimmer.
Braucht denn die Mathematik Schauspieler wie Cantor, die ihren massigen
Körper mit großer Geste dazu aufrichten statt nachvollziehbare
Überlegungen zu offenbaren bedeutungsvoll ins Nichts blickend etwas ganz
Epochales zu sagen, gewissermaßen direkt von Gott?
Braucht sie obendrein noch Hintrixer wie Zermelo und Autokraten wie
Hilbert? Ich bezweifele es.
Eckard
Rolf Albinger
<blums...@et.uni-magdeburg.de> wrote:
>[Snip]
>Mit der Rolle der komplexen Funktionen von Realitäts-Größen die nicht
>negetiv sein können (Zeit, Radius, ...) beschäftige ich mich sehr.
>Resultat: Die Nicht-Negativität ist sachlich allgemeingültig. Die
>übliche Erweiterung auf fiktive auch negative Objekte führt aus dieser
>Sicht zu Spezialfällen. Dementsprechend ist die reellwertige Darstellung
>primär. Man abstrahiert aus der sachlich höchst komplexen Realität
>heraus in eine nur scheinbar mathematisch erweiterte komplexwertige
>Darstellung hinein.
So ein alberner Schmarrn.
>Tatsächlich führt die dazu nötige Willkür
>zwangsläufig zu sogar doppelter Redundanz. Unter verschiedenen
>Blickwinkeln sind beide mögliche Fourier-Transformationen Spezialfälle
>der allgemeingültigen Cosinus-Transformation und nicht etwa umgekehrt.
>
>Für schädlich halte ich die Mengenlehre insofern als sie IR als Körper,
>IR+ dagegen nur als Halbgruppe anerkennt.
Was hat das denn mit Mengenlehre zu tun?
Anscheinend weisst du mal wieder nicht, wovon du sprichst,
mein kleiner lernresistenter Freund.
>
>>
>>> >> 1) Grundsätzliche Beobachtbarkeit
>>> >> Beispiel: Die Rückseite des Monds ist beobachtbar, die Zukunft nicht.
>> Heisst dies nun, dass es die Zukunft nicht gibt? Oder dass es
>> unwissenschaftlich ist, Aussagen über die Zukunft zu machen?
>>
>>> Hm. Ist es nicht auch wichtig, dass viele Mosaiksteinchen zu einem
>>> klaren Bild zusammen passen und es keine verwirrenden Alternativen gibt?
>> Das meine ich mit einfach. Gesucht ist eine Gesamttheorie, die alle
>> Beobachtungen beschreibt und diese Gesamttheorie soll auf möglichst
>> wenigen unbegründeten Annahmen basieren.
>>
>>> > Ich weiss nicht, wozu wir die Kausalität brauchen. Wir sehen, dass die
>>> > Kausalität in der Natur (fast?) immer erfüllt ist. Aber weshalb
>>> > sollen wir sie a priori voraussetzen?
>
>Unser Vertrauen darauf, dass generell "alles mit rechten Dingen zugeht"
> ist die wohl wichtigste Grundlage menschlichen Denkens und Handelns,
>und sie wurde bisher nie enttäuscht.
>Ich sehe Kausalität und Determinismus als fast gegensätzlich an.
Er weiss nicht, wovon er spricht, unser aller Meister Eckard.
>
>[den immer wiederkehrenden Dummschwatz gesnipt]
>Im Gegensatz zur Natur können Teile der Mathematik sehr wohl falsch
>sein, und bei der Mengenlehre sehe ich grundlegende Fehler.
Du behauptest doch Platonist zu sein. Es gibt also ideelle
geometrische Figuren?
Wenn ja, dann gibt es ein Quadrat mit der Seitenlänge 1?
Wenn ja, dann gibt eine Diagonale des Quadtrats?
Wenn ja, wie lang ist die? Existiert die Länge dieser Diagonalen?
>MeisterEckard Blumschein, der grosse Erneuerer der modernen Mathematik.
Christopher Creutzig
> Für schädlich halte ich die Mengenlehre insofern als sie IR als Körper,
> IR+ dagegen nur als Halbgruppe anerkennt.
Die Mengenlehre kennt weder den Begriff „Körper“ noch den der „Halbgruppe“.
> Ich sehe Kausalität und Determinismus als fast gegensätzlich an.
Nanu? Strikte Kausalität führt doch zum Determinismus? Aber lassen
wir das.
>>>Das ist Wasser auf meine Mühlen. Cantor hat sich mit seinem
>>>quantitativen Unendlichkeitsbegriff geirrt.
>>
>>Nein, Cantor hat sich nicht geirrt.
>
>
> Kannst Du das beweisen?
Wenn Du irgendwann mal anfangen würdest, korrekte Beweise zu
akzeptieren, auch wenn sie Deinem Weltbild widersprechen, wäre viel
gewonnen.
> Cantors Versagen war sein Ansinnen eine quantitative Unendlichkeit zu
> definieren. Seit der Antike, in der Wortbedeutung sowie manifestiert im
> Axiom von Archimedes ist der Begriff unendlich ein qualitativer. Cantor
Und? Vielleicht hatten die einfach unrecht? (Das archimedische Axiom
gilt – welch Wunder – in archimedischen Körpern wie z.B. IR. In (C gilt
es offensichtlich nicht, in Ermaneglung einer Ordnungsrelation. In
IR u {-oo, oo} gilt es ebenfalls nicht. In der Menge der Ordinalzahlen
auch nicht. Na und? Das haben Axiome nun mal so an sich, dass sie
nicht überall gelten.)
> Man kann sagen, Cantor hatte den Unendlichkeitsbegriff nicht begriffen,
Man kann auch sagen, der Mond sei blau.
> Im Gegensatz zur Natur können Teile der Mathematik sehr wohl falsch
> sein, und bei der Mengenlehre sehe ich grundlegende Fehler.
Im Gegensatz zu den Naturwissenschaften sind Fehler in der Mathematik
aber eindeutig beweisbar; ausgehend von den Definitionen stellt man
einen Satz auf wie z.B. „es gibt keine Mengen, die mehr Elemente
enthalten als IN“ und beweist ihn dann mit Hilfe der grundlegenden
logischen Schritte aus den zuvor gegebenen Definitionen. Allgemeines
Geschreibsel ist ja ganz nett, hat aber in der Mathematik letztendlich
keine Aussagekraft. Also, ran an die Arbeit.
Christopher
Eckard Blumschein
Deine Frechheit beruht auf Unverstand. Da kann ich leider wohl ebenso
wenig machen wie bei drei Jugendlichen die Parolen rufend gegen eine
Wand pinkelten. Nochmals werde ich dir und beispielsweise auch Bernd
Funke nicht so bald antworten.
Die Aufforderung die Relevanz einer geschlossenen Mathematik anzudeuten
greife ich jedoch gern noch auf:
Mir geht es speziell um IR+. Was ist da mit der Null? Wo bleibt "die
Null" wenn man IR in IR+ und IR- teilt? Mathematiker haben darauf
allerlei willkürliche Antworten. Wie immer wenn es viele Antworten gibt
wurde die richtige wohl noch nicht gefunden. Die Konstruktivisten haben
sich zwar bemüht auf ähnliche Fragen begründete Antworten zu geben. Ich
meine, den einzig logisch konsequenten Ausweg weist die Erkenntnis, dass
reelle Zahlen nicht in den Rahmen der Mengenlehre passen weil sie eben
nicht diskret sind, weil sie keine vollständig bestimmte numerische
Identität haben. Das trifft sogar für die ideal neutrale Null zu.
Freilich ist diese in IR erst durch alle ihrer unendlich vielen
Nachkommastellen bestimmt. Für schlichte Gemüter hat Mückenheim Recht:
Es ist ja gar nicht möglich sich alle unendlich vielen Nachkommanullen
vorzustellen, falls man sich die Option offen hält dass irgendwann eine
Ziffer abweicht. Gibt es also keine neutrale Null in IR?
Hemdsärmelig gesprochen gibt es sie nicht. Ich sehe sie als völlig
ununterscheidbar irgendwo tief im Kontinuum versteckt. Als neutrales
Element taugen nullwertige positive und negative Nullen somit allemal.
Definitionsbereiche von Funktionen vereinfachen sich in IR dadurch, dass
es keinen Sinn macht offene von geschlossenen Intervallen zu
unterscheiden. Es ist auch nicht gerechtfertigt einzelne Werte (Punkte)
auszuschließen was ja häufig ohne Grund gemacht wird "weil es die
Mathematik so verlangt".
Will man die Stetigkeit einer Funktion einer kontinuierlichen
reellwertigen Variablen definieren, so soll epsilon null sein.
Üblicherweise operiert man ja ohne es zu wissen mit rationalen Zahlen
und mit lediglich beliebig kleinem Epsilon.
Probleme sehe ich generell nicht, lediglich Vereinfachungen.
Naive Vorstellungen von Zermelo oder Wunderkind von Neumann mögen damit
nicht gut harmonieren. Mir ist das egal, auch wenn ich wohl die ML nicht
überleben werde nachdem ich den ML aushielt bis er plötzkich zusammenbrach.
Eckard
Christopher Creutzig
> Es geht nicht um begrenzte Möglichkeiten sondern darum, dass reelle
> Zahlen ganz grundsätzlich und mit beliebig vielen Stellen nie
> vollständig numerisch repräsentiert werden können.
Die Zahl
---
\ 1
/ ----
--- n
n in IN 2
10
ist vollständig bestimmt und sicherlich irrational. Es ist auch
nachgerade trivial, jede beliebige Nachkommastelle anzugeben. Also ist
sie vollständig numerisch repräsentiert. Sie lässt sich nur nicht als
periodischer Dezimalbruch komplett aufschreiben, aber warum um alles in
der Welt sollte das ein Kriterium für ihre eindeutige Existenz sein?
Die Darstellung da oben kann ich in jeder Rechnung benutzen, wo eine
Dezimaldarstellung Platz hätte – und selbst das ist absolut irrelevant;
wichtig ist nur, dass *genau* *eine* Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen
rationaler Zahlen bezeichnet wird.
> Mückenheim folgert hemdsärmlig: Es gibt kein aktual Unendliches. Aus der
> Sicht des Zählenden, Hinschreibenden, den Zahlenbegriff von daher
> verstehenden hat er ja Recht. Aber, die Mathematik braucht auch das
Ja, wenn Mückenheim konsequent Intuitionismus oder Finitismus betreiben
würde, würde ihm das auch kaum jemand krumm nehmen.
> Wer da gedankenlos sagt es gäbe irrationale Zahlen übersieht den
Ich sage, dass es irrationale Zahlen gibt. Gedankenlos tue ich das
aber keineswegs. Im Gegenteil, wer den aufbau des Zahlensystems einmal
systematisch von den Peano-Axiomen aus durchexerziert und verstanden
hat, sieht, dass die Einführung der irrationalen Zahlen nicht wirklich
ein anderer Schritt ist als die Einführung negativer Zahlen oder die der
Brüche. Die Äquivalenzklassen sind ein wenig komplizierter aufgebaut
und es entstehen viel viel mehr neue Zahlen, aber das ändert rein gar
nichts an ihrer Existenz und klaren Unterscheidbarkeit.
> unüberbrückbaren Graben zwischen der Aufgabe pi und ihrer generell immer
> nur rational möglichen numerischen Approximation.
Was hat eine numerische Approximation mit der Existenz von pi zu tun?
Existiert die Sinusfunktion?
>>>Danke. Sollte ich besser schreiben: "Einzelne reelle Zahlen besitzen nur
>>>eine fiktive Existenz. Sie sind in einer aktual unendlich dichten Menge
>>>vom Ensemble ihrer unendlich vielen nahen Nachbarn nicht unterscheidbar,
>>>nicht auffindbar, gleichwerig mitvertreten und somit ohne jede
>>>Bedeutung"? Ist dies besser verständlich? Ich hoffe es.
>>
>> Nur halt, je nach Kontext, völlig falsch.
>
>
> Was hältst Du für falsch?
Dass es keine einzelnen reellen Zahlen geben soll. Die 0 ist von jeder
anderen reellen Zahl verschieden – das sagt schon der Begriff „andere
reelle Zahl“. Dass die algorithmische Untersuchung dieser Frage
unlösbar ist, ist dabei ohne jede Bedeutung.
>>Abgesehen davon trifft die
>>Argumentation auch auf rationale Zahlen zu, die liegen nämlich auch
>>„aktual unendlich dicht“ und haben „unendlich viele nahe Nachbarn“.
>
>
> Nein. Es ist mir fast unverständlich warum sich Mathematiker so schwer
> tun, den Unterschied zwischen Quantität und Qualität zu akzeptieren.
Den Satz verstehe ich jetzt nicht, formuliere ihn bitte etwas
konkreter. Was an meiner Aussage soll angeblich falsch sein?
>>Das tertium non datur als Prinzip der Logik hängt in keiner
>>Weise an mengentheoretischen Dingen wie Kardinalität, Abzählbarkeit oder
>>„Kontinuum“.
>
>
> Umgekehrt.
Umgekehrt ist es falsch: Die Untersuchung der Abzählbarkeit liefert als
Ergebnis „ja“ oder „nein“, hängt also am „tertium non datur“. Die
Mengenlehre baut auf der Logik auf, nicht umgekehrt.
>>„Das Kontinuum ist das tertium“ ist eine derart hohle
>>Sprechblase, dass man sich unwillkürlich fragt, ob der Sprecher
>>eigentlich weiss, was „tertium“ bedeutet, von „Kontinuum“ ganz zu schweigen.
>
>
> Der "Sprecher" ist wohl noch immer Professor für Mathematik und
> Informatik in Kalifornien, und ich habe es zweifellos korrekt übersetzt.
Quelle?
> Ja, der Unterschied zwischen abzählbar und nicht abzählbar ist keine
> Frage der Quantität.
„Abzählbar“ *ist* eine Quantitätsangabe.
> Die Wortbedeutung impliziert eine falsche Vorstellung. Das Kontinuum ist
Welche? Es *sind* *mehr* als abzählbar viele.
> "Überabzählbar" nimmt eindeutig Partei für eine falsche Ideologie: für
> einen widersinnigen weil quantitativen und nicht qualitativen
> Unendlichkeitsbegriff.
Du hast immer noch keine alternativen Definitionen für Begriffe wie „A
hat mehr Elemente als B“ oder auch nur „A ist unendlich“ angegeben.
Diese Definitionen können, um Zirkelschlüsse zu vermeiden, nicht ohne
Weiteres auf „endlich“ oder auf natürliche Zahlen zurückgreifen. Also,
wie schaut's aus?
> Pi ist ja kein einzelner Wert.
Sondern? (Hinweis: Da cos(x) < 0 für 3.1 < x < 3.2, ist die Nullstelle
der Sinusfunktion in diesem Intervall eine einfache Nullstelle, kein
verschmiertes Intervall o.ä.)
> Irrationale Zahlen sind ein solcher Widerspruch zwischen Diskreta und
> Kontinua.
Beweis?
> Die Standard-Topologie kann keinen symmetrischen Schnitt ausführen.
Korrekt. Wieso sollte das ein Fehler sein?
> Man tut sich schwer mit im Fall reeller Zahlen unnötiger willkürlicher
> Definiererei der Null.
Bei Deiner Anwendung mag das sein. Was sollte daraus folgern und vor
allem, warum?
> Ich versuche es nochmal ganz kurz:
> Nehmt die reellen Zahlen so wie sie Cantors Beweis entsprechen, nicht
> etwa quantitativ so wie er sie sehen wollte. Dann sind sie - und zwar im
Etwas konkreter, bitte. Ich bezweifle, dass wir unter diesem Satz das
Gleiche verstehen.
>>Um das zu tun, solltest Du als erstes lernen,
>>Mathematik zu formulieren.
>
>
> Meine Aussage, dass zwischen zwei unendlich großen Mengen kein
> quantitativer Vergleich zulässig ist lautet oo+a=oo.
Damit bist Du in die Falle getappt, das Symbol oo mit völlig
verschiedenen Bedeutungen gleichzeitig zu verwenden. Außerdem ist Deine
letzte aussage in dieser Form nicht haltbar, weil Du nicht gesagt hast,
welche Werte a annehmen darf – für a = -oo ist die Behauptung
offensichtlich falsch.
>
>
>
>>>>>oo+1, oo+2, etc. In mehr als 100 Jahren gelang es niemandem einen
>>>>>Nutzen der Kardinalitäten zu finden oder gar die Kontinuumshypothese zu
>>>>
>>>>Das ist hier mehrfach widerlegt worden.
>>>
>>>
>>>Nein. Die Kontinuumshypothese gilt als unbeweis- und unwiderlegbar. Ob
>>
>> Lerne bitte lesen. Ich habe mich explizit auf die erste Aussage bezogen.
>
>
> Ganz schön frech. Bisher warst Du wohltuend sachlich. Aber ich halte Dir
> zugute, dass die Frage nach dem Nutzen der Kardinalitäten aleph_2 etc.
> unangenehm ist.
Um nicht noch weiter aneinander vorbeizureden: Ich habe mich auf die
falsche und hier mehrfach widerlegte Behauptung bezogen, Kardinalzahlen
hätten keinen Nutzen gezeigt.
> Die Sache mit oo+1, oo+2, etc. hatte ich von Anfang an
> verstanden.
Ja? Was verstehst Du denn darunter? Und welche Interpretation von oo
meinst Du dabei?
> Das Konzept von transfiniten Kardinal- und Ordinalzahlen
> hatte ich aber zugleich als unbegründet erkannt. Cantor hatte sich
Ist Dir denn wenigstens der Unterschied zwischen Kardinal- und
Ordinalzahlen klar, wenn Du schon nicht einsiehst, dass sie einfach
existieren?
>> Die Aussage ist endgültig: Es gibt Modelle, in denen sie richtg ist und
>>es gibt Modelle, in denen sie falsch ist.
>
>
> Vermutlich sind alle diese Modelle wertlos.
Wieso das? (Jede Rechnung mit reellen Zahlen hantiert in einem solchen
Modell.)
> Endlose Unentschiedenheit ist ein typisches Kennzeichen fragwürdiger
> Theorien.
Die Mathematik lässt viel Entscheidungsspielraum. Wer konsequent ist,
kann auch nur im Endlichen hantieren. Oder im Unendlichen, aber ohne
AC. Oder im Unendlichen, mit AC, aber ohne CH. Das liegt ganz einfach
daran, dass die Mathematik keine Naturwissenschaft ist und es kein
Entscheidungskriterium gibt oder auch nur geben kann, welche in sich
stimmige Theorie „korrekter“ als eine andere sein sollte. So lange Du
diesen geistigen Schritt nicht gemacht hast, wirst Du die moderne
Mathematik nicht akzpetieren können.
> Wenn ein Nutzen behauptet wurde, was selten vorkam, dann bezog er sich
> stets auf eine von keinem Anwender nachvollziehbare mathematische
> Selbstbeschäftigung mit irgendwelchen theoretischen Auswüchsen.
Und? Mathematik richtet sich nicht nach Anwendungen.
Aus Sicht des Anwenders muss ich Dir allerdings sagen, dass es eine
unnötige Komplizierung wäre, wenn ich bspw. zwei Mengen nur dann
vergleichen könnte, wenn sie endlich sind. Welchen anwendungsbezogenen
Vorteil soll das bringen?
>> Aber ob es Dir passt oder nicht: card(P(IR)) > card(IR). Oder ohne
>>Kardinalitäten ausgedrückt: Die Unendlichkeit von P(IR) ist wiederum von
>>einer anderen Qualität als die von IR und als die von IN. Es gibt keine
>>surjektive Funktion von IR nach P(IR).
>
>
> Das erinnert mich an mehrfache Todesursachen oder mehrfach falsche
> Berechnungen. Es ist jedenfalls wohl kaum eine Grundlage für irgendetwas
> Vernünftiges. Falsch ist falsch, tot ist tot, lebendig ist lebendig und
> abzählbar ist abzählbar.
Der letzte Satz ist korrekt, aber das ändert nichts daran, dass es
jenseits der Abzählbarkeit noch mehr als eine Stufe von Unendlichkeiten
gibt. So lange Du akzeptierst, dass die Unendlichkeit von IR von einer
anderen Qualität ist als die von IN, wäre es inkonsequent, den
Unterschied der Unendlichkeiten von IR und P(IR) nicht zu akzeptieren.
IR lässt sich nicht durch IN durchnumerieren, P(IR) lässt sich nicht
durch IR durchnummerieren.
Christopher
Rolf Albinger
<blums...@et.uni-magdeburg.de> wrote:
>[Snip]
>In der Mathematik
>> ist {1,2,3} eine Teilmenge von IR. In der Mathematik ist {1,2,3} eine
>> endliche Menge der Kardinalität 3 und damit sicherlich (höchstens)
>> abzählbar.
>
>Ist so bekannt, bedarf aber dringend einer Reinterpretation.
Irgendwie glaube ich, du hast wirklich nicht mehr alle Riemen auf der
Orgel.
>[Snip]
>Wenn nun aber doch? Dieser Beweis ist pfiffig. Er stammt ja auch von
>Paul Du Bois-Reymond. Aber die absichtlich falsche Interpretation durch
>Cantor als Überabzählbarkeit ist deshalb nicht haltbar weil Cantor
>voraussetzte dass man unendliche Mengen quantitativ miteinander
>vergleichen darf. Warum traut sich niemand dies zu merken?
>
>Schlampig denken ist schlimmer als schlampig rechnen.
>Feigheit und Schwäche sind noch schlimmer.
Am schlimmsten ist Lernresistenz.
>Braucht denn die Mathematik Schauspieler wie Cantor, die ihren massigen
>Körper mit großer Geste dazu aufrichten statt nachvollziehbare
>Überlegungen zu offenbaren bedeutungsvoll ins Nichts blickend etwas ganz
>Epochales zu sagen, gewissermaßen direkt von Gott?
>Braucht sie obendrein noch Hintrixer wie Zermelo und Autokraten wie
>Hilbert? Ich bezweifele es.
Nein!
Wir brauchen Meister Eckard, der alles weiss und alles kann.
Eine neue Mathematik muss her. Es gibt nur noch |R+;
daraus machen wir einen Körper und rechnen mit allem nur noch positiv.
>Meister Eckard, der unplatonische Platoniker.
Eckard Blumschein
> Eckard Blumschein wrote:
>> Für schädlich halte ich die Mengenlehre insofern als sie IR als Körper,
>> IR+ dagegen nur als Halbgruppe anerkennt.
>
> Die Mengenlehre kennt weder den Begriff „Körper“ noch den der „Halbgruppe“.
Sicherlich basieren Begriffe wie Körper auf der Mengenlehre.
>
>> Ich sehe Kausalität und Determinismus als fast gegensätzlich an.
>
> Nanu? Strikte Kausalität führt doch zum Determinismus? Aber lassen
> wir das.
Nein. Determinismus ist die Irrlehre dass man alles berechnen kann.
Kausalität ist die Einbettung in die grundsätzlich nie vollständig
bekannte Realität die eben dies unmöglich macht.
>>>>Das ist Wasser auf meine Mühlen. Cantor hat sich mit seinem
>>>>quantitativen Unendlichkeitsbegriff geirrt.
>>>
>>>Nein, Cantor hat sich nicht geirrt.
>>
>>
>> Kannst Du das beweisen?
>
> Wenn Du irgendwann mal anfangen würdest, korrekte Beweise zu
> akzeptieren, auch wenn sie Deinem Weltbild widersprechen, wäre viel
> gewonnen.
Ich habe kein spezielles Weltbild. Den Beweis akzeptiere ich. Dass seine
Interpretation unhaltbar ist habe ich aufgezeigt.
>> Cantors Versagen war sein Ansinnen eine quantitative Unendlichkeit zu
>> definieren. Seit der Antike, in der Wortbedeutung sowie manifestiert im
>> Axiom von Archimedes ist der Begriff unendlich ein qualitativer. Cantor
>
> Und? Vielleicht hatten die einfach unrecht?
Cantor konnte es jedenfalls nicht aufzeigen. Er behauptete es lediglich,
und eine Mehrheit glaubte ihm wie man Demagogen glaubt.
> (Das archimedische Axiom
> gilt – welch Wunder – in archimedischen Körpern wie z.B. IR. In (C gilt
> es offensichtlich nicht, in Ermaneglung einer Ordnungsrelation. In
> IR u {-oo, oo} gilt es ebenfalls nicht.
In IR gilt es sogar in beide Richtungen. Entsprechendes trifft doch wohl
zu für (C.
> In der Menge der Ordinalzahlen
> auch nicht.
Transfinite Ordinalzahlen sind ja auch sinnlose Hirngespinste.
> Na und? Das haben Axiome nun mal so an sich, dass sie
> nicht überall gelten.)
Das höre ich gern. Wie wäre es mit dem Eingeständnis dass etliche Axiome
mit IR als das Kontinuum nicht verträglich sind?
>
>> Man kann sagen, Cantor hatte den Unendlichkeitsbegriff nicht begriffen,
>
> Man kann auch sagen, der Mond sei blau.
Wenn man Belege dafür hätte, warum nicht?
Was Cantor dachte hat er ja aufgeschrieben. Daraus geht für mich hervor
dass er den qualitativen Unendlichkeitsbegriff nicht begreifen wollte.
>> Im Gegensatz zur Natur können Teile der Mathematik sehr wohl falsch
>> sein, und bei der Mengenlehre sehe ich grundlegende Fehler.
>
> Im Gegensatz zu den Naturwissenschaften sind Fehler in der Mathematik
> aber eindeutig beweisbar;
Das hatte ich gehofft. Leider sind nur oberflächliche Fehler beweisbar.
> ausgehend von den Definitionen
Eben eben.
> stellt man
> einen Satz auf wie z.B. „es gibt keine Mengen, die mehr Elemente
> enthalten als IN“
> und beweist ihn dann mit Hilfe der grundlegenden
> logischen Schritte aus den zuvor gegebenen Definitionen.
Cantor hat aber nicht mit dem Archimedesaxiom angefangen sondern mit
seiner unbewiesenen und haltlosen Vermutung dass sich unendliche Mengen
quantifizieren und somit quantitativ vergleichen lassen.
Eigentlich muss man schon ganz schön dumm sein um darauf hereinzufallen,
dass von zwei unendlichen Mengen angeblich eine entweder kleiner,
gleichgroß oder aber großer sein muss als die andere.
> Allgemeines
> Geschreibsel ist ja ganz nett, hat aber in der Mathematik letztendlich
> keine Aussagekraft. Also, ran an die Arbeit.
Soll ich zeigen, dass das Archimedesaxiom keine Quantität sondern eine
Qualität bestimmt?
Ganz einfach. Das hat mir schon Aristoteles abgenommen.
Quantifiziert omega das Unendliche als eine Zahl, dann gibt es nach dem
Archimedesaxiom eine größere Zahl omega+1. Folglich kann omega kein
eindeutiges Maß des Unendlichen sein, da die Zahl omega+1 ja größer als
omega ist. Es gibt also keine unendliche Zahl.
Drückt dagegen das Archimedesaxiom die Qualität "unendlich" aus, so gilt
diese Qualität für beliebige Zahlen x und x+a. Die Qualität kann nicht
vermehrt werden.
Irreführende oder gar willkürliche Definitionen habe ich nicht nötig.
Eckard
Ralf Bader
[schnipp]
> ist eine Quakität.
Christopher Creutzig
>> Was ist eine „Einkleidung“? Ist 1 eine reelle Zahl? In der Mathematik
>>ja, denn jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl.
>
>
> Das kenne ich zwar auch, aber es passt nicht zusammen mit Cantors 2.
> diagonalargument sondern entspringt einer gedankenlosen Schematisierung,
> keiner platonischen.
Bitte genauer. Das Diagonalargument, angewendet auf die Menge der
reellen Zahlen, geht von den wie üblich definierten reellen Zahlen aus.
Darin ist 1 selbstredend eine eindeutig bestimmte reelle Zahl. Es
nutzt *anschließend* und ohne an der Definition und Existenz der reellen
Zahlen irgendetwas zu ändern, dass jede reelle Zahl eine eindeutige
Dezimaldarstellung hat – ob wir im Einzalfall dazu in der Lage sind, sie
hinzuschreiben, ist irrelevant.
Deine Vorwürfe der Gedankenlosigkeit gehen übrigens ins Leere. Wenn Du
mathematische Existenz als Platonismus auffassen möchtest, kannst Du das
gerne tun – es gibt allerdings den großen Unterschied, dass sich
Platonismus i.A. mit der Existenz realer Gegenstände befasst, was die
Mathematik nicht tut.
> In der Mathematik
>
>>ist {1,2,3} eine Teilmenge von IR. In der Mathematik ist {1,2,3} eine
>>endliche Menge der Kardinalität 3 und damit sicherlich (höchstens)
>>abzählbar.
>
>
> Ist so bekannt, bedarf aber dringend einer Reinterpretation.
Warum? Gut, es macht gerade Dein Argument kaputt, aber ist das ein
hinreichender Grund?
>>>>Moment – ich habe das ganz eindeutig begründet: Es gibt abzählbare
>>>>Teilmengen.
>
>
> Nur dann, wenn man so oberflächlich herangeht, wie es die Mathematik
> leider noch immer tut.
Oberflächlich? Das ist ein Vorwurf, den gerade Mathematiker sehr
selten zu hören bekommen, und das aus gutem Grund.
>> Also zurück: Es gibt abzählbare Teilmengen, die gesamte Menge ist aber
>>nicht abzählbar.
>
>
> Nein, s. o.
Ein „Ich sehe das anders, s.o., habe es aber noch nicht begründet“
hätte ich verstanden. Ich bleibe bei meiner Aussage.
> "Nicht abzählbar" ist eine Quakität, "mehr als abzählbar" wäre eine
> Quantität, und das Unendliche hat keine andere Bedeutung als dass es
> nicht abzählbar ist. Es ist sinnlos nach einer Mächtigkeit zu fragen.
Das behauptest Du hier seit Ewigkeiten.
>> Die Menge der rationalen Zahlen ist nicht diskret.
>
>
> Jede rationale Zahl ist diskret. Was definiert die Menge der rationalen
Was bedeutet es für eine einzelne Zahl, diskret zu sein? Ich kenne den
Begriff nur für topologische Räume.
> Zahlen im Gegensatz zu den reellen? Der Umstand, dass man nicht alle
> braucht, also beliebig weit gefasste aber noch vorstellbare Grenzen hat.
Kannst Du den Satz noch einmal auf deutsch schreiben?
> Du scheinst diskret mit konkret zu verwechseln.
Keineswegs.
>> Einige schon. Bspw. den Irrtum, |{A}| habe irgendetwas mit den
>>Eigenschaften von A zu tun.
>
>
> Das habe ich so nie behauptet. Es ging um eine mögliche
> selbstentpackende Struktur von einem aufgabenhaft gegebenen A, nicht um
> explizite Eigenschaften.
Was soll denn eine „selbstenpackende Struktur“ sein? |{A}| = 1,
vollkommen egal, was A ist. Selbst dann, wenn A gar nicht existieren
kann. Wenn Du das anders siehst, benutzt Du mathematische Zeichen
grundlegend anders als die Mathematiker. Dann darfst Du Dich nicht
wundern, dass Du zu anderen Ergebnissen kommst.
>>Oder den Irrtum, die Eigenschaften von
>>{1,2,3} würden irgendwie daran hängen, ob wir 1, 2 und 3 als natürliche
>>oder als rationale oder als reelle Zahlen betrachten.
>
>
> 1, 2, 3 sind in dieser Schreibweise ja keine reellen Zahlen.
Natürlich sind sie das.
>>Oder den Irrtum,
>>es gäbe in den rationalen Zahlen einen positiven kleinsten Abstand
>>zwischen zwei Zahlen.
>
>
> Dieser Abstand ist zwar beliebig klein, existiert aber solange
> rationale Zahlen und keine reellen vorliegen.
Falsch. Es müsste eine einzelne, konkrete Zahl sein (so die Forderung
in meinem Satz da oben), und eine solche kann nicht „beliebig klein“
sein, das ist eine Formulierung, die nur bei parametrisierten Größen
sinnvoll ist.
>>Oder den Irrtum, mathematische Existenz hätte
>>irgendetwas mit Darstellbarkeit oder Berechenbarkeit oder unserem
>>Universum oder irgendeinem Informationsgehalt zu tun.
>
>
> Unterschiebe mir bitte nicht Mückenheims Vorstellungen!
Am 17. März hast Du geschrieben:
„Aus ihr heraus sind einzelne Zahlen
aber offenbar auch dann nur in Sonderfällen identifizierbar, wenn es an
ihrer Existenz keinen Zweifel gibt.
Die Identifikation gelingt stets für Zahlen die durch eine nur endlich
lange Ziffernkette bzw. unendlich viele Nachnullen beschriebenen sind.
... deren andersartige
Qualität als lediglich fiktive Größen zu akzeptieren, die ein Haupt-
Merkmal der Zahlen verloren haben, ihre Identifizierbarkeit.“
Am 12. Dezember:
„Weiter: Was ist daran zu beanstanden wenn Mückenheim behauptet, es sei
unsinnig und falsch, die aktuale Existenz aller rationalen Zahlen zu
postulieren?“
Ich hatte auch die in diese Thread gefundene Behauptung, reelle Zahlen
hätten „nur eine fiktive Existenz“ so aufgefasst.
> Eigentlich solltest Du als Mathematiker in der Lage sein mir als
> Nichtmathematiker Fehler nachzuweisen. Ich stelle aber fest: Das was Du
> falsch nennst bezieht sich, sofern es mir zuzuschreiben ist, auf das was
> ich für zu korrigieren halte.
Ich habe Dir mehrfach gezeigt, dass Du fehlerhaft argumentierst. Ich
habe aber noch keine Begründung gesehen, warum irgendetwas geändert
werden sollte – von „korrigieren“ könnte nur dann die Rede sein, wenn es
*innermathematische* Probleme gäbe, und nach der Erfahrung mit Deiner
Argumentation spreche ich Dir das nötige Vorwissen ab, um solche
überhaupt zu erkennen, wenn sie denn existieren sollten.
> Meine zwei wesentlichen Argumente sehe ich dagegen überhaupt nicht
> entkräftet.
Welche waren das? Die unbegründete Behauptung, unendliche Mengen könne
man nicht vergleichen, weil der Begriff „unendlich“ früher so benutzt
wurde, gehört vermutlich dazu.
>>>wieso eine unendliche Menge entweder kleiner, größer oder gleichgroß
>>>einer anderen sein muß worin ich Cantors Irrtum sehe.
>>
>> Siehe oben.
>
>
> Wo denn?
Sowohl weiter oben im Thread als auch unter
„ Also zurück: Es gibt abzählbare Teilmengen, die gesamte Menge ist aber
nicht abzählbar. Nach meinem Sprachverständnis ist es absolut
naheliegend, der Menge die Eigenschaft „mehr als abzählbar“ zuzuschreiben.“
> Ich halte Cantors Irrtum noch für verzeihlich. Nicht billigen kann ich
> die unplatonische Definierarroganz mit der Charaktere wie Zermelo
> meinten alles aber auch alles so definieren zu dürfen dass es scheinbar
> ohne Widesprüche unter die ziemlich begrenzte decke der Mengenlehre
> passt. Aus Scholastik und dialektischem Materialismus kennt man solche
> perfiden Praktiken auch.
Die (moderne) Mathematik befasst sich im Gegensatz zum Platonismus
nicht mit außermathematischen Wahrheiten. Wenn Dir das arrogant
erscheint, bitte. Diese Arroganz, kombiniert mit dem Sieb des „es setzt
sich durch, was tatsächlich nützlich ist“ hat aber einen enormen
Siegeszug ermöglicht. Ja, Mathematiker sind arrogant. Das ist eine
Berufskrankheit bei Leuten, denen vollkommen egal sein kann, welche
Titel ein Zweifler hat, weil sie jederzeit auf der Sachebene
zweifelsfrei beweisen können, dass sie recht haben. Zumindest gegenüber
Leuten, die die Aussagen und Beweise durch ihre Vorbildung verstehen können.
>>Die ist
>>schlicht und leicht verständlich,
>
>
> Ein Fehler von Cantors logisch nicht haltbarem Transfinitem ist es sich
> schlichten Gemütern mit großer Geste aufzudrängen. Ebbinghaus schrieb:
> Cantors Mengenlehre ist anschaulicher Natur...
Cantors Mengenlehre ist widersprüchlich und hat sich daher nicht
durchgesetzt. Natürlich hat auch Cantor Fehler gemacht. Aber wie einem
Mathematiker die Autorität eines Zweiflers egal sein sollte, ist es
letztendlich auch egal, wer eine Behauptung zuerst aufgestellt hat. Die
Überabzählbarkeit der reellen Zahlen ist in ZF bewiesen. Nota bene: Das
Auswahlaxiom ist dafür nicht nötig. Wie das in anderen nicht als
widersprüchlich bekannten Mengenlehren aussieht, weiß ich bislang nicht.
> Am Archimedesaxiom gibt es nichts zu rütteln. Es wurde ja sogar von
> Peano übernommen.
Am Archimedesaxiom gibt es nichts zu rütteln, das ist richtig. Es ist
aber keineswegs so, als würde ein Axiom eine Art mathematisches
Naturgesetz beschreiben. Das Archimedesaxiom besagt lediglich, dass in
einer archimedisch gordneten Menge jedes Element durch eine natürliche
Zahl übertroffen wird. Wie die meisten Axiome ist auch das
Archimedesaxiom letzten Endes nur die Beschreibung einer Eigenschaft,
die ein mathematisches Objekt (georndete Menge) haben kann oder auch
nicht. Die Körperaxiome werden von den natürlichen Zahlen doch auch nur
teilweise erfüllt, aber es gibt trotzdem nichts an ihnen zu rütteln.
> Jean Dieudonné beschrieb die "in der Regel etwas schizoide Haltung" der
> Mathematiker so:
> On foundations we believe in the reality of mathematics, but of course
Da könnte man jetzt eine längere Abhandlung über den Begriff “reality”
in diesem Kontext schreiben. Anfassen kann man mathematische Objekte
sicherlich nicht.
> when philosophers attack us with their paradoxes we rush to hide behind
> formalism and say: Mathematics is just a combination of meaningless
Der Umgang mit Paradoxien scheint sich seit Dieudonnés Zeiten etwas
geändert zu haben.
>>Es liegt auch jedem Mathematiker etwas
>>daran, die Ergebnisse der anderen kritisch zu untersuchen: Erstens will
>>man selbst nicht auf Fehlern aufbauen und zweitens führen entdeckte
>>Fehler zu Veröffentlichungen.
>
>
> Und die Flut von zunehmend nicht mehr für alle Mathematiker genießbaren
> Veröffentlichungen hält man dann noch für etwas Gutes.
Auch Mathematiker müssen von etwas leben, und ein paar von uns
unterliegen dem akademischen System, was auch immer man davon halten
mag. Die kritische Untersuchung fremder Ergebnisse ist aber sicherlich
eine positive Auswirkung dieses Systems.
> Wenn nun aber doch? Dieser Beweis ist pfiffig. Er stammt ja auch von
> Paul Du Bois-Reymond. Aber die absichtlich falsche Interpretation durch
> Cantor als Überabzählbarkeit ist deshalb nicht haltbar weil Cantor
> voraussetzte dass man unendliche Mengen quantitativ miteinander
> vergleichen darf. Warum traut sich niemand dies zu merken?
Hallo? Merkst Du eigentlich, dass ich diesem Einwand schon vor Monaten
geantwortet habe? Meine Antworten hast Du bislang in keiner Weise
kommentiert.
Christopher
Eckard Blumschein
On 9/12/2005 7:45 PM, Christopher Creutzig wrote:
> Eckard Blumschein wrote:
>> Es geht nicht um begrenzte Möglichkeiten sondern darum, dass reelle
>> Zahlen ganz grundsätzlich und mit beliebig vielen Stellen nie
>> vollständig numerisch repräsentiert werden können.
>
> Die Zahl
>
> ---
> \ 1
> / ----
> --- n
> n in IN 2
> 10
>
> ist vollständig bestimmt und sicherlich irrational. Es ist auch
> nachgerade trivial, jede beliebige Nachkommastelle anzugeben.
Eben nicht. Mache es doch nicht so kompliziert. Die 0,0000.... (aktual
unendlich viele Stellen) ist ja auch erst mit allen Nullen komplett,
also nie. Die etwas gekünstelte Schreibweise n in IN entspricht der
Aufforderung alle n zu erwischen. Auch das ist jedoch nur eine Aufgabe.
< Also ist
> sie vollständig numerisch repräsentiert. Sie lässt sich nur nicht als
> periodischer Dezimalbruch komplett aufschreiben, aber warum um alles in
> der Welt sollte das ein Kriterium für ihre eindeutige Existenz sein?
Weil es um Kontinuumszahlen geht die in _einem_ Zahlensystem fortlaufend
sämtlich repräsentiert sein sollen.
> Die Darstellung da oben kann ich in jeder Rechnung benutzen, wo eine
> Dezimaldarstellung Platz hätte – und selbst das ist absolut irrelevant;
> wichtig ist nur, dass *genau* *eine* Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen
> rationaler Zahlen bezeichnet wird.
Ich habe noch nicht so genau hingesehen. Nichtlineare Zahlensysteme
wären sicherlich auch denkbar. Der Unterschied zwischen diskret und
kontinuierlich mag dort verschwimmen.
> Ich sage, dass es irrationale Zahlen gibt. Gedankenlos tue ich das
> aber keineswegs. Im Gegenteil, wer den aufbau des Zahlensystems einmal
> systematisch von den Peano-Axiomen aus durchexerziert und verstanden
> hat, sieht, dass die Einführung der irrationalen Zahlen nicht wirklich
> ein anderer Schritt ist als die Einführung negativer Zahlen oder die der
> Brüche.
Das bezweifle ich.
> Die Äquivalenzklassen sind ein wenig komplizierter aufgebaut
> und es entstehen viel viel mehr neue Zahlen,
Welcher Trottel hat die alte falsche Vorstellung von viel viel mehr
Zahlen in die Welt gesetzt? Reelle Zahlen sind NICHT abzählbar. Damit
erübrigt sich die Frage nach der Quantität. Bisher konnte ohnehin
niemand eine Antwort darauf geben. Mückenheim spricht bei den
Kardinalzahlen von einem gewaltigen Anstieg. OK. Aber wenn man die
quantitative Vorstellung extrapoliert ignoriert man den fundamentalen
unterschied zwischen Quantität und Qualität. Man mag als
Vorstellungshilfe von immer mehr Zahle ausgehen. An der Notwendigkeit
den quantitativen Sprung zu akzeptieren kommt man nicht vorbei.
> aber das ändert rein gar
> nichts an ihrer Existenz und klaren Unterscheidbarkeit.
Aussagen zur Existenz hatte ich deshalb stets vermieden, weil ich durch
Aufgaben wie pi die Existenz gesichert sehe. Eine Unerscheidbarkeit ist
jedoch in IR nicht gegeben, da man nicht alle Stellen wirklich kennen kann.
>> Was hältst Du für falsch?
>
> Dass es keine einzelnen reellen Zahlen geben soll. Die 0 ist von jeder
> anderen reellen Zahl verschieden – das sagt schon der Begriff „andere
> reelle Zahl“.
Wir sind es gewöhnt, Zahlen wie die Null zu verabsolutieren. Der Begriff
"andere reelle Zahl" ist dieser Denkweise geschuldet und nicht
unproblematisch.
> Dass die algorithmische Untersuchung dieser Frage
> unlösbar ist, ist dabei ohne jede Bedeutung.
Es ist für die Eigenschaften der reellen Zahlen ausschlaggebend.
>>>Abgesehen davon trifft die
>>>Argumentation auch auf rationale Zahlen zu, die liegen nämlich auch
>>>„aktual unendlich dicht“ und haben „unendlich viele nahe Nachbarn“.
>>
>>
>> Nein. Es ist mir fast unverständlich warum sich Mathematiker so schwer
>> tun, den Unterschied zwischen Quantität und Qualität zu akzeptieren.
>
> Den Satz verstehe ich jetzt nicht, formuliere ihn bitte etwas
> konkreter. Was an meiner Aussage soll angeblich falsch sein?
Ich hatte nur teilweise wasserdicht formuliert. Mit aktual meinte ich:
Alle werden gebraucht (Qualität: kontinuierlich). Mit beliebig vielen
bin ich noch immer bei rationalen Zahlen (Quantität: angebbar).
>
>>>Das tertium non datur als Prinzip der Logik hängt in keiner
>>>Weise an mengentheoretischen Dingen wie Kardinalität, Abzählbarkeit oder
>>>„Kontinuum“.
>>
>>
>> Umgekehrt.
>
> Umgekehrt ist es falsch: Die Untersuchung der Abzählbarkeit liefert als
> Ergebnis „ja“ oder „nein“, hängt also am „tertium non datur“. Die
> Mengenlehre baut auf der Logik auf, nicht umgekehrt.
Ich meinte: Die Abzählbarkeit hängt am Grundsatz tertium non datur. Sie
ist erst weg, wenn es nicht mehr gilt, also im Kontinuum, was ja auch
wirklich nicht abzählbar ist.
>
>>>„Das Kontinuum ist das tertium“ ist eine derart hohle
>>>Sprechblase, dass man sich unwillkürlich fragt, ob der Sprecher
>>>eigentlich weiss, was „tertium“ bedeutet, von „Kontinuum“ ganz zu schweigen.
>>
>>
>> Der "Sprecher" ist wohl noch immer Professor für Mathematik und
>> Informatik in Kalifornien, und ich habe es zweifellos korrekt übersetzt.
>
> Quelle?
Habe ich nicht zur Hand. Google nach Vaughan R. Pratt (Stanford) 1997
>
>> Ja, der Unterschied zwischen abzählbar und nicht abzählbar ist keine
>> Frage der Quantität.
>
> „Abzählbar“ *ist* eine Quantitätsangabe.
Das klingt fast trotzig. Jede Quantifizierung die ich kenne beruht auf
Quanten, und mit den Alephs kann man ja kaum bis drei wirklich zählen.
Abzählbar = 0
nicht abzählbar = 1
gar nicht abzählbar = 2
überhaupt gar nicht abzählbar = 3...
Abzählbar oder nicht abzählbar ist dagegen eine Alternative.
>> "Überabzählbar" nimmt eindeutig Partei für eine falsche Ideologie: für
>> einen widersinnigen weil quantitativen und nicht qualitativen
>> Unendlichkeitsbegriff.
>
> Du hast immer noch keine alternativen Definitionen für Begriffe wie „A
> hat mehr Elemente als B“
Mindestens B ist eine abzählbare Menge.
oder auch nur „A ist unendlich“ angegeben.
A ist definitiv keine Zahl. A kann eine Eigenschaft bedeuten, die durch
das Archimedesaxiom beschrieben wird.
>
>> Pi ist ja kein einzelner Wert.
>
> Sondern?
Eine Aufgabe.
>> Irrationale Zahlen sind ein solcher Widerspruch zwischen Diskreta und
>> Kontinua.
>
> Beweis?
mir fällt nur ein dass irrationale Zahlen zwar als Aufgabe existent sind
während sie zugleich numerisch nicht greifbar existieren. Hier treffen
sich die reellen Zahlen als Grenzwerte der rationalen mit dem Kontinuum.
>
>> Die Standard-Topologie kann keinen symmetrischen Schnitt ausführen.
>
> Korrekt. Wieso sollte das ein Fehler sein?
Schnitte (nicht die von Dedekind) sind geometrische Operationen und
physikalisch relevant.
>
>> Man tut sich schwer mit im Fall reeller Zahlen unnötiger willkürlicher
>> Definiererei der Null.
>
> Bei Deiner Anwendung mag das sein. Was sollte daraus folgern und vor
> allem, warum?
Mein generelles Prizip: Willkür vermeiden.
>> Ich versuche es nochmal ganz kurz:
>> Nehmt die reellen Zahlen so wie sie Cantors Beweis entsprechen, nicht
>> etwa quantitativ so wie er sie sehen wollte. Dann sind sie - und zwar im
>
> Etwas konkreter, bitte. Ich bezweifle, dass wir unter diesem Satz das
> Gleiche verstehen.
Vielleicht morgen.
>>>Um das zu tun, solltest Du als erstes lernen,
>>>Mathematik zu formulieren.
>>
>>
>> Meine Aussage, dass zwischen zwei unendlich großen Mengen kein
>> quantitativer Vergleich zulässig ist lautet oo+a=oo.
>
> Damit bist Du in die Falle getappt, das Symbol oo mit völlig
> verschiedenen Bedeutungen gleichzeitig zu verwenden.
Durchaus nicht. Es bezeichnet eine unveränderbare Eigenschaft.
> Außerdem ist Deine
> letzte aussage in dieser Form nicht haltbar, weil Du nicht gesagt hast,
> welche Werte a annehmen darf – für a = -oo ist die Behauptung
> offensichtlich falsch.
Doch, a soll any number heißen, oo ist keine Zahl.
> Ist Dir denn wenigstens der Unterschied zwischen Kardinal- und
> Ordinalzahlen klar, wenn Du schon nicht einsiehst, dass sie einfach
> existieren?
Freilich.
>>> Die Aussage ist endgültig: Es gibt Modelle, in denen sie richtg ist und
>>>es gibt Modelle, in denen sie falsch ist.
>>
>>
>> Vermutlich sind alle diese Modelle wertlos.
>
> Wieso das? (Jede Rechnung mit reellen Zahlen hantiert in einem solchen
> Modell.)
>
>> Endlose Unentschiedenheit ist ein typisches Kennzeichen fragwürdiger
>> Theorien.
>
> Die Mathematik lässt viel Entscheidungsspielraum.
Ich sage immer ein kluger König hat alle Macht aber keine Wahl.
Angeblicher Entscheidungsspielraum zwingt zu dümmlicher Willkür.
> Wer konsequent ist,
> kann auch nur im Endlichen hantieren. Oder im Unendlichen, aber ohne
> AC. Oder im Unendlichen, mit AC, aber ohne CH. Das liegt ganz einfach
> daran, dass die Mathematik keine Naturwissenschaft ist und es kein
> Entscheidungskriterium gibt oder auch nur geben kann, welche in sich
> stimmige Theorie „korrekter“ als eine andere sein sollte. So lange Du
> diesen geistigen Schritt nicht gemacht hast, wirst Du die moderne
> Mathematik nicht akzpetieren können.
Schon Cantor ruderte nach anfänglich überschwenglicher Dedekindlichkeit
ein wenig zurück.
>
>> Wenn ein Nutzen behauptet wurde, was selten vorkam, dann bezog er sich
>> stets auf eine von keinem Anwender nachvollziehbare mathematische
>> Selbstbeschäftigung mit irgendwelchen theoretischen Auswüchsen.
>
> Und? Mathematik richtet sich nicht nach Anwendungen.
Das Geld kommt aber von den Anwendern.
> Aus Sicht des Anwenders muss ich Dir allerdings sagen, dass es eine
> unnötige Komplizierung wäre, wenn ich bspw. zwei Mengen nur dann
> vergleichen könnte, wenn sie endlich sind.
Das ist graue Theorie.
Unendliche Zahlen gibt es ja nicht.
Numerische Vergleiche sind nur für endliche Stellenzahlen möglich.
>> Das erinnert mich an mehrfache Todesursachen oder mehrfach falsche
>> Berechnungen. Es ist jedenfalls wohl kaum eine Grundlage für irgendetwas
>> Vernünftiges. Falsch ist falsch, tot ist tot, lebendig ist lebendig und
>> abzählbar ist abzählbar.
>
> Der letzte Satz ist korrekt, aber das ändert nichts daran, dass es
> jenseits der Abzählbarkeit noch mehr als eine Stufe von Unendlichkeiten
> gibt. So lange Du akzeptierst, dass die Unendlichkeit von IR von einer
> anderen Qualität ist als die von IN, wäre es inkonsequent, den
> Unterschied der Unendlichkeiten von IR und P(IR) nicht zu akzeptieren.
Das sehe ich nicht.
> durch IR durchnummerieren.
IR hat keine Nummernordnung.
Eckard
Rolf Albinger
>>
>>> Pi ist ja kein einzelner Wert.
>>
>> Sondern?
>
>Eine Aufgabe.
ist 5/7788995566774 keine Aufgabe?
Was ist der Unterschied zwischen "ziehe die Wurzel aus(2)"
und "teile 55443322 durch 77886655"?
>
>[Snip]
>>
>>> Die Standard-Topologie kann keinen symmetrischen Schnitt ausführen.
>>
>> Korrekt. Wieso sollte das ein Fehler sein?
>
>Schnitte (nicht die von Dedekind) sind geometrische Operationen und
>physikalisch relevant.
Was meinst du hiermit? Schnitte in Bündeln? Oder was sonst?
>[Snip]
>> Ist Dir denn wenigstens der Unterschied zwischen Kardinal- und
>> Ordinalzahlen klar, wenn Du schon nicht einsiehst, dass sie einfach
>> existieren?
>
>Freilich.
Das wird stark bezwifelt.
>[Snip]
>> Der letzte Satz ist korrekt, aber das ändert nichts daran, dass es
>> jenseits der Abzählbarkeit noch mehr als eine Stufe von Unendlichkeiten
>> gibt. So lange Du akzeptierst, dass die Unendlichkeit von IR von einer
>> anderen Qualität ist als die von IN, wäre es inkonsequent, den
>> Unterschied der Unendlichkeiten von IR und P(IR) nicht zu akzeptieren.
>
>Das sehe ich nicht.
Warum nicht? Ich denke, du hast so grossspurig behauptet,
du akzeptiertest genaue Beweise? Gibt es eine Bijektion von IR
nach P(IR)?
>
>Meister Eckard, der Bijektionist.
Peter Niessen
> On 9/12/2005 7:45 PM, Christopher Creutzig wrote:
>> Eckard Blumschein wrote:
>>> Es geht nicht um begrenzte Möglichkeiten sondern darum, dass reelle
>>> Zahlen ganz grundsätzlich und mit beliebig vielen Stellen nie
>>> vollständig numerisch repräsentiert werden können.
>>
>> Die Zahl
>>
>> --- \ 1 / ---- --- n n in IN 2 10
>>
>> ist vollständig bestimmt und sicherlich irrational. Es ist auch
>> nachgerade trivial, jede beliebige Nachkommastelle anzugeben.
>
> Eben nicht. Mache es doch nicht so kompliziert. Die 0,0000.... (aktual
> unendlich viele Stellen) ist ja auch erst mit allen Nullen komplett,
> also nie.
Viel Schlimmer: Sie hat so viele Stellen wie die grösste Ordinalzahl!
> Die etwas gekünstelte Schreibweise n in IN entspricht der Aufforderung
> alle n zu erwischen. Auch das ist jedoch nur eine Aufgabe.
Und? Hast du die Aufgabe gelöst?
> < Also ist
>> sie vollständig numerisch repräsentiert. Sie lässt sich nur nicht als
>> periodischer Dezimalbruch komplett aufschreiben, aber warum um alles in
>> der Welt sollte das ein Kriterium für ihre eindeutige Existenz sein?
>
> Weil es um Kontinuumszahlen geht die in _einem_ Zahlensystem fortlaufend
> sämtlich repräsentiert sein sollen.
Äh Ecki! Was zum Teufel sind Kontinuumszahlen?
>> Die Darstellung da oben kann ich in jeder Rechnung benutzen, wo eine
>> Dezimaldarstellung Platz hätte – und selbst das ist absolut irrelevant;
>> wichtig ist nur, dass *genau* *eine* Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen
>> rationaler Zahlen bezeichnet wird.
>
> Ich habe noch nicht so genau hingesehen. Nichtlineare Zahlensysteme
> wären sicherlich auch denkbar. Der Unterschied zwischen diskret und
> kontinuierlich mag dort verschwimmen.
Ach? Und warum?
>> Ich sage, dass es irrationale Zahlen gibt. Gedankenlos tue ich das aber
>> keineswegs. Im Gegenteil, wer den aufbau des Zahlensystems einmal
>> systematisch von den Peano-Axiomen aus durchexerziert und verstanden
>> hat, sieht, dass die Einführung der irrationalen Zahlen nicht wirklich
>> ein anderer Schritt ist als die Einführung negativer Zahlen oder die
>> der Brüche.
>
> Das bezweifle ich.
>
>> Die Äquivalenzklassen sind ein wenig komplizierter aufgebaut und es
>> entstehen viel viel mehr neue Zahlen,
>
> Welcher Trottel hat die alte falsche Vorstellung von viel viel mehr
> Zahlen in die Welt gesetzt? Reelle Zahlen sind NICHT abzählbar. Damit
> erübrigt sich die Frage nach der Quantität.
Wirklich?
> Bisher konnte ohnehin niemand eine Antwort darauf geben. Mückenheim
> spricht bei den Kardinalzahlen von einem gewaltigen Anstieg.
45% Steigung oder was?
> OK. Aber wenn man die quantitative Vorstellung extrapoliert ignoriert man
> den fundamentalen unterschied zwischen Quantität und Qualität.
Dies Dummheit lassen wir mal so stehen ;-)
> Man mag als Vorstellungshilfe von immer mehr Zahle ausgehen. An der
> Notwendigkeit den quantitativen Sprung zu akzeptieren kommt man nicht
> vorbei.
>
>> aber das ändert rein gar nichts an ihrer Existenz und klaren
>> Unterscheidbarkeit.
>
> Aussagen zur Existenz hatte ich deshalb stets vermieden, weil ich durch
> Aufgaben wie pi die Existenz gesichert sehe.
Pi ist eine Aufgabe?
> Eine Unerscheidbarkeit ist jedoch in IR nicht gegeben, da man nicht alle
> Stellen wirklich kennen kann.
Seit wann haben Zahlen Stellen? Sind die irgendwo angestellt?
>>> Was hältst Du für falsch?
>>
>> Dass es keine einzelnen reellen Zahlen geben soll. Die 0 ist von jeder
>> anderen reellen Zahl verschieden – das sagt schon der Begriff „andere
>> reelle Zahl“.
>
> Wir sind es gewöhnt, Zahlen wie die Null zu verabsolutieren. Der Begriff
> "andere reelle Zahl" ist dieser Denkweise geschuldet und nicht
> unproblematisch.
LOL!
>> Dass die algorithmische Untersuchung dieser Frage unlösbar ist, ist
>> dabei ohne jede Bedeutung.
>
> Es ist für die Eigenschaften der reellen Zahlen ausschlaggebend.
Was genau war nun der Ausschlag?
>>>> Abgesehen davon trifft die Argumentation auch auf rationale Zahlen zu,
>>>> die liegen nämlich auch „aktual unendlich dicht“ und haben „unendlich
>>>> viele nahe Nachbarn“.
>>>
>>>
>>>
>>> Nein. Es ist mir fast unverständlich warum sich Mathematiker so schwer
>>> tun, den Unterschied zwischen Quantität und Qualität zu akzeptieren.
>>
>> Den Satz verstehe ich jetzt nicht, formuliere ihn bitte etwas
>> konkreter. Was an meiner Aussage soll angeblich falsch sein?
>
> Ich hatte nur teilweise wasserdicht formuliert. Mit aktual meinte ich:
> Alle werden gebraucht (Qualität: kontinuierlich). Mit beliebig vielen
> bin ich noch immer bei rationalen Zahlen (Quantität: angebbar).
>
>>
>>
>>>> Das tertium non datur als Prinzip der Logik hängt in keiner Weise an
>>>> mengentheoretischen Dingen wie Kardinalität, Abzählbarkeit oder
>>>> „Kontinuum“.
>>>
>>>
>>>
>>> Umgekehrt.
>>
>> Umgekehrt ist es falsch: Die Untersuchung der Abzählbarkeit liefert als
>> Ergebnis „ja“ oder „nein“, hängt also am „tertium non datur“. Die
>> Mengenlehre baut auf der Logik auf, nicht umgekehrt.
>
>
>
> Ich meinte: Die Abzählbarkeit hängt am Grundsatz tertium non datur.
Wieso das?
> Sie ist erst weg, wenn es nicht mehr gilt, also im Kontinuum, was ja
> auch wirklich nicht abzählbar ist
Sowas auch :-)
>>>> „Das Kontinuum ist das tertium“ ist eine derart hohle Sprechblase,
>>>> dass man sich unwillkürlich fragt, ob der Sprecher eigentlich weiss,
>>>> was „tertium“ bedeutet, von „Kontinuum“ ganz zu schweigen.
>>>
>>>
>>>
>>> Der "Sprecher" ist wohl noch immer Professor für Mathematik und
>>> Informatik in Kalifornien, und ich habe es zweifellos korrekt
>>> übersetzt.
>>
>> Quelle?
>
> Habe ich nicht zur Hand. Google nach Vaughan R. Pratt (Stanford) 1997
>
>>
>>
>>> Ja, der Unterschied zwischen abzählbar und nicht abzählbar ist keine
>>> Frage der Quantität.
>>
>> „Abzählbar“ *ist* eine Quantitätsangabe.
>
> Das klingt fast trotzig. Jede Quantifizierung die ich kenne beruht auf
> Quanten, und mit den Alephs kann man ja kaum bis drei wirklich zählen.
> Abzählbar = 0 nicht abzählbar = 1 gar nicht abzählbar = 2 überhaupt gar
> nicht abzählbar = 3...
>
> Abzählbar oder nicht abzählbar ist dagegen eine Alternative.
Ein geistig Verwirrter erzählt eine Geschichte!
>
>>> "Überabzählbar" nimmt eindeutig Partei für eine falsche Ideologie: für
>>> einen widersinnigen weil quantitativen und nicht qualitativen
>>> Unendlichkeitsbegriff.
>>
>> Du hast immer noch keine alternativen Definitionen für Begriffe wie „A
>> hat mehr Elemente als B“
>
> Mindestens B ist eine abzählbare Menge.
>
> oder auch nur „A ist unendlich“ angegeben.
>
> A ist definitiv keine Zahl. A kann eine Eigenschaft bedeuten, die durch
> das Archimedesaxiom beschrieben wird.
>
>
>
>>
>>
>>> Pi ist ja kein einzelner Wert.
>>
>> Sondern?
>
> Eine Aufgabe.
>
>
>
>>> Irrationale Zahlen sind ein solcher Widerspruch zwischen Diskreta und
>>> Kontinua.
>>
>> Beweis?
>
> mir fällt nur ein dass irrationale Zahlen zwar als Aufgabe existent sind
> während sie zugleich numerisch nicht greifbar existieren. Hier treffen
> sich die reellen Zahlen als Grenzwerte der rationalen mit dem Kontinuum.
Lyrik eines Dummkopfes
>>> Die Standard-Topologie kann keinen symmetrischen Schnitt ausführen.
>>
>> Korrekt. Wieso sollte das ein Fehler sein?
>
> Schnitte (nicht die von Dedekind) sind geometrische Operationen und
> physikalisch relevant.
Aua! Sagt da mein Arzt
>>> Man tut sich schwer mit im Fall reeller Zahlen unnötiger willkürlicher
>>> Definiererei der Null.
>>
>> Bei Deiner Anwendung mag das sein. Was sollte daraus folgern und vor
>> allem, warum?
>
> Mein generelles Prizip: Willkür vermeiden.
Du wolltest sagen:
ICH NIX DENKEN!!
> Schon Cantor ruderte nach anfänglich überschwenglicher Dedekindlichkeit
> ein wenig zurück.
LOL!
> IR hat keine Nummernordnung.
LOL!
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
| ______\__
-(O_O)-|---------------\ / ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Cunning Pike Waterski-ing
Peter Niessen
Hallo Christopher! Auch wenn ich nun Korinthen-kacke und genau weiss das du
es besser als ich kannst:
> Bitte genauer. Das Diagonalargument, angewendet auf die Menge der
> reellen Zahlen, geht von den wie üblich definierten reellen Zahlen aus.
Was ist wie üblich? Das macht mir ein Fragezeichen. Man kann nach wem nun
immer Cantor => Fundamentalfolge Dedekind => Schnitte die Zahlen
definieren. Mengenlehre ist das noch nicht! Wenn du denn ML als "normal"
ansiehst musst du die Zahlen auch wieder begründen. Es ist ja auch nicht
richtig das man die ML so unbedingt braucht um die Zahlen zu begründen.
Aber dem Charm dieser Begründung bin ich auch verfallen
> Darin ist 1 selbstredend eine eindeutig bestimmte reelle Zahl.
Ist doch langweilig oder doch ein Thema? Was ist mit e-minimalem Element?
Das Fundierungsaxiom des ZFC lässt grüssen :-))
> Es nutzt *anschließend* und ohne an der Definition und Existenz der
> reellen Zahlen irgendetwas zu ändern, dass jede reelle Zahl eine
> eindeutige Dezimaldarstellung hat – ob wir im Einzalfall dazu in der
> Lage sind, sie hinzuschreiben, ist irrelevant.
Wenn man das so sieht, sind alle Zahlen Repräsentanten von
Fundamentalfolgen (Chauchy-Folgen) aber auch dann ist es Unsinn von
irgendeiner Zifferndarstellung auszugehen. Die Beschreibung der Folge ist
Maßstab und sonst nichts.
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
|
|
-O_O- ______ ###### Cunning Pike Show Jumping
Peter Niessen
> Nein. Determinismus ist die Irrlehre dass man alles berechnen kann.
> Kausalität ist die Einbettung in die grundsätzlich nie vollständig
> bekannte Realität die eben dies unmöglich macht.
Lyrik eines Dummkopfes
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
@@@@ <Rapunzel, lass dein Haar herunter!> ., .
@@o|o@ *RRRUPPFFFff* `o|o'`
X| _|_@X "Ob er mich jetzt immer X|_|_ |X
|__|_@@@@@@ noch heiraten will?" |_|__|
Ralf Bader
> On 9/10/2005 12:42 AM, Ralf Bader wrote:
>> Eckard Blumschein wrote:
>>
>>
>>> Ich kenne zwar die Berechenbarkeitstheorie nicht, nehme aber an dass
>>> diese nicht außerhalb der Mathematik steht.
>>> Nein. Hier geht es wie oben darum, dass man leider die Mathematik auf
>>> Algebra und Mengenlehre aufbaut, andere wichtige Zweige der Mathematik
>>> damit aber teilweise unvereinbar sind. Für die Physik wünsche ich mir
>>> eine geschlossene Mathematik, und ich zeige wie sie aussehen könnte.
>>
>> Ja, zeig' doch mal was und führe ein Stück Analysis auf Grundlage der
>> Blumscheinschen Zahlen ohne numerische Identität vor. Das wäre
>> beeindruckender als die Endloswiederholung des immergleichen saublöden
>> Gesabbels.
>
> Deine Frechheit beruht auf Unverstand. Da kann ich leider wohl ebenso
> wenig machen wie bei drei Jugendlichen die Parolen rufend gegen eine
> Wand pinkelten. Nochmals werde ich dir und beispielsweise auch Bernd
> Funke nicht so bald antworten.
Danke.
> Die Aufforderung die Relevanz einer geschlossenen Mathematik anzudeuten
> greife ich jedoch gern noch auf:
Nee, du solltest -deine Formulierung- "zeige[n], wie sie aussehen könnte",
nicht ihre "Relevanz" belabern.
> Mir geht es speziell um IR+. Was ist da mit der Null? Wo bleibt "die
> Null" wenn man IR in IR+ und IR- teilt? Mathematiker haben darauf
> allerlei willkürliche Antworten. Wie immer wenn es viele Antworten gibt
> wurde die richtige wohl noch nicht gefunden. Die Konstruktivisten haben
> sich zwar bemüht auf ähnliche Fragen begründete Antworten zu geben. Ich
> meine, den einzig logisch konsequenten Ausweg weist die Erkenntnis, dass
> reelle Zahlen nicht in den Rahmen der Mengenlehre passen weil sie eben
> nicht diskret sind, weil sie keine vollständig bestimmte numerische
> Identität haben. Das trifft sogar für die ideal neutrale Null zu.
> Freilich ist diese in IR erst durch alle ihrer unendlich vielen
> Nachkommastellen bestimmt. Für schlichte Gemüter hat Mückenheim Recht:
> Es ist ja gar nicht möglich sich alle unendlich vielen Nachkommanullen
> vorzustellen, falls man sich die Option offen hält dass irgendwann eine
> Ziffer abweicht. Gibt es also keine neutrale Null in IR?
> Hemdsärmelig gesprochen gibt es sie nicht. Ich sehe sie als völlig
> ununterscheidbar irgendwo tief im Kontinuum versteckt. Als neutrales
> Element taugen nullwertige positive und negative Nullen somit allemal.
Das ist doch der gleiche Senf wie eh und je. Der wird durch die 387.
Wiederholung auch nicht sinnvoller als durch die 386 vorhergehenden.
> Definitionsbereiche von Funktionen vereinfachen sich in IR dadurch, dass
> es keinen Sinn macht offene von geschlossenen Intervallen zu
> unterscheiden. Es ist auch nicht gerechtfertigt einzelne Werte (Punkte)
> auszuschließen was ja häufig ohne Grund gemacht wird "weil es die
> Mathematik so verlangt".
Wenn es gemacht wird, dann gibt es dafür auch einen Grund. Du solltest dir
eher Gedanken darüber machen, welche "Teilmengen" von IR unter deiner
dämlichen Prämisse der fehlenden "numerischen Identität" überhaupt denkbar
sind. Intervalle gehören nicht dazu, denn diese haben wohlbestimmte
Anfangs- und Endpunkte, auch dann, wenn man offenläßt, ob sie zum Intervall
gehören oder nicht. Das wäre mal ein Punkt, zu dem ich eine Klärung (nicht
wirklich) erwartet hätte, wenn du zeigen zu können meinst, wie eine
"geschlossene" (was auch immer das sein soll) Mathematik im Sinne deines
Geschwätzes aussähe. Da kommt aber nix, sondern nur die umtatate
Wiederholung der immergleichen Phrasen...
Ralf Bader
>> Da sind wir wohl am Kern meiner Überlegungen angelangt. Was für diskrete
>> Zahlen unbestritten richtig ist muss nicht auch automatisch für die
>> fiktiven reellen Zahlen gelten. Das Kontinuum ist das tertium.
>
> Welchen Humbug Du mit letzterem meinst, ist mir immer noch nicht klar
> geworden. Das tertium non datur als Prinzip der Logik hängt in keiner
> Weise an mengentheoretischen Dingen wie Kardinalität, Abzählbarkeit oder
> ?Kontinuum?. ?Das Kontinuum ist das tertium? ist eine derart hohle
> Sprechblase, dass man sich unwillkürlich fragt, ob der Sprecher
> eigentlich weiss, was ?tertium? bedeutet, von ?Kontinuum? ganz zu
> schweigen.
Die Mengentheorie kann man als eine Art ontologisches Fundamnet betrachten,
auf dessen Grundlage man Mathamtik treiben kann. Das tertium non datur ist
dabei dasjenige der Elementrelation, A e B gilt oder es gilt nicht. Man
kann nun darüber spekulieren (z.B. in der FOM-Mailingliste, in der der
Beitrag von Pratt erschien, an dessen Schluß diese Bemerkung "Das Kontinuum
ist das tertium" steht) ob es ein anderes ontologisches Fundament für
Mathematik geben könnte, in dem im Gegensatz zur "diskreten" Mengentheorie
der Kontinuumsaspekt zum Ausdruck kommt. Das ist allerdings 1. ein verdammt
dickes Brett, das mit Blumscheinscher Phrasendrescherei nicht einmal
angeritzt werden kann, und 2. kann es die auf Mengentheorie basierende
Mathematik nicht entwerten oder falsifizieren - das könnte diese
ausschließlich ganz alleine, indem sie an inneren Widersprüchen zerbricht.
In der grotesken Blumscheinschen Vorstellungswelt ist aber jede Spekulation
oder Andeutung über eine "nichtorthodoxe" Mathematik offenbar ein Indiz der
Fehlerhaftigkeit der orthodoxen, obwohl es (natürlich) so nicht gemeint
ist.
Ralf
Eckard Blumschein
On 9/12/2005 11:23 PM, Peter Niessen wrote:
Lyrik eines Dummkopfes
Eckard Blumschein
>>> Da sind wir wohl am Kern meiner Überlegungen angelangt. Was für diskrete
>>> Zahlen unbestritten richtig ist muss nicht auch automatisch für die
>>> fiktiven reellen Zahlen gelten. Das Kontinuum ist das tertium.
> Die Mengentheorie kann man als eine Art ontologisches Fundamnet betrachten,
> auf dessen Grundlage man Mathamtik treiben kann. Das tertium non datur ist
> dabei dasjenige der Elementrelation, A e B gilt oder es gilt nicht.
Einverstanden. So macht man Mathematik auf der Basis der Mengenlehre.
Die Sache hat einen kleinen Schönheitsfehler. Das was Cantor als nicht
abzählbar aufgezeigt hat, die reellen Zahlen bzw. das Kontinuum gehört
nicht dazu. Hier sitzen die (?) Mathematiker einem dicken Irrtum auf.
> Man
> kann nun darüber spekulieren (z.B. in der FOM-Mailingliste, in der der
> Beitrag von Pratt erschien, an dessen Schluß diese Bemerkung "Das Kontinuum
> ist das tertium" steht) ob es ein anderes ontologisches Fundament für
> Mathematik geben könnte, in dem im Gegensatz zur "diskreten" Mengentheorie
> der Kontinuumsaspekt zum Ausdruck kommt. Das ist allerdings 1. ein verdammt
> dickes Brett, ... und 2. kann es die auf Mengentheorie basierende
> Mathematik nicht entwerten oder falsifizieren - das könnte diese
> ausschließlich ganz alleine, indem sie an inneren Widersprüchen zerbricht.
Ein dickes Brett vor dem Kopf haben jene, die den fundamentalen
Unterschied zwischen abzählbar (also numerisch diskrete Zahl) und nicht
abzählbar (also Kontinuum) gar nicht sehen wollen oder aber meinen ihn
verniedlichen zu können.
Braucht die Mathematik wirklich ein ontologisches Fundament? Ich werte
Ontologie generell als zweifelhaft. Ich meine, die Mathematik wäre mit
einem einheitlichen Fundament besser ausgestattet.
Es kann doch nicht nur darum gehen einen Gegensatz zwischen Aspekten
noch besser zum Ausdruck zu bringen als dies Buridans Esel vermag.
Diskret und kontinuierlich sind so verschieden wie Mann und Frau. Und
sie ergänzen sich. Bisher ist die Mathematik gewissermaßen
patriarchalisch, steht steht sie nur auf einem Bein, auf der ziemlich
anmaßenden Mengenlehre. Und die Anmaßung ließ viel Ermessensspielraum
frei auf dem wüste Willkür von Definitionen und aus dem Hut gezauberten
Axiomen wuchern konnten.
> In der grotesken Blumscheinschen Vorstellungswelt ist aber jede Spekulation
> oder Andeutung über eine "nichtorthodoxe" Mathematik offenbar ein Indiz der
> Fehlerhaftigkeit der orthodoxen, obwohl es (natürlich) so nicht gemeint
> ist.
Ich kenne keine Religion die sich selbst orthodox nennt und der auch von
anderen Religionen eingeräumt wird dass ausgerechnet sie den rechten
Glauben verkörpert. Insofern hat für mich der Begriff orthodox stets den
Beigeschmack von Sektierertum und "wahrscheinlich falsch". Mit derart
orthodoxer Mathematik möchte ich auch dann nichts zu tun haben wenn ich
geographisch und geschichtlich in diese Lehre gestellt bin.
Eckard
Eckard Blumschein
>>Nochmals werde ich dir und beispielsweise auch Bernd
>> Funke nicht so bald antworten.
Naja, ehe man mir soziale Kälte vorwirft...
>> Definitionsbereiche von Funktionen vereinfachen sich in IR dadurch, dass
>> es keinen Sinn macht offene von geschlossenen Intervallen zu
>> unterscheiden. Es ist auch nicht gerechtfertigt einzelne Werte (Punkte)
>> auszuschließen was ja häufig ohne Grund gemacht wird "weil es die
>> Mathematik so verlangt".
>
> Wenn es gemacht wird, dann gibt es dafür auch einen Grund.
Ja, ich sehe ihn in einer anmaßenden unzulässigen Übertragung von
Vorstellungen. Die reellen Zahlen haben mit rationalen Zahlen kaum mehr
als den Namen Zahlen gemein. Sie gehören zu einer anderen Welt, der des
Kontinuums. Wenn man dass ignoriert, dann verlangt dies einige
Absurditäten an denen ich mich stoße.
> Du solltest dir
> eher Gedanken darüber machen, welche "Teilmengen" von IR unter deiner
> dämlichen Prämisse der fehlenden "numerischen Identität" überhaupt denkbar
> sind.
Vorher denke ich darüber nach wozu der Mengenbegriff und speziell der
Begriff der Teilmenge in der Anwendung auf das Kontinuum IR taugen kann
und wozu nicht.
Der Begriff Element bezeichnet etwas Ver"ein"zelbares. Das steckt die
Eins drin, die Zählgrundlage. Zählbare "Ein"heiten (Urelemente) sind in
IR nicht erkennbar. Das Kontinuum ist amorph (gestaltlos) wie ein Band.
Bei plumper Übertragung der für diskrete Zahlen geltenden Begriffe sind
Schnellschüsse und Trugschlüsse vorprogrammiert, etwa von der Art: Die
irrationalen Zahlen sind eine Teilmenge der reellen.
Teilmengen müssen sich von Gesamtmengen unterscheiden lassen. Das
Problem steckt dabei nicht nur in der Teilmenge sondern auch darin die
Gesamtmenge quantitative zu fassen, und das ist beim Kontinuum
illusorisch. So wie jede irrationale Zahl nur aufgabenhaft repräsentiert
ist, ist wohl auch die Menge der irrationalen Zahlen nur aufgabenhaft
(begrifflich) greifbar. Auch sie ist jedenfalls nicht abzählbar.
> Intervalle gehören nicht dazu, denn diese haben wohlbestimmte
> Anfangs- und Endpunkte, auch dann, wenn man offenläßt, ob sie zum Intervall
> gehören oder nicht.
Man kann nicht offenlassen ob eine reelle Zahl zum Intervall gehört oder
nicht. Sie liegt definitiv weder draußen noch drinnen sondern auf dem
Rand des Intervalls.
Das sonst ausgeschlossene Dritte (tertium non datur) ist mit IR gegeben.
Anfangs- und Endpunkte von physikalisch relevanten Intervallen in IR
sind in der Regel aufgabenhaft gegeben, also numerisch unbestimmt.
Nur jene potentiellen Positionen kommen als Anfangs- oder Endpunkte von
wohlbestimmten Intervallen in IR in Frage, die sich eindeutig bestimmen
lassen.
Die Frage der Zugehörigkeit (gleich oder nicht gleich) ist ja schon
deshalb deshalb unentscheidbar, weil es im Kontinuum keine Möglichkeit
zur exakten numerischen Definition des Intervalls gibt.
> Das wäre mal ein Punkt, zu dem ich eine Klärung (nicht
> wirklich) erwartet hätte, wenn du zeigen zu können meinst, wie eine
> "geschlossene" (was auch immer das sein soll) Mathematik im Sinne deines
> Geschwätzes aussähe.
Eine Mathematik welche das Tertium non datur für IR zulässt, vereint die
bisher widersprüchlichen Grundlagen von Mengenlehre und Geometrie.
Eckard
Eckard Blumschein
> Bitte genauer. Das Diagonalargument, angewendet auf die Menge der
> reellen Zahlen, geht von den wie üblich definierten reellen Zahlen aus.
> Darin ist 1 selbstredend eine eindeutig bestimmte reelle Zahl. Es
> nutzt *anschließend* und ohne an der Definition und Existenz der reellen
> Zahlen irgendetwas zu ändern, dass jede reelle Zahl eine eindeutige
> Dezimaldarstellung hat –
Ich sehe das anders. Cantor hat sich nicht dadurch selbst betrogen dass
er eine der heute gängigen schwammigen Definitionen im Hinterkopf hatte
und ihm nachträglich nichts Besseres eingefallen wäre als eine
vollständige Zifferndarstellung anzudeuten. Der ganze Beweis steht und
fällt mit dieser Darstellung.
> ob wir im Einzalfall dazu in der Lage sind, sie
> hinzuschreiben, ist irrelevant.
Es geht grundsätzlich nie.
> Wenn Du
> mathematische Existenz als Platonismus auffassen möchtest, kannst Du das
> gerne tun – es gibt allerdings den großen Unterschied, dass sich
> Platonismus i.A. mit der Existenz realer Gegenstände befasst, was die
> Mathematik nicht tut.
Platonismus so wie ich ihn in diesem Zusammenhang auffasse sieht die
Mathematik als Feld der Entdeckungen und nicht der Erfindungen nach
Gutdünken und Zufall.
>
>> In der Mathematik
>>
>>>ist {1,2,3} eine Teilmenge von IR. In der Mathematik ist {1,2,3} eine
>>>endliche Menge der Kardinalität 3 und damit sicherlich (höchstens)
>>>abzählbar.
>>
>>
>> Ist so bekannt, bedarf aber dringend einer Reinterpretation.
>
> Warum? Gut, es macht gerade Dein Argument kaputt, aber ist das ein
> hinreichender Grund?
Es ist inkonsistent mit einem Verständnis von IR als nicht abzählbares
Kontinuum wo der Ausschluss des Dritten nicht gilt.
>> "Nicht abzählbar" ist eine Quakität, "mehr als abzählbar" wäre eine
>> Quantität, und das Unendliche hat keine andere Bedeutung als dass es
>> nicht abzählbar ist. Es ist sinnlos nach einer Mächtigkeit zu fragen.
>
> Das behauptest Du hier seit Ewigkeiten.
Gibt es denn Gegenargumente?
>> Jede rationale Zahl ist diskret. Was definiert die Menge der rationalen
>
> Was bedeutet es für eine einzelne Zahl, diskret zu sein? Ich kenne den
> Begriff nur für topologische Räume.
Im überfüllten Nahverkehr stehe ich nicht diskret. Ähnlich, nur viel
mehr komprimiert kann man sich die reellen Zahlen vorstellen. Sie sind
Teil von Weyls Sauce.
>
>> Zahlen im Gegensatz zu den reellen? Der Umstand, dass man nicht alle
>> braucht, also beliebig weit gefasste aber noch vorstellbare Grenzen hat.
>
> Kannst Du den Satz noch einmal auf deutsch schreiben?
Was definiert die Menge der rationalen Zahlen im Gegensatz zu den reellen?
Klar?
Der Umstand, dass man nicht alle braucht, also beliebig weit gefasste
aber noch vorstellbare Grenzen hat.
Die rationalen Zahlen hatte ich kürzlich als Baumstruktur
veranschaulicht. Der Baum kann beliebig groß sein. Grundsätzlich kann
man alle seine Zweige zählen. Reelle Zahlen sind sozusagen ein
unvorstellbarer Sonderfall wo wir annehmen dass der Baum grenzenlos
immer noch mehr Zweige hat.
> |{A}| = 1,
> vollkommen egal, was A ist.
Beispiel {A}} := IN
>> 1, 2, 3 sind in dieser Schreibweise ja keine reellen Zahlen.
>
> Natürlich sind sie das.
Woran sieht man das?
>>>Oder den Irrtum,
>>>es gäbe in den rationalen Zahlen einen positiven kleinsten Abstand
>>>zwischen zwei Zahlen.
>>
>>
>> Dieser Abstand ist zwar beliebig klein, existiert aber solange
>> rationale Zahlen und keine reellen vorliegen.
>
> Falsch. Es müsste eine einzelne, konkrete Zahl sein (so die Forderung
> in meinem Satz da oben),
Da steht nichts von konkret.
>>>Oder den Irrtum, mathematische Existenz hätte
>>>irgendetwas mit Darstellbarkeit oder Berechenbarkeit oder unserem
>>>Universum oder irgendeinem Informationsgehalt zu tun.
....
> Ich hatte auch die in diese Thread gefundene Behauptung, reelle Zahlen
> hätten „nur eine fiktive Existenz“ so aufgefasst.
Ist eine fiktive Existenz keine Existenz?
Nirgendwo schrieb ich etwas von Universum oder Informationsgehalt als
Existenzvoraussetzung
>> Eigentlich solltest Du als Mathematiker in der Lage sein mir als
>> Nichtmathematiker Fehler nachzuweisen. Ich stelle aber fest: Das was Du
>> falsch nennst bezieht sich, sofern es mir zuzuschreiben ist, auf das was
>> ich für zu korrigieren halte.
>
> Ich habe Dir mehrfach gezeigt, dass Du fehlerhaft argumentierst.
Du hast es versucht.
> Ich
> habe aber noch keine Begründung gesehen, warum irgendetwas geändert
> werden sollte – von „korrigieren“ könnte nur dann die Rede sein, wenn es
> *innermathematische* Probleme gäbe,
Innermathematische?
Aus deinem Blickwinkel sollte es innermengenlehrerisch heißen.
> und nach der Erfahrung mit Deiner
> Argumentation spreche ich Dir das nötige Vorwissen ab, um solche
> überhaupt zu erkennen, wenn sie denn existieren sollten.
Wenn einem Kunden die Hose rutscht, dann darf dieser doch wohl argwöhnen
dass ein Knopf ab ist.
>
>> Meine zwei wesentlichen Argumente sehe ich dagegen überhaupt nicht
>> entkräftet.
>
> Welche waren das? Die unbegründete Behauptung, unendliche Mengen könne
> man nicht vergleichen, weil der Begriff „unendlich“ früher so benutzt
> wurde, gehört vermutlich dazu.
Unendlichkeit als Qualität ist kein veralteter, überholter oder sonstwie
von erhabener Mengenlehre ersetzter überflüssiger Begriff.
Noch immer gilt oo+a=oo.
>>>>wieso eine unendliche Menge entweder kleiner, größer oder gleichgroß
>>>>einer anderen sein muß worin ich Cantors Irrtum sehe.
Das steht immer noch unwiderlegt im Raum.
> Es gibt abzählbare Teilmengen, die gesamte Menge ist aber
> nicht abzählbar. Nach meinem Sprachverständnis ist es absolut
> naheliegend, der Menge die Eigenschaft „mehr als abzählbar“ zuzuschreiben.“
Man kann das Kontinuum in beliebig kleine Stücke zerschneiden. Die
Eigenschaft der Nichtabzählbarkeit bleibt bestehen.
Teilmengen lassen sich aus IR nur aufgabenhaft herauslösen.
>> Ich halte Cantors Irrtum noch für verzeihlich. Nicht billigen kann ich
>> die unplatonische Definierarroganz mit der Charaktere wie Zermelo
>> meinten alles aber auch alles so definieren zu dürfen dass es scheinbar
>> ohne Widesprüche unter die ziemlich begrenzte decke der Mengenlehre
>> passt. Aus Scholastik und dialektischem Materialismus kennt man solche
>> perfiden Praktiken auch.
>
> Die (moderne) Mathematik befasst sich im Gegensatz zum Platonismus
> nicht mit außermathematischen Wahrheiten.
Nein. Sie zieht sich in ein steriles Schneckenhaus zurück welches keinen
Anspruch auf den stolzen Namen Mathematik hat.
> Diese Arroganz, kombiniert mit dem Sieb des „es setzt
> sich durch, was tatsächlich nützlich ist“
Bei Cantors Hirngespinsten steht ein Nützlichkeitsbeweis noch aus. Sie
haben sich ungefähr so durchgesetzt wie der ML.
> Ja, Mathematiker sind arrogant.
Nur die dummen.
> weil sie jederzeit auf der Sachebene
> zweifelsfrei beweisen können, dass sie recht haben.
Sachebene?
> Zumindest gegenüber
> Leuten, die die Aussagen und Beweise durch ihre Vorbildung verstehen können.
Wenn aber mal jemand kommt der den Schwindel durchschaut?
> Die
> Überabzählbarkeit der reellen Zahlen ist in ZF bewiesen.
Beweis durch Behauptung? Seit wann darf man das wieder? Gottesbeweise
sind doch sonst out.
> Nota bene: Das
> Auswahlaxiom ist dafür nicht nötig. Wie das in anderen nicht als
> widersprüchlich bekannten Mengenlehren aussieht, weiß ich bislang nicht.
Ich will es nicht wissen. Die Basis trägt nicht.
>> Am Archimedesaxiom gibt es nichts zu rütteln. Es wurde ja sogar von
>> Peano übernommen.
>
> Am Archimedesaxiom gibt es nichts zu rütteln, das ist richtig. Es ist
> aber keineswegs so, als würde ein Axiom eine Art mathematisches
> Naturgesetz beschreiben. Das Archimedesaxiom besagt lediglich, dass in
> einer archimedisch gordneten Menge jedes Element durch eine natürliche
> Zahl übertroffen wird.
Archimedes hat nicht im Quasigebetsbuch lernen müssen dass es
archimedisch geordnete Mengen gibt.
> Wie die meisten Axiome ist auch das
> Archimedesaxiom letzten Endes nur die Beschreibung einer Eigenschaft,
> die ein mathematisches Objekt (georndete Menge) haben kann oder auch
> nicht.
Richtig, und diese Objekte sind hier Zahlen, und sie haben diese
Eigenschaft (Qualität) unendlich vermehrbar zu sein.
Deshalb ist der Begriff "das Unendliche" eben nicht vermehrbar.
> Die Körperaxiome werden von den natürlichen Zahlen doch auch nur
> teilweise erfüllt, aber es gibt trotzdem nichts an ihnen zu rütteln.
Warum sollte ich dies unbesehen glauben? Hat sie denn jemand entdeckt
oder wurden sie erfunden?
>> Jean Dieudonné beschrieb die "in der Regel etwas schizoide Haltung" der
>> Mathematiker so:
>> On foundations we believe in the reality of mathematics, but of course
>> when philosophers attack us with their paradoxes we rush to hide behind
>> formalism and say: Mathematics is just a combination of meaningless
>
> Der Umgang mit Paradoxien scheint sich seit Dieudonnés Zeiten etwas
> geändert zu haben.
Das unehrliche Verstecken hinter Formalismen und populistischen Parolen
sicherlich eher nicht.
>> Und die Flut von zunehmend nicht mehr für alle Mathematiker genießbaren
>> Veröffentlichungen hält man dann noch für etwas Gutes.
>
> Auch Mathematiker müssen von etwas leben, und ein paar von uns
> unterliegen dem akademischen System, was auch immer man davon halten
> mag. Die kritische Untersuchung fremder Ergebnisse ist aber sicherlich
> eine positive Auswirkung dieses Systems.
Zweifellos, falls man mutige Kritik duldet und honoriert. Ist das so?
>> Wenn nun aber doch? Dieser Beweis ist pfiffig. Er stammt ja auch von
>> Paul Du Bois-Reymond. Aber die absichtlich falsche Interpretation durch
>> Cantor als Überabzählbarkeit ist deshalb nicht haltbar weil Cantor
>> voraussetzte dass man unendliche Mengen quantitativ miteinander
>> vergleichen darf. Warum traut sich niemand dies zu merken?
>
> Hallo? Merkst Du eigentlich, dass ich diesem Einwand schon vor Monaten
> geantwortet habe? Meine Antworten hast Du bislang in keiner Weise
> kommentiert.
Das wundert mich. Ich weiche echten Argumenten nie aus.
Deshalb frage ich nach:
1) Glaubst Du im Ernst, dass es es möglich und sinnvoll ist, größere von
kleineren unendlichen Mengen zu unterscheiden?
Dass Cantors Mächtigkeitbegriff untauglich ist zeigt uns doch wohl seine
CH. Wie irrsinig war doch die Frage nach Werten von aleph zwischen null
und eins? Der Unterschied zwischen schwanger und nicht schwanger hat
doch auch keine Zwischenwerte.
2) Wie hältst Du diese Quantifizierung mit dem qualitativen
Archimedesaxiom bzw. der daraus folgenden Aussage oo+a=oo vereinbar?
3) Warum sperrst Du Dich gegen die Möglichkeit dass sowohl Unendlichkeit
als auch Abzählbarkeit Qualitäten sind, die entweder vorliegen oder aber
nicht?
4) Ist Dir nicht klar, dass rationale Zahlen und das Kontinuum IR zwei
völlig verschiedene Welten und zwar die reellen Zahlen nur fiktiv
existent sind?
Eckard
Ralf Goertz
> On 9/12/2005 8:59 PM, Christopher Creutzig wrote:
>> und nach der Erfahrung mit Deiner
>> Argumentation spreche ich Dir das nötige Vorwissen ab, um solche
>> überhaupt zu erkennen, wenn sie denn existieren sollten.
>
> Wenn einem Kunden die Hose rutscht, dann darf dieser doch wohl argwöhnen
> dass ein Knopf ab ist.
Oder, dass der Kunde zu dünn ist, um die Hose auszufüllen. Ich argwöhne hier
letzteres.
Ralf
--
There is only one "_" in my address
Eckard Blumschein
deshalb unzugänglich weil du meinst mir mangelndes Verständnis
unterstellen zu dürfen.
On 9/12/2005 10:04 PM, Rolf Albinger wrote:
>>> Ist Dir denn wenigstens der Unterschied zwischen Kardinal- und
>>> Ordinalzahlen klar, wenn Du schon nicht einsiehst, dass sie einfach
>>> existieren?
>>
>>Freilich.
>
> Das wird stark bezwifelt.
Dann will ich versuchen es so simpel zu beschreiben dass es auch
Mitleser verstehen die nicht in diesen höheren Unsinn eingeweiht sind:
Wenn es keine unendliche Zahl gibt, und es gibt ja keine, dann gibt es
erst recht keine darüber hinaus reichenden, es sei denn man lügt sie
sich per Definition in die Tasche was seit Cantor populär ist. Und das
geht so:
Man benennt eine als unendlich definierte Zahl nicht oo sondern omega,
was ich hier vereinfachend oo schreibe. Dann kann man formal
weiterzählen: oo, oo+1:=ooU{oo}, oo+2:=(oo+1)U{oo+1}, ...
Alle richtigen (endlichen) positiven ganzen Zahlen sind zugleich
Ordinal- und Kardinalzahlen sagt man.
Ist ja klar, die Menge natürlicher Zahlen zählt sich selbst.
Dass man beim Zählen der Mächtigkeit (Kardinalität) mit der Null
anfängt entspringt dem Ehrgeiz die Zahlen aus dem Nichts heraus aufzubauen.
Einen "Sinn" macht die Unerscheidung zwischen erst ab oo. Dann, - so
stellt man sich vor - zählen (ordnen) die Ordinalzahlen einfach weiter:
oo+1, oo+2, oo+3,...
Die Mächtigkeit (Kardinalzahl) bleibt zunächst unverändert auf einem
Wert stehen den man aleph_0 nennt, der ersten wie man sagt transfiniten
Kardinalzahl.
Jetzt mag man fragen woher nehmen die Mathematiker die unendliche Zahl
oo und woher aleph_0? Ganz einfach: Sie gehen davon aus, dass die Menge
der natürlichen Zahlen im Sinne einer Bijektion zu sich selbst
vermittels vollständiger Induktion abzählbar ist. Dadurch fühlen sie
sich berechtigt der Menge der natürlichen Zahlen die Ordinalzahl oo und
allen Mengen die sich auf IN 1:1 abbilden lassen die Kardinalität
aleph_0 zuzuschreiben.
Jetzt kommt das kardinale Missverständnis. Man sagt, es gäbe mehr reelle
als rationale Zahlen. So logisch dies scheint, es gibt überhaupt keine
Rechtfertigung dafür Mengen abzählbarer (rationaler) und nicht
abzählbarer (reeller) Zahlen miteinander zu vergleichen. Der Unterschied
zwischen ihnen ist von qualitativer Natur. Es kann nichts dazwischen
geben, und man hat trotz aller Zweifel in 100 Jahren auch nichts gefunden.
Aleph_0 und aleph_1 bezeichnen also zwei Qualitäten. Reelle Zahlen
fallen aus dem Rahmen der diskreten Zahlen. Sie gehören zum Kontinuum.
Rechnen kann man mit transfiniten Zahlen praktisch nicht. Addition und
Multiplikation sind als nicht kommutativ bekannt. Der Nutzen
transfiniter Zahlen liegt wohl vor allem in der Verwirrung von Schülern
zum Gaudi derer die meinen die Sache verstanden zu haben.
>
>>[Snip]
>>> Der letzte Satz ist korrekt, aber das ändert nichts daran, dass es
>>> jenseits der Abzählbarkeit noch mehr als eine Stufe von Unendlichkeiten
>>> gibt. So lange Du akzeptierst, dass die Unendlichkeit von IR von einer
>>> anderen Qualität ist als die von IN, wäre es inkonsequent, den
>>> Unterschied der Unendlichkeiten von IR und P(IR) nicht zu akzeptieren.
>>
>>Das sehe ich nicht.
>
> Warum nicht? Ich denke, du hast so grossspurig behauptet,
> du akzeptiertest genaue Beweise? Gibt es eine Bijektion von IR
> nach P(IR)?
Haben die reellen Zahlen noch eine erhebliche Bedeutung als Kontinuum,
so ist es ziemlich abseitig sich im Sinne einer blöden Spielerei mit
ihrer Potenzmenge zu beschäftigen. Schon die reellen Zahlen sind ja
nicht abzählbar. Insofern vergleicht man diesmal nicht mehr Äpfel
(rationale Zahlen) mit Birnen (reelle).
Übrigens hat sich mir Bernd Funke als Lothar Brendel geoutet.
Wo oder wer ist eigentlich David Kastrup?
Auf euch kann ich inzwischen gern verzichten.
Eckard
Peter Niessen
> Ich kenne keine Religion die sich selbst orthodox nennt und der auch von
> anderen Religionen eingeräumt wird dass ausgerechnet sie den rechten
> Glauben verkörpert.
Ist ja gut!
Du willst den Papst kritisieren ohne zu wissen was katholisch ist. Genau
das macht deine Argumente so lächerlich. Lesen bildet! Nicht nachplappern!
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
|
-666- Devilishly Cunning Pike
Peter Niessen
> Ich sehe das anders. Cantor hat sich nicht dadurch selbst betrogen dass
> er eine der heute gängigen schwammigen Definitionen im Hinterkopf hatte
> und ihm nachträglich nichts Besseres eingefallen wäre als eine
> vollständige Zifferndarstellung anzudeuten. Der ganze Beweis steht und
> fällt mit dieser Darstellung.
NEIN!
Mit freundlichen Grüßen
Peter Nießen
--
|
-/_\- Another Depressed Pike
Hendrik van Hees
> Nanu? Strikte Kausalität führt doch zum Determinismus? Aber lassen
> wir das.
Die QT ist eine strikt kausale nicht deterministische Theorie!
--
Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/ mailto:he...@comp.tamu.edu
Rolf Albinger
<blums...@et.uni-magdeburg.de> wrote:
>[Snip]
>
>Wenn es keine unendliche Zahl gibt, und es gibt ja keine, dann gibt es
>erst recht keine darüber hinaus reichenden, es sei denn man lügt sie
>sich per Definition in die Tasche was seit Cantor populär ist. Und das
>geht so:
>Man benennt eine als unendlich definierte Zahl nicht oo sondern omega,
Omega ist eine transitive Menge und keine als unendlich definierte
Zahl.
>[die ganze dumme Schmonzette gesnipt]
>Übrigens hat sich mir Bernd Funke als Lothar Brendel geoutet.
>Wo oder wer ist eigentlich David Kastrup?
nicht mehr.
>Auf euch kann ich inzwischen gern verzichten.
Wenn einem soviel Dummes widerfährt, dass ist schon einen
Asbach Uralt wert.
>Meister Eckard, der substanzlose Weltenkritiker.
Joachim Pimiskern
> Die reellen Zahlen haben mit rationalen Zahlen kaum mehr
> als den Namen Zahlen gemein. Sie gehören zu einer anderen
> Welt, der des Kontinuums. Wenn man dass ignoriert, dann
> verlangt dies einige Absurditäten an denen ich mich stoße.
Übrigens, es gibt gerade ein Sonderheft
von Spektrum der Wissenschaft:
http://www.wissenschaft-online.de/artikel/784297&template=d_sonderhefte_detail
Grüße,
Joachim
Christopher Creutzig
>>ist vollständig bestimmt und sicherlich irrational. Es ist auch
>>nachgerade trivial, jede beliebige Nachkommastelle anzugeben.
>
>
> Eben nicht.
Doch, natürlich. Das Spiel geht so: Du sagst „Was ist die
516.277.177. Nachkommastelle?“ und ich antworte mit „0“. Nachprüfbar
korrekt. Das Spiel können wir mit jeder beliebigen Stelle spielen, denn
es ist nachgerade trivial, jede beliebige Nachkommastelle anzugeben.
Eine komplette Liste explizit hinzuschreiben, ist ja schon bei
rationalen Zahlen nicht drin.
> Mache es doch nicht so kompliziert. Die 0,0000.... (aktual
> unendlich viele Stellen) ist ja auch erst mit allen Nullen komplett,
also beispielsweise durch die einfache Angabe „alle Nachkommastellen
sind 0“. Du willst mir doch hoffentlich nicht ernsthaft erzählen, eine
solche Angabe sei Dir zu kompliziert? Das schafft doch sogar mein Computer.
> also nie. Die etwas gekünstelte Schreibweise n in IN entspricht der
> Aufforderung alle n zu erwischen. Auch das ist jedoch nur eine Aufgabe.
Und? 3 ist ebenfalls eine Aufgabe.
> Weil es um Kontinuumszahlen geht die in _einem_ Zahlensystem fortlaufend
> sämtlich repräsentiert sein sollen.
Wieso jetzt auf einmal „fortlaufend“? Das sind die rationalen Zahlen
doch auch nicht.
>> Ich sage, dass es irrationale Zahlen gibt. Gedankenlos tue ich das
>>aber keineswegs. Im Gegenteil, wer den aufbau des Zahlensystems einmal
>>systematisch von den Peano-Axiomen aus durchexerziert und verstanden
>>hat, sieht, dass die Einführung der irrationalen Zahlen nicht wirklich
>>ein anderer Schritt ist als die Einführung negativer Zahlen oder die der
>>Brüche.
>
>
> Das bezweifle ich.
Das kannst Du gerne tun, aber die cognoscenti widersprechen Dir da nun
einmal, und damit musst Du leben. Wenn ich jemandem ohne jedes
musikalische Verständnis erkläre, dass man Dur und Moll am Klang
auseinanderhalten kann, kann er das auch gerne bezweifeln; das
erschüttert mein Weltbild und meine Wahrnehmung nicht im Geringsten.
> Welcher Trottel hat die alte falsche Vorstellung von viel viel mehr
> Zahlen in die Welt gesetzt? Reelle Zahlen sind NICHT abzählbar. Damit
> erübrigt sich die Frage nach der Quantität. Bisher konnte ohnehin
Die reellen Zahlen haben abzählbare Teilmengen. Es ist absolut
sinnvoll, die Beziehung
A Teilmenge von B ==> card(A) <= card(B) (*)
allgemein zu akzeptieren und nicht grundlos zu kastrieren und auf
endliche Mengen A und B einzuschränken. Das wäre sowohl in der
Darstellung als auch in der Handhabung massiv komplizierter und brächte
neben keinen Vorteilen lediglich eine Hemmnis im Erkenntnisgewinn, die
man bei Dir erschreckend gut beobachten kann.
Du polterst seit Ewigkeiten herum, man solle diese Kardinalitäten nicht
vergleichen, nennst aber keinen einzigen Vorteil davon, sich derart
künstlich einzuschränken. Und dass es eine künstliche Einschränkung
wäre, ist ziemlich eindeutig. Übrigens ist (*) kein beweisbarer Satz,
sondern die Definition des Zeichens, das wir hier mit <= widergeben.
Auch im Endlichen.
> Kardinalzahlen von einem gewaltigen Anstieg. OK. Aber wenn man die
> quantitative Vorstellung extrapoliert ignoriert man den fundamentalen
> unterschied zwischen Quantität und Qualität. Man mag als
Lass die philosophische Betrachtung lieber außen vor. Da müsstest Du
erst einmal begründen, *warum* das Ganze eine Qualität sein sollte –
außerdem müsstest Du noch erklären, *warum* man qualitativ verschiedene
Größen grundsätzlich nicht gleichzeitig quantitativ vergleichen können
sollte. Dann würde noch die Begründung fehlen, warum das in diesem
speziellen Fall irgendeinen Vorteil bringen sollte – und *danach*
könntest Du Dich der Aufgabe widmen, das Ganze mal in eine mathematisch
brauchbare Form zu bringen.
Alternativ könntest Du auch einfach Deinen Kreuzzug aufgeben und direkt
beim letzten genannten Schritt anfangen. Vergiss dabei bitte nicht,
Platz für mindestens abzählbar unendlich viele Qualitäten von
Unendlichkeit zu lassen, denn card(A) != card(P(A)) für jede beliebige
Menge A.
> Aussagen zur Existenz hatte ich deshalb stets vermieden, weil ich durch
> Aufgaben wie pi die Existenz gesichert sehe. Eine Unerscheidbarkeit ist
> jedoch in IR nicht gegeben, da man nicht alle Stellen wirklich kennen kann.
Das ist auch überflüssig, da man die Zahlen anhand ihrer „Aufgaben“
vergleichen kann. Wie ich schon schrieb: Mit einer eindeutigen
Darstellung kann man rechnen wie mit jeder anderen Darstellung einer
Zahl. Ob es sich dabei um eine Darstellung als Bruch, als unendliche
Summe, als eindeutige Nullstelle einer wohldefinierten Funktion in einem
Intervall oder was auch immer handelt, ist absolut nebensächlich.
Schrieb doch mal eine Zahl auf, mit der man pi prinzipiell nicht
vergleichen kann. („Prinzipiell“ im Sinne von „nicht durch unser
physikalisches Universum beschränkt“, Mückenheims „ersetzen Sie die
10^100^100te Nachkommastelle durch 5“ erfüllt die Aufgabe nicht, denn
die beiden Zahlen *lassen* sich vergleichen.)
>>>Was hältst Du für falsch?
>>
>> Dass es keine einzelnen reellen Zahlen geben soll. Die 0 ist von jeder
>>anderen reellen Zahl verschieden – das sagt schon der Begriff „andere
>>reelle Zahl“.
>
>
> Wir sind es gewöhnt, Zahlen wie die Null zu verabsolutieren. Der Begriff
> "andere reelle Zahl" ist dieser Denkweise geschuldet und nicht
> unproblematisch.
Die Definition der reellen Zahlen gibt uns einzelne reelle Zahlen. Ich
weiss wirklich nicht, was reelle Zahlen für Dich sind, aber in der
Mathematik sind es wohlunterschiedene Individuen.
>>Dass die algorithmische Untersuchung dieser Frage
>>unlösbar ist, ist dabei ohne jede Bedeutung.
>
>
> Es ist für die Eigenschaften der reellen Zahlen ausschlaggebend.
Innermathematisch? Nein.
> Ich hatte nur teilweise wasserdicht formuliert. Mit aktual meinte ich:
> Alle werden gebraucht (Qualität: kontinuierlich). Mit beliebig vielen
Gebraucht? Wofür werden sie gebraucht?
> bin ich noch immer bei rationalen Zahlen (Quantität: angebbar).
Und warum sollte man sich auf endlich viele Stellen einschränken? Die
Gedanken sind frei, und Mathematik ist ein reines Geistesprodukt.
> Ich meinte: Die Abzählbarkeit hängt am Grundsatz tertium non datur. Sie
Das stimmt offensichtlich nicht. Wieso sollte das der Fall sein?
> ist erst weg, wenn es nicht mehr gilt, also im Kontinuum, was ja auch
Wieso sollte das TND als Prinzip der Logik nicht mehr gelten, wenn man
eine überabzählbare Menge betrachtet? Das ist doch einfach nur falsch.
> Habe ich nicht zur Hand. Google nach Vaughan R. Pratt (Stanford) 1997
Ich vermute mal,
http://www.cs.nyu.edu/pipermail/fom/1997-November/000292.html
Abgesehen davon, dass ich den Text stellenweise ziemlich kunfus finde
(das passiert mir gelegentlich auch), ist hier offensichtlich nicht das
Kontinuum im Sinne der Kontinuumshypothese gemein und genausowenig
„Kontinuum“ im Sinne des topologisch abgeschlossenen Raums der reellen
Zahlen. (Ja, ich weiss, dass der deutsche Wikipedia-Eintrag nur eine
Erklärung von „Kontinuum“ in der Mathematik kennt. So what? Lexika
sind bei Fachbegriffen immer unvollständig.) Es geht um Geometrie, da
ist unter dem Kontinuum eher ein zusammenhängender Hausdorff-Raum zu
verstehen, außerdem geht es in dem Abschnitt um intuitionistische Logik,
nicht um klassische Mathematik. Deren Korrektheit wird dort gar nicht
thematisiert.
Ich empfehle Dir, bei Herrn Pratt nachzufragen, was er wirklich meinte,
bevor Du weiterhin seine Sätze aus dem Zusammenhang reisst, weil Du eine
Dir genehme Interpretation der darin gefundenen Begriffe gesehen hast.
> Das klingt fast trotzig. Jede Quantifizierung die ich kenne beruht auf
> Quanten, und mit den Alephs kann man ja kaum bis drei wirklich zählen.
Quanten? „Der Brief wiegt 23,1g, da müssen Sie noch eine Briefmarke
draufkleben“ ist ein Quantifizierung.
> Abzählbar = 0
> nicht abzählbar = 1
> gar nicht abzählbar = 2
> überhaupt gar nicht abzählbar = 3...
Es gibt verschiedene Formen von „nicht abzählbar“.
> Abzählbar oder nicht abzählbar ist dagegen eine Alternative.
Natürlich. Kleiner als 10 und nicht kleiner als 10 ist auch eine
Alternative.
>>>"Überabzählbar" nimmt eindeutig Partei für eine falsche Ideologie: für
>>>einen widersinnigen weil quantitativen und nicht qualitativen
>>>Unendlichkeitsbegriff.
>>
>> Du hast immer noch keine alternativen Definitionen für Begriffe wie „A
>>hat mehr Elemente als B“
>
>
> Mindestens B ist eine abzählbare Menge.
Was meinst Du damit?
>> oder auch nur „A ist unendlich“ angegeben.
>
> A ist definitiv keine Zahl. A kann eine Eigenschaft bedeuten, die durch
> das Archimedesaxiom beschrieben wird.
A ist in diesem Satz eine Menge.
>>>Pi ist ja kein einzelner Wert.
>>
>> Sondern?
>
>
> Eine Aufgabe.
Was auch immer Du mit diesem Begriff meinst. Hat die Aufgabe eine
eindeutige Lösung?
>>>Irrationale Zahlen sind ein solcher Widerspruch zwischen Diskreta und
>>>Kontinua.
>>
>> Beweis?
>
>
> mir fällt nur ein dass irrationale Zahlen zwar als Aufgabe existent sind
> während sie zugleich numerisch nicht greifbar existieren. Hier treffen
> sich die reellen Zahlen als Grenzwerte der rationalen mit dem Kontinuum.
Jenseits aller fragwürdigen Begrifflichkeiten in diesem Satz: Was
stört Dich daran, dass die Mathematik „Aufgaben“ mit eindeutiger Lösung
als Elemente einer Menge akzeptiert? Ob Du an IR das Etikett „Zahlen“
dranhängst oder nicht, ist doch nur Kosmetik.
>>>Die Standard-Topologie kann keinen symmetrischen Schnitt ausführen.
>>
>> Korrekt. Wieso sollte das ein Fehler sein?
>
>
> Schnitte (nicht die von Dedekind) sind geometrische Operationen und
> physikalisch relevant.
Wieso sollte sich die Mathematik an einzelnen Anwendungen stören?
> Mein generelles Prizip: Willkür vermeiden.
Größenvergleiche auf endliche Mengen einzuschränken, ist Willkür.
>>>Meine Aussage, dass zwischen zwei unendlich großen Mengen kein
>>>quantitativer Vergleich zulässig ist lautet oo+a=oo.
>>
>> Damit bist Du in die Falle getappt, das Symbol oo mit völlig
>>verschiedenen Bedeutungen gleichzeitig zu verwenden.
>
>
> Durchaus nicht. Es bezeichnet eine unveränderbare Eigenschaft.
Welche? Und warum kann man auf eine Eigenschaft irgendetwas addieren?
>> Ist Dir denn wenigstens der Unterschied zwischen Kardinal- und
>>Ordinalzahlen klar, wenn Du schon nicht einsiehst, dass sie einfach
>>existieren?
>
>
> Freilich.
Die in diesem Thread von Dir gegebene Erklärung war schlichtweg falsch.
>> Die Mathematik lässt viel Entscheidungsspielraum.
>
>
> Ich sage immer ein kluger König hat alle Macht aber keine Wahl.
> Angeblicher Entscheidungsspielraum zwingt zu dümmlicher Willkür.
Wenn dir die Mathematik nicht passt, dann lass uns Mathematiker doch
einfach in Ruhe. Wenn Du andere Spielregeln willst, dann such Dir einen
freien Tisch und fang dort ein neues Spiel an.
>>>Wenn ein Nutzen behauptet wurde, was selten vorkam, dann bezog er sich
>>>stets auf eine von keinem Anwender nachvollziehbare mathematische
>>>Selbstbeschäftigung mit irgendwelchen theoretischen Auswüchsen.
>>
>> Und? Mathematik richtet sich nicht nach Anwendungen.
>
>
> Das Geld kommt aber von den Anwendern.
Und auch wenn es Dir nicht passt: Die zahlen offensichtlich gerne für
die moderne Mathematik, die Du hier ständig ablehnst.
>> Aus Sicht des Anwenders muss ich Dir allerdings sagen, dass es eine
>>unnötige Komplizierung wäre, wenn ich bspw. zwei Mengen nur dann
>>vergleichen könnte, wenn sie endlich sind.
>
>
> Das ist graue Theorie.
> Unendliche Zahlen gibt es ja nicht.
Nein, aber unendliche Mengen.
> Numerische Vergleiche sind nur für endliche Stellenzahlen möglich.
Zahlen lassen sich nicht nur numerisch vergleichen.
>>durch IR durchnummerieren.
>
>
> IR hat keine Nummernordnung.
Na und? Deswegen kann ich trotzdem eine Bijektion zwischen IR und
(0,1) angeben, also (0,1) mit IR „durchnumerieren“.
Christopher
Christopher Creutzig
> On 9/12/2005 7:06 PM, Christopher Creutzig wrote:
>> Die Mengenlehre kennt weder den Begriff „Körper“ noch den der „Halbgruppe“.
>
>
> Sicherlich basieren Begriffe wie Körper auf der Mengenlehre.
Zu einem Körper gehört unter Anderem eine Menge, und auch Abbildungen,
die ebenfalls dazu gehören, werden mit Hilfe von Mengen definiert.
Gehört KFZ-Mechanik zur Materiallehre?
>> Wenn Du irgendwann mal anfangen würdest, korrekte Beweise zu
>>akzeptieren, auch wenn sie Deinem Weltbild widersprechen, wäre viel
>>gewonnen.
>
>
> Ich habe kein spezielles Weltbild. Den Beweis akzeptiere ich. Dass seine
> Interpretation unhaltbar ist habe ich aufgezeigt.
Nein, das hast Du nicht. Du hast lediglich gezeigt, dass Du sie nicht
teilst, weil Du nicht akzeptieren magst, dass die ML ihre Begriffe (wie
„Menge A ist größer als Menge B“) selbst definiert.
>>>Cantors Versagen war sein Ansinnen eine quantitative Unendlichkeit zu
>>>definieren. Seit der Antike, in der Wortbedeutung sowie manifestiert im
>>>Axiom von Archimedes ist der Begriff unendlich ein qualitativer. Cantor
>>
>> Und? Vielleicht hatten die einfach unrecht?
>
>
> Cantor konnte es jedenfalls nicht aufzeigen. Er behauptete es lediglich,
> und eine Mehrheit glaubte ihm wie man Demagogen glaubt.
Cantor oder jemand anders zu der Zeit hat den Begriff der „größeren
Menge“ in eine nachrechenbare Form gebracht. Dabei ist der Spezialfall
der endlichen Mengen nicht mehr explizit aufgetaucht. Es kommt
insgesamt eine Ordnungsrelation heruas und im endlichen Fall hat man das
gleiche wie vorher intuitiv, nur jetzt sauber fundiert. Insgesamtwar
das ein Fortschritt.
>>(Das archimedische Axiom
>>gilt – welch Wunder – in archimedischen Körpern wie z.B. IR. In (C gilt
>>es offensichtlich nicht, in Ermaneglung einer Ordnungsrelation. In
>>IR u {-oo, oo} gilt es ebenfalls nicht.
>
>
> In IR gilt es sogar in beide Richtungen. Entsprechendes trifft doch wohl
> zu für (C.
Wie sollte es? Ist 1 > i oder i > 1?
>>Na und? Das haben Axiome nun mal so an sich, dass sie
>>nicht überall gelten.)
>
>
> Das höre ich gern. Wie wäre es mit dem Eingeständnis dass etliche Axiome
> mit IR als das Kontinuum nicht verträglich sind?
Kein Problem. Die Axiome der euklidischen Geometrie gelten nicht in
IR. Das Unabhängigkeitsaxiom gilt ebenfalls nicht in IR.
>>>Man kann sagen, Cantor hatte den Unendlichkeitsbegriff nicht begriffen,
>>
>> Man kann auch sagen, der Mond sei blau.
>
>
> Wenn man Belege dafür hätte, warum nicht?
> Was Cantor dachte hat er ja aufgeschrieben. Daraus geht für mich hervor
> dass er den qualitativen Unendlichkeitsbegriff nicht begreifen wollte.
Aus dem, was Du aufgeschrieben hast, geht klar hervor, dass Du weder
den Begriff Unendlichkeit noch Cantor verstanden hast.
>> Im Gegensatz zu den Naturwissenschaften sind Fehler in der Mathematik
>>aber eindeutig beweisbar;
>
>
> Das hatte ich gehofft. Leider sind nur oberflächliche Fehler beweisbar.
Nein, Dinge wie Russels Antinomie haben die Mathemtik ihrer Zeit in den
Grundfesten erschüttert.
>>ausgehend von den Definitionen
>
>
> Eben eben.
Definitionen sind einfach nur Etiketten, die Namen verteilen. Nichts
weiter.
> Cantor hat aber nicht mit dem Archimedesaxiom angefangen sondern mit
> seiner unbewiesenen und haltlosen Vermutung dass sich unendliche Mengen
> quantifizieren und somit quantitativ vergleichen lassen.
Warum sollte man ausgerechnet mit dem Archimedesaxiom anfangen? Cantor
hat mit der Definition angefangen, wann eine Menge A größer als eine
Menge B ist. Wenn Dir diese Definitoin nicht passt, kannst Du gerne
eine andere Mathematik betreiben, aber es ist shlichtweg *dumm*, die
korrekte Anwendung dieser allgemein üblichen Definition für einen
Fehlschluss zu halten.
> Eigentlich muss man schon ganz schön dumm sein um darauf hereinzufallen,
> dass von zwei unendlichen Mengen angeblich eine entweder kleiner,
> gleichgroß oder aber großer sein muss als die andere.
Was heißt es denn, dass eine Menge größer ist als eine andere?
(Anmerkung: In dieser Definition kann die Ordnungsrelation der
natürlichen Zahlen noch nicht auftauchen. Geht man von der ML aus,
kommt diese erst durch die Ordnungsrelation auf den Mengen zustande.)
(Anmerkung 2: Diese frage ist der zentrale Knackpunkt. Bitte nicht
schon wieder stillschweigend ignorieren. Das langweilt.)
> Soll ich zeigen, dass das Archimedesaxiom keine Quantität sondern eine
> Qualität bestimmt?
Das Archimedesaxiom gibt einer Eigenschaft, die manche angeordneten
Mengen haben, einen Namen. Ich hatte um einen Beweis für „es gibt keine
Mengen, die mehr Elemente enthalten als IN“ gebeten. Dazu braucht man
zunächst die Definition von „A enthält mehr Elemente als B“,
beispielsweise zu finden unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Kardinalzahl_%28Mathematik%29 – oder gib
eine andere an, aber wundere Dich bitte nicht, wenn Du damit zu
Ergebnissen kommst, die in der üblichen Mathematik nicht gelten.
> Ganz einfach. Das hat mir schon Aristoteles abgenommen.
>
> Quantifiziert omega das Unendliche als eine Zahl, dann gibt es nach dem
> Archimedesaxiom eine größere Zahl omega+1. Folglich kann omega kein
Dabei setzt Du stillschweigend voraus, dass alles, was „Zahl“ genannt
wird, in einem Gebilde liegt, das dem Archimedesaxiom gehorcht. Wie das
Beispiel der komplexen Zahlen zeigt, ist das nicht der Fall. Außerdem
ist Deine Schlussfolgerung falsch, denn das Archimedesaxiom stellt
keineswegs sicher, dass es x+1 gibt. Es besagt lediglich, dass es zu
jeder bspw. reellen Zahl x eine natürliche Zahl n mit n > x gibt.
> eindeutiges Maß des Unendlichen sein, da die Zahl omega+1 ja größer als
> omega ist. Es gibt also keine unendliche Zahl.
Ein klassischer Zirkelschluss nach dem Muster „weil nicht sein kann,
was nicht sein darf ...“ Im Übrigen bist Du gerade wieder bei
Ordinalzahlen gelandet. Bei Kardinalzahlen gilt alehp_0+1 = aleph_0,
wie man leicht nachrechnen kann.
> Irreführende oder gar willkürliche Definitionen habe ich nicht nötig.
Die Definition, es gebe nur ein unendlich und da könne es nichts
größeres geben, ist hochgradig willkürlich. Nebenbei auch noch irreführend.
Ach ja, was ist eigentlich Deine Definition von „die Menge A ist
unendlich groß“? (Auch hier gilt es streng genommen, ohne Verwendung
natürlicher Zahlen zu definieren.)
Christopher