Ein paar zeta-summen
Gottfried Helms
ich habe ein paar Summierungen für Zeta-Werte
(genauer: z.Zt. nur den gebrochenen Anteil der
Zeta-Werte von) zeta(2),zeta(3),... zusammengestellt,
die sich aus Summierungen mithilfe meiner Bernoullizahlen-
matrizen ergeben.
Wer sich dafür interessiert:
http://go.helms-net.de/math/bernoulli/zeta_bernoulli.pdf
Ich erweitere das je nach vorhandener Zeit.
Gruß -
Gottfried
Peter Luschny
> Für die Zeta-Freunde vielleicht interessant:
> ich habe ein paar Summierungen für Zeta-Werte
> (genauer: z.Zt. nur den gebrochenen Anteil der
> Zeta-Werte von) zeta(2),zeta(3),... zusammengestellt,
> die sich aus Summierungen mithilfe meiner Bernoullizahlen-
> matrizen ergeben.
> http://go.helms-net.de/math/bernoulli/zeta_bernoulli.pdf
Was für ein Zeta-Bernoulli-irregulärer-Primzahl Tag heute!
Da schmeiße ich doch auch noch eine Formel in den Ring ;-)
Ich suche nach einer guten asymptotischen Näherungen für
die Bernoulli Zahlen (mit geradem Index).
Auf Mathworld findet sich:
| B(2n) | ~ 4 sqrt(Pi n)(n / (Pi e))^(2n) [*]
Dieselbe Formel auch auf der Seite von Xavier Gourdon und
Pascal Sebah [1]. Aber ansonsten habe ich nichts gefunden.
Kennt jemand noch eine andere Näherung?
Schauen wir mal. Für B(100) erhalten wir mit [*]
| B(100) | ~ 0.2835.. 10^79
Das sind ganz knapp 3 gültige tragende Stellen.
Nicht gerade berauschend.
Doch dann fand ich heute noch eine andere Seite
im Internet [2]. Ich übersetze den einschlägigen
Abschnitt (der dort auch tatsächlich erst seit
heute steht) mal ins Deutsche.
========================================================
Asymptotische Näherung der Bernoulli Zahlen.
[...] und damit finden wir folgende bemerkenswerte Formel,
gültig für gerades n >= 4.
| B(n) | ~ 2 sqrt(2Pi n)((n+1/(12 n - 1/(10 n)))/(2 Pi e))^n
Diese Näherung gibt zum Beispiel
| B(100) | ~ 0.28382249570691.. 10^79
im Vergleich mit dem tatsächlichen Wert
| B(100) | = 0.28382249570693.. 10^79.
Die Formel kann auch als Näherung an an die Zeta-Funktion
Zeta(1-n) geschrieben werden, gültig für gerades n >= 4.
|Zeta(1-n)| ~ 2 sqrt(2Pi/n)((n/(2 Pi e))((120 n^2 + 9)/(120 n^2 - 1)))^n
========================================================
Gruss Peter
[1] http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html
[2] http://www.luschny.de/math/factorial/approx/SimpleCases.html
Gottfried Helms
>
> Was für ein Zeta-Bernoulli-irregulärer-Primzahl Tag heute!
Tja, bei mir auch wieder....
>
> Doch dann fand ich heute noch eine andere Seite
> im Internet [2]. Ich übersetze den einschlägigen
> Abschnitt (der dort auch tatsächlich erst seit
> heute steht) mal ins Deutsche.
:-)
> Die Formel kann auch als Näherung an an die Zeta-Funktion
> Zeta(1-n) geschrieben werden, gültig für gerades n >= 4.
>
> |Zeta(1-n)| ~ 2 sqrt(2Pi/n)((n/(2 Pi e))((120 n^2 + 9)/(120 n^2 - 1)))^n
>
> ========================================================
Tja, soweit bin /ich/ leider noch nicht...
Aber ich habe gerade eine nette Reziprok-Version der Summierung
fortlaufender Potenzen gleicher Exponenten des Jakob Bernoulli gefunden.
Finite Reihensummen durch infinite Summen mit Bernoullizahlen...
ob's das wirklich bringt? ;-)
Aber aus Prinzip:
sum{k=1..n^-1} 1/k^c = 1 + 1/2^c + 1/3^c + ... + 1/(n-1)^c
mit den Bernoulli-Zahlen im Spirit von J. Bernoulli -
neuer Abschnitt in:
http://go.helms-net.de/math/bernoulli/zeta_bernoulli.pdf
Gruß -
Gottfried
Peter Luschny
>> Peter Luschny:
>> Was für ein Zeta-Bernoulli-irregulärer-Primzahl Tag heute!
> Tja, bei mir auch wieder....
> Finite Reihensummen durch infinite Summen mit Bernoullizahlen...
> ob's das wirklich bringt? ;-)
> sum{k=1..n^-1} 1/k^c = 1 + 1/2^c + 1/3^c + ... + 1/(n-1)^c
> mit den Bernoulli-Zahlen im Spirit von J. Bernoulli -
> neuer Abschnitt in:
> http://go.helms-net.de/math/bernoulli/zeta_bernoulli.pdf
Die Ereignisse überstürzen sich. Langsam bekommen
wir den guten alten Jakob zum rotieren ;-)
Erst zum Frühstück die Meldung auf Wikipedia [1].
Dann der irregulär gute Beitrag von Thomas M. in sci.math.symbolic
jetzt auch auf [2]. Man vergleiche dazu auch [3].
Angesichts der Sturmwarnung habe ich dann heute morgen die Bernoulli
Zahlen erst einmal in eine sichere Inklusion weg gesperrt.
Hier die öffentliche Premiere dieses absoluten Hammers:
[ Bitte meine Damen und Herren, beachten sie, dass hier
keine Fakultät vorkommt! ;) ]
lowB(n) := 2*sqrt(2*Pi*n)*(n/(Pi*e*2))^n*((120*n^2+9)/(120*n^2-1))^n
highB(n) := 2*sqrt(Pi*(2*n+1)/e)*((240*n^2+240*n+69)/(240*n^2+240*n+79))^(n+1/2)
*(1/2*(n+1/2)/(Pi*e))^n
Für alle gerade n >= 38 gilt:
lowB(n) < Bernoulli(n) < highB(n)
Eigentlich müssten wir uns dieses Jahr in Basel treffen.
Am Freitag, dem 20. April 2007?
Gruss Peter
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Asymptotic_approximation
[2] http://www.luschny.de/math/primes/irregular.html
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number#Efficient_computation_of_Bernoulli_numbers_mod_p
Jutta Gut
"Peter Luschny" <ven...@luschny.de> schrieb
> Eigentlich müssten wir uns dieses Jahr in Basel treffen.
> Am Freitag, dem 20. April 2007?
Ich weiß zwar nicht, was am 20. April ist, aber am 15. April ist der 300.
Geburtstag von Euler:
http://www.euler-2007.ch/
Grüße
Jutta
Peter Luschny
> "Peter Luschny" <ven...@luschny.de> schrieb
Na also! Jetzt die Seite auch lesen!
"Vorgesehen sind u.a...."
Gruss Peter
Peter Luschny
> lowB(n) := 2*sqrt(2*Pi*n)*(n/(Pi*e*2))^n*((120*n^2+9)/(120*n^2-1))^n
> highB(n) :=
> 2*sqrt(Pi*(2*n+1)/e)*((240*n^2+240*n+69)/(240*n^2+240*n+79))^(n+1/2)
> *(1/2*(n+1/2)/(Pi*e))^n
> Für alle gerade n >= 38 gilt:
> lowB(n) < Bernoulli(n) < highB(n)
Hier fehlen die Absolutstriche: |Bernoulli(n)| oder, je nach
Gusto, ein entsprechender Vorzeichenpropeller.
Etwas besser zu lesen jetzt hier:
http://www.luschny.de/math/primes/bernincl.html
Gruss Peter
Peter Luschny
> "Peter Luschny" <ven...@luschny.de> schrieb
Genau. Ich habe mich eben dazu entschlossen
unser aller Meister meine Reverenz zu erweisen.
Am 20. April wird
"in der Basler Martinskirche, wo der kleine Leonhard
am 17. April 1707 getauft worden ist, eine Feier
stattfinden, zu der neben Vertretern der Behörden,
der Universität und der Akademien, an denen Euler
später gewirkt hat, auch die Öffentlichkeit eingeladen ist."
http://www.euler-2007.ch/festakt.htm
Sofern die mich rein lassen will ich versuchen dabei zu sein.
Wer an diesem Tag oder an diesem Wochenende auch in Basel ist,
mag mich gerne per Email ansprechen.
Gruss Peter
Peter Luschny
> Na also! Jetzt die Seite auch lesen!
... und bei der Gelegenheit werde ich Leonhard
fragen, wie man ein netter Mensch wird ...
Entschuldigung, aber der Orkan haut wirklich
auf die Ohren. Eben hat meine Schreibtischlampe
ihren Geist aufgegeben...
Gottfried Helms
>
> Die Ereignisse überstürzen sich. Langsam bekommen
> wir den guten alten Jakob zum rotieren ;-)
>
> Erst zum Frühstück die Meldung auf Wikipedia [1].
Eine sehr schöne Sache. Gratuliere!
--------------------
>
> Dann der irregulär gute Beitrag von Thomas M. in sci.math.symbolic
> jetzt auch auf [2]. Man vergleiche dazu auch [3].
Hiermit habe ich ja auch mal 'rumprobiert.
Was ich gerne ausbauen würde, ist, für eine irreguläre Primzahl
die Offsets für die Perioden gleicher Potenzen zu finden.
z.B. p=37
wenn ß_(n - 32) durch (p-1) teilbar ist, enthält ß_n den Faktor p^1
wenn ß_(n - 32 - 7*(p-1)) durch (p-1)*p teilbar ist, enthält ß_n den Faktor p^2
wenn ß_(n - 32 - 7*(p-1) - ??*(p-1)*p) durch (p-1)*p^2 teilbar ist, enthält ß_n den Faktor p^3
usw;
d.h. also die Liste der Offset-koeffizienten (32,7,??,...) für eine
Primzahl p (im Beispiel 37) zu bestimmen, wobei die Ähnlichkeit zur
Eulerschen Phi()-Funktion und den Periodizitäten bei den
einfachen zyklotomischen Funktionen ja unübersehbar ist -
lediglich gibt es hier eben verschiedene Offsets und sogar die
Möglichkeit mehrerer paralleler Perioden.
(Eventuell kann man die kurzen Perioden z.B. von p=7 in 2^n-1
hier ebenfalls einfach als 2 parallel laufende Standardperioden
ansehen, allerdings haben alle Perioden den Offset 0 ;...
bzw außer den Wieferichprimzahlen eventuell....)
Leider wachsen die erforderlichen n sehr schnell, so daß
der simple empirische Weg nicht viel bringt, besonders für größere
p.
Erste offene Frage: gibt es einen gangbaren Weg diese Offsets zu
bestimmen?
Zweite offene Frage: Wird die Liste für eine Primzahl p periodisch?
Dritte offene Frage: gibt es so eine Art Nullpunkt/gmeinsamen Offset n0,
so daß mit (n-n0) die ganz normale zyklotomische Exponentenregel
einsetzbar ist?
...
> Hier die öffentliche Premiere dieses absoluten Hammers:
> [ Bitte meine Damen und Herren, beachten sie, dass hier
> keine Fakultät vorkommt! ;) ]
>
> lowB(n) := 2*sqrt(2*Pi*n)*(n/(Pi*e*2))^n*((120*n^2+9)/(120*n^2-1))^n
> highB(n) := 2*sqrt(Pi*(2*n+1)/e)*((240*n^2+240*n+69)/(240*n^2+240*n+79))^(n+1/2)
> *(1/2*(n+1/2)/(Pi*e))^n
>
> Für alle gerade n >= 38 gilt:
>
> lowB(n) < Bernoulli(n) < highB(n)
Vielleicht kann ich mir heute abend daraus mal eine Pari-Funktion
basteln. Sieht großartig aus.
-----------------
>
> Angesichts der Sturmwarnung habe ich dann heute morgen die Bernoulli
> Zahlen erst einmal in eine sichere Inklusion weg gesperrt.
hier in Kassel isses immer noch ruhig...
>
> Eigentlich müssten wir uns dieses Jahr in Basel treffen.
> Am Freitag, dem 20. April 2007?
Das wär schon klasse. Mal sehen... Wenn's was werden sollte,
melde ich mich.
Gruß -
Gottfried
dem dabei gerade einfällt, daß das Copyright dieser fakultätsfreien
Funktion nicht etwa fakultativ von der Fakultät akquiriert werde,
sondern stets beim Künstler privatim verbleibe! ;-)
Peter Luschny
> Angesichts der Sturmwarnung habe ich dann heute morgen die Bernoulli
> Zahlen erst einmal in eine sichere Inklusion weg gesperrt.
Jetzt konnte ich die Näherung an die Bernoulli
Zahlen noch einmal verbessern.
Und habe dabei eine Art Schweizer-Messer-Formel
erfunden: Eine Entwicklung, die für X=0 eine untere
Schranke ist, für X=1 eine obere Schranke und für
X=1/2 eine Näherung.
'Eine' Näherung? Ha! Die beste die es gibt!
Nein? Dann erbitte ich Hinweise.
http://www.luschny.de/math/primes/bernincl.html
Gruss Peter
Hugo Pfoertner
>
> Jutta Gut schrieb:
> > "Peter Luschny" <ven...@luschny.de> schrieb
>
> >> Eigentlich müssten wir uns dieses Jahr in Basel treffen.
> >> Am Freitag, dem 20. April 2007?
>
> > Ich weiß zwar nicht, was am 20. April ist, aber am 15. April ist der
> > 300. Geburtstag von Euler:
> > http://www.euler-2007.ch/
>
> Genau. Ich habe mich eben dazu entschlossen
> unser aller Meister meine Reverenz zu erweisen.
>
> Am 20. April wird
>
> "in der Basler Martinskirche, wo der kleine Leonhard
> am 17. April 1707 getauft worden ist, eine Feier
> stattfinden, zu der neben Vertretern der Behörden,
> der Universität und der Akademien, an denen Euler
> später gewirkt hat, auch die Öffentlichkeit eingeladen ist."
>
> http://www.euler-2007.ch/festakt.htm
Dort weitergelesen:
"... Uraufführung einer Komposition, die eigens zu diesem Jubiläum in
Auftrag gegeben worden ist. ..."
Im Link dazu steht:
"Für das Euler-Jubiläum wurde bei der renommierten
polnisch-schweizerischen Komponistin Bettina Skrzypczak eine Komposition
in Auftrag gegeben, die beim öffentlichen Festakt uraufgeführt werden
soll. Es handelt sich um ein Stück für zwei Singstimmen und
Kammerorchester, das Texte aus Eulers Theorie der Mondbewegungen von
1772 und seinem Versuch einer neuen Musiktheorie von 1739 verarbeitet."
Zur Vorbereitung darauf muesste man dann wohl des Meisters
"Tentamen Novae Theoriae Mvsicae", On-Line auf
http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D293980.html
lesen, was bei einem Umfang von 263 Seiten eine nette Hausaufgabe ist.
>
> Sofern die mich rein lassen will ich versuchen dabei zu sein.
>
> Wer an diesem Tag oder an diesem Wochenende auch in Basel ist,
> mag mich gerne per Email ansprechen.
Ich blaettere schon im Kalender. Wahrscheinlcih wird's aber nix, weil
dieses Jahr die Skisaison als gerechter Ausgleich der bisherigen
Wetterkapriolen voraussichtlich von Anfang April bis Anfang Juni
stattfindet ;-)
Hugo
>
> Gruss Peter
Peter Luschny
>> Peter Luschny schrieb:
>> Eigentlich müssten wir uns dieses Jahr in Basel treffen.
>> http://www.euler-2007.ch/festakt.htm
>> Genau. Ich habe mich eben dazu entschlossen
>> unser aller Meister meine Reverenz zu erweisen.
>> Am 20. April wird
>>
>> "in der Basler Martinskirche, wo der kleine Leonhard
>> am 17. April 1707 getauft worden ist, eine Feier
>> stattfinden, zu der neben Vertretern der Behörden,
>> der Universität und der Akademien, an denen Euler
>> später gewirkt hat, auch die Öffentlichkeit eingeladen ist."
> Dort weitergelesen:
>
> "Für das Euler-Jubiläum wurde bei der renommierten
> polnisch-schweizerischen Komponistin Bettina Skrzypczak eine Komposition
> in Auftrag gegeben, die beim öffentlichen Festakt uraufgeführt werden
> soll. Es handelt sich um ein Stück für zwei Singstimmen und
> Kammerorchester, das Texte aus Eulers Theorie der Mondbewegungen von
> 1772 und seinem Versuch einer neuen Musiktheorie von 1739 verarbeitet."
>
> Zur Vorbereitung darauf muesste man dann wohl des Meisters
> "Tentamen Novae Theoriae Mvsicae", On-Line auf
> http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/cache/toc/D293980.html
> lesen, was bei einem Umfang von 263 Seiten eine nette Hausaufgabe ist.
Ich finde das klingt alles saugut. Und um die Theorie der Mondbewegungen
besser zu verstehen lässt uns Klaus entweder durch sein Fernrohr gucken
oder schreibt uns eines seiner schönen Applets ;-)
> Ich blaettere schon im Kalender. Wahrscheinlcih wird's aber nix, weil
> dieses Jahr die Skisaison als gerechter Ausgleich der bisherigen
> Wetterkapriolen voraussichtlich von Anfang April bis Anfang Juni
> stattfindet ;-)
Das muss sich nicht beißen. Mein bevorzugtes Skigebiet etwa liegt im
Berner Oberland und ist in 1+1/2 Stunden von Basel aus zu erreichen.
[-- Kannst du dich noch an einen dieser frühen James Bond Filme
erinnern, in dem Elisabeths geheimer Husar durch traumhafte Schnee-
landschaften düst (und das zu einer Zeit, als Willi Bogner den
rechten Ski noch nicht vom linken unterscheiden konnte? Das ist es. --]
Also alles nur eine Sache der Planung.
Gruss Peter
Peter Luschny
> Peter Luschny schrieb:
>> Jutta Gut schrieb:
>>>> Eigentlich müssten wir uns dieses Jahr in Basel treffen.
>>> .. aber am 15. April ist der 300. Geburtstag von Euler:
>> http://www.euler-2007.ch/festakt.htm
>> "in der Basler Martinskirche, wo der kleine Leonhard
>> am 17. April 1707 getauft worden ist, eine Feier stattfinden,
Aber eigentlich ist es ja blöd, dass dann hier in diesem Thread
in einer Tour nur von 'Bernoulli-Zahlen' gesprochen wird.
Also habe ich mir gedacht, was dem Jakob recht ist, ist dem Leonhard
billig. Und hier ist mein kleines Geburtstagsgeschenk für ihn, eine
asymptotische Näherung an die Euler Zahlen.
|euler(n)| ~ 4*sqrt((2*n)/Pi)*(2*n/(Pi*e))^n*((240*n^2+18)/(240*n^2-2))^n
Damit erhält man euler(1000) ~ 0.3887561841253070612..*10^2372.
Der genaue Wert euler(1000) = 0.3887561841253070615..*10^2372.
Sind etwa 18,2 gültige Dezimalstellen. Vergleichen wir es mit der
Formel (20) auf Mathworld [1].
|euler(2n)| ~ 8*sqrt(n/Pi)*(4*n/(Pi*e))^(2n)
Damit erhalten wir euler(1000) ~ 0.38872..*10^2372, das sind
gerade mal 4 gültige Stellen.
Eigentlich müssten die Basler mich jetzt zur Geburtstagsfeier
zulassen, was meint ihr?
Gruss Peter
[1] http://mathworld.wolfram.com/EulerNumber.html