Das Kalenderblatt 091203
WM
from a source domain, which is familiar, to a target domain, which is
less so. This correspondence also preserves inferences. That is,
statements linked in the source domain are mapped onto similarly
linked statements in the target domain. They begin their discussion of
mathematical metaphor by discussing at length the four basic grounding
metaphors of arithmetic. The first maps ideas involving object
collections onto arithmetic. The size of a pile of bricks, for
example, suggests a number, and a bigger pile suggests a greater
number; our understanding of the notion arithmetical closure. The
source domain - the pile of bricks - is an object collection, and the
target domain is arithemetic. This the first of four basic grounding
metaphors for arithmetic. Another is that of the measuring stick. The
length of a physical segment is associated with the size of a number,
and so on. Similar metaphorical correspondences exist between
arithmetic and motion.
Throughout the book the authors attempt to demystify mathematical
thought, stressing that the source of mathematical ideas is not
radically different from the source of other, more commonplace
notions. They point out, for example, that our understanding of
algebraic variables is similar to our understanding of pronouns.
"Whoever did this was sick" should be compared to "If X + 2 = 7, then
X = 5". Contrariwise they show that misunderstanding can also flow
from these prosaic notions. {{In fact. Religious belief and
superstition are based on the same grounds.}}
The book requires a bit more mathematics than many general readers are
likely to possess, but one of its pleasures is that it treats numerous
areas of mathematics and doesn't skip over all the details. In the
more technical second half of the volume, the authors deal with
infinity and the many applications of the basic metaphor of infinity
(BMI), proposing that the idea of an actual (not merely potential)
infinity derives metaphorically from the notion of the result of a
process. Not surprisingly, we conceptualize the result of an infinite
unending process in analogy to the result of a completed process that
does have an end. {{Den darin begründeten Fehler sollten sogar geistig
minderbemittelte erkennen können.}} The authors hypothesize that all
cases of actual infinity in mathematics derive from different and
often nonobvious applications of the BMI. Transfinite cardinal numbers
and ordinal numbers, for example, stem from quite distinct uses of the
BMI, one having to do with infinite collections, the other with
infinite lists {{and none having to do with a world that is
independent of human thinking. Hence no individual excluded from human
thinking can result.}}.
This review of WHERE MATHEMATICS COMES FROM appeared in the Winter
issue of THE AMERICAN SCHOLAR. (copyright 2002)
Where Mathematics Comes From, written by George Lakoff and Rafael
Nunez, published by Basic, and reviewed here by John Allen Paulos.
http://www.math.temple.edu/~paulos/lakoff.html
Gruß, WM
Rainer Rosenthal
> {{Den darin begrï¿œndeten Fehler sollten sogar geistig
> minderbemittelte erkennen kï¿œnnen.}}
Ist Dir bewusst, dass solche ï¿œuï¿œerungen verletzend wirken
kï¿œnnten? Welchen Sinn soll denn solch ein Angriff haben?
Die Debatte um die rationalen Zahlen im Intervall [0,3],
die mit all ihren Wintermï¿œntelchen ( der Breite 1/n um
die n-te rationale Zahl q_n) dieses nicht ï¿œberdecken
kï¿œnnen, obwohl sie ja darin dicht liegen, zeigt nach meinem
harmlos naiven Verstï¿œndnis, dass Deine und meine Wirklichkeit
genug Anlass liefert, die von Cantor&Co. entwickelten
Gedanken und Sprechweisen als Bereicherung unserer
Bildung zu akzeptieren.
Naives Verstï¿œndnis und geistige Minderbemitteltheit sind
nach meiner Meinung aber voneinander unterscheidbar.
Im Falle der von Dir stets gepriesenen paradiesischen
Unschuld der von Mengenlehre verschont gebliebenen Menschen
setztst Du ja sogar deren naives Verstï¿œndnis fast mit geistiger
Vollkommenheit gleich.
Ich schï¿œtze Wolfgang Thumsers Beitrï¿œge ungeheuer, bin aber
verunsichert, ob er es ernst damit meint, dass wir bei
den Debatten um das Unendliche lediglich ï¿œber Manipulationen
von Zeichenreihen sprechen. Die von Jutta Gut vor lï¿œngerer
Zeit in die Debatte eingefï¿œhrte Betrachtung von Courant
und Robbins hat mir gut gefallen und bestï¿œrkt mich in der
Meinung, dass es schade wï¿œre, sich stur hinter der
Meinung zu verschanzen "Unendlich ist unendlich - und mehr
geht nicht - basta!".
Ein Mensch mit dieser Schutzhaltung muss ja auch nicht gleich
verunglimpft werden, und dank Wolfgang Thumsers sachlicher
Art habe ich mir inzwischen auch abgewï¿œhnt, polemisch zu
reagieren.
Mit freundlichem Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Albrecht
> WM schrieb:
>
> > {{Den darin begründeten Fehler sollten sogar geistig
> > minderbemittelte erkennen können.}}
>
> Ist Dir bewusst, dass solche Äußerungen verletzend wirken
> könnten? Welchen Sinn soll denn solch ein Angriff haben?
>
> Die Debatte um die rationalen Zahlen im Intervall [0,3],
> die n-te rationale Zahl q_n) dieses nicht überdecken
> können, obwohl sie ja darin dicht liegen, zeigt nach meinem
> harmlos naiven Verständnis, dass Deine und meine Wirklichkeit
> genug Anlass liefert, die von Cantor&Co. entwickelten
> Gedanken und Sprechweisen als Bereicherung unserer
> Bildung zu akzeptieren.
Da Du dem harmlosen, naiven Verständnis durchaus zugetan scheinst,
sollte Dir doch auch der harmlose, naive Beweis, dass eine unendliche
Anzahl in sich logisch widersprüchlich ist, nahegehen. Hier nochmal:
Wenn unendlich viele Objekte instantan vorliegen, sollte deren Anzahl
doch offensichtlich "unendlich" sein. Sind nun diese Objekte
natürliche Zahlen, und diese paarweise verschieden, so müsste eine
dieser Zahlen "unendlich" sein damit unendlich viele von diesen
vorliegen können. Aber es gibt eben keine natürliche Zahl
"unendlich" (bzw. ist der Begriff einer unendlichen natürlichen Zahl
ebenso denkwidersprüchlich wie der Begriff einer unendlichen Menge).
Damit ist aber nicht einfach nur die Existenz einer aktual unendlichen
Menge natürlicher Zahlen unlogisch, sondern aktual unendliche Mengen
jeder beliebigen Art verstossen gegen das logische Denkprinzip.
Dass es unendlich viel natürliche Zahlen gibt, aber eben keine Menge
aller dieser Zahlen, damit must Du klarkommen.
Gruß
Albrecht
>
> Naives Verständnis und geistige Minderbemitteltheit sind
> nach meiner Meinung aber voneinander unterscheidbar.
> Im Falle der von Dir stets gepriesenen paradiesischen
> Unschuld der von Mengenlehre verschont gebliebenen Menschen
> setztst Du ja sogar deren naives Verständnis fast mit geistiger
> Vollkommenheit gleich.
>
> Ich schätze Wolfgang Thumsers Beiträge ungeheuer, bin aber
> verunsichert, ob er es ernst damit meint, dass wir bei
> den Debatten um das Unendliche lediglich über Manipulationen
> von Zeichenreihen sprechen. Die von Jutta Gut vor längerer
> Zeit in die Debatte eingeführte Betrachtung von Courant
> und Robbins hat mir gut gefallen und bestärkt mich in der
> Meinung, dass es schade wäre, sich stur hinter der
> Meinung zu verschanzen "Unendlich ist unendlich - und mehr
> geht nicht - basta!".
>
> Ein Mensch mit dieser Schutzhaltung muss ja auch nicht gleich
> verunglimpft werden, und dank Wolfgang Thumsers sachlicher
> Art habe ich mir inzwischen auch abgewöhnt, polemisch zu
> reagieren.
>
> Mit freundlichem Gruß,
> Rainer Rosenthal
> r.rosent...@web.de
Rainer Rosenthal
>
> Wenn unendlich viele Objekte instantan vorliegen, sollte deren Anzahl
> doch offensichtlich "unendlich" sein. Sind nun diese Objekte
> dieser Zahlen "unendlich" sein damit unendlich viele von diesen
> "unendlich" (bzw. ist der Begriff einer unendlichen natï¿œrlichen Zahl
> ebenso denkwidersprï¿œchlich wie der Begriff einer unendlichen Menge).
Wenn unendlich viele Objekte vorliegen, dann haben sie erst einmal
ï¿œberhaupt keine Anzahl. Denn Anzahlen sind endliche Zahlen.
Der Schritt, den es zu begreifen gilt, und den ich fï¿œr gangbar
halte, ist der, ï¿œber den Abbildungs-Begriff Mengen zu vergleichen.
Und da sieht man dann, dass die Menge der rationalen Zahlen einein-
deutig der Menge der natï¿œrlichen Zahlen zugeordnet werden kann.
Somit entsprechen diese beiden Mengen dem intuitiven Verstï¿œndnis
von "gleich gross". Alle zu der Menge der natï¿œrlichen Zahlen in
diesem Sinne gleich grossen Mengen haben also etwas gemeinsam. Und
dies Gemeinsame, ihre Kardinalitï¿œt, erweitert den bekannten Zahlenraum.
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
>
>
> > Wenn unendlich viele Objekte instantan vorliegen, sollte deren Anzahl
> > doch offensichtlich "unendlich" sein. Sind nun diese Objekte
> > dieser Zahlen "unendlich" sein damit unendlich viele von diesen
> > "unendlich" (bzw. ist der Begriff einer unendlichen natürlichen Zahl
> > ebenso denkwidersprüchlich wie der Begriff einer unendlichen Menge).
>
> Wenn unendlich viele Objekte vorliegen, dann haben sie erst einmal
> Der Schritt, den es zu begreifen gilt, und den ich für gangbar
> halte, ist der, über den Abbildungs-Begriff Mengen zu vergleichen.
> Und da sieht man dann, dass die Menge der rationalen Zahlen einein-
> Somit entsprechen diese beiden Mengen dem intuitiven Verständnis
> von "gleich gross". Alle zu der Menge der natürlichen Zahlen in
> diesem Sinne gleich grossen Mengen haben also etwas gemeinsam. Und
>
Sicherlich gibt es in dieser Hinsicht einen qualitativen Unterschied
zwischen z.B. der Klasse der natürlichen und z.B. der Klasse der
reellen Zahlen. Indem Cantor et al. diesen Unterschied auf eine
quantitative Ebene rückt, über den modernen Kardinalzahlbegriff, wird
man m.E. der Sache nicht gerecht. Es handelt sich eben um einen
qualitativen Unterschied der sich in der Anordenbarkeit der Elemente
äußert, nicht in deren "Anzahl". Gib mir mal ein Beispiel für eine
anschauliche Menge mit der Kardinalzahl aleph_2. Das kannst Du nicht.
Alles was kardinalzahlmäßig über die reellen Zahlen hinausgeht, sind
Hirngespinste. Cantor hat damit also ein unendlichstufiges Universum
kreiert, von dem dem wir nicht einmal einen vernünftigen Begriff der
ersten beiden Stufen haben. Und danach kommt nur noch Nebel. Das ist
einfach nur sinnlos.
Gruß
Albrecht
Gus Gassmann
> Sicherlich gibt es in dieser Hinsicht einen qualitativen Unterschied
> reellen Zahlen. Indem Cantor et al. diesen Unterschied auf eine
> man m.E. der Sache nicht gerecht. Es handelt sich eben um einen
> qualitativen Unterschied der sich in der Anordenbarkeit der Elemente
> anschauliche Menge mit der Kardinalzahl aleph_2. Das kannst Du nicht.
Die Menge der reellwertigen Funktionen auf IR...
> Alles was kardinalzahlm��ig �ber die reellen Zahlen hinausgeht, sind
> Hirngespinste. Cantor hat damit also ein unendlichstufiges Universum
> kreiert, von dem dem wir nicht einmal einen vern�nftigen Begriff der
> ersten beiden Stufen haben. Und danach kommt nur noch Nebel. Das ist
> einfach nur sinnlos.
>
> Gru�
> Albrecht
fiesh
> Albrecht wrote:
>> Sicherlich gibt es in dieser Hinsicht einen qualitativen Unterschied
>> zwischen z.B. der Klasse der nat�rlichen und z.B. der Klasse der
>> reellen Zahlen. Indem Cantor et al. diesen Unterschied auf eine
>> quantitative Ebene r�ckt, �ber den modernen Kardinalzahlbegriff, wird
>> man m.E. der Sache nicht gerecht. Es handelt sich eben um einen
>> qualitativen Unterschied der sich in der Anordenbarkeit der Elemente
>> �u�ert, nicht in deren "Anzahl". Gib mir mal ein Beispiel f�r eine
>> anschauliche Menge mit der Kardinalzahl aleph_2. Das kannst Du nicht.
>
> Die Menge der reellwertigen Funktionen auf IR...
Das ist natuerlich im allgemeinen falsch und folgt nicht mal aus der
Kontinuumshypothese...
>> Alles was kardinalzahlm��ig �ber die reellen Zahlen hinausgeht, sind
>> Hirngespinste. Cantor hat damit also ein unendlichstufiges Universum
>> kreiert, von dem dem wir nicht einmal einen vern�nftigen Begriff der
>> ersten beiden Stufen haben. Und danach kommt nur noch Nebel. Das ist
>> einfach nur sinnlos.
... was aber gut passt, denn Albrecht scheint auch nicht verstanden zu
haben, dass die reellen Zahlen im allgemeinen nicht Maechtigkeit aleph_1
besitzen.
--
fiesh
Gus Gassmann
> On 2009-12-03, Gus Gassmann <horand....@gmail.com> wrote:
>> Albrecht wrote:
>>> Sicherlich gibt es in dieser Hinsicht einen qualitativen Unterschied
>>> zwischen z.B. der Klasse der nat�rlichen und z.B. der Klasse der
>>> reellen Zahlen. Indem Cantor et al. diesen Unterschied auf eine
>>> quantitative Ebene r�ckt, �ber den modernen Kardinalzahlbegriff, wird
>>> man m.E. der Sache nicht gerecht. Es handelt sich eben um einen
>>> qualitativen Unterschied der sich in der Anordenbarkeit der Elemente
>>> �u�ert, nicht in deren "Anzahl". Gib mir mal ein Beispiel f�r eine
>>> anschauliche Menge mit der Kardinalzahl aleph_2. Das kannst Du nicht.
>> Die Menge der reellwertigen Funktionen auf IR...
> Das ist natuerlich im allgemeinen falsch und folgt nicht mal aus der
> Kontinuumshypothese...
Es folgt aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese, und eigentlich
wollte ich Albrecht nur ein bisschen auf den Arm nehmen.
Peter Niessen
>>> Alles was kardinalzahlm��ig �ber die reellen Zahlen hinausgeht, sind
>>> Hirngespinste. Cantor hat damit also ein unendlichstufiges Universum
>>> kreiert, von dem dem wir nicht einmal einen vern�nftigen Begriff der
>>> ersten beiden Stufen haben. Und danach kommt nur noch Nebel. Das ist
>>> einfach nur sinnlos.
>
> ... was aber gut passt, denn Albrecht scheint auch nicht verstanden zu
> haben, dass die reellen Zahlen im allgemeinen nicht Maechtigkeit aleph_1
> besitzen.
Wenn CH gilt sollte auch |R|= aleph_1 gelten. Oder sehe ich das falsch?
--
Mit freundlichen Gr�ssen:
Peter Niessen
fiesh
Richtig, denn das ist die Definition von CH.
--
fiesh
Peter Niessen
>> Sicherlich gibt es in dieser Hinsicht einen qualitativen Unterschied
>> zwischen z.B. der Klasse der nat�rlichen und z.B. der Klasse der
>> reellen Zahlen. Indem Cantor et al. diesen Unterschied auf eine
>> quantitative Ebene r�ckt, �ber den modernen Kardinalzahlbegriff, wird
>> man m.E. der Sache nicht gerecht. Es handelt sich eben um einen
>> qualitativen Unterschied der sich in der Anordenbarkeit der Elemente
>> �u�ert, nicht in deren "Anzahl". Gib mir mal ein Beispiel f�r eine
>> anschauliche Menge mit der Kardinalzahl aleph_2. Das kannst Du nicht.
>
> Die Menge der reellwertigen Funktionen auf IR...
Warum direkt so eine "Monstermenge"
Die Menge der Funktionen f:R -> {0 1} reicht doch schon ;-)
Ulrich Lange
>>> [...] Gib mir mal ein Beispiel f�r eine
>>> anschauliche Menge mit der Kardinalzahl aleph_2. Das kannst Du nicht.
>> Die Menge der reellwertigen Funktionen auf IR...
>
> Das ist natuerlich im allgemeinen falsch und folgt nicht mal aus der
> Kontinuumshypothese...
>
>>> Alles was kardinalzahlm��ig �ber die reellen Zahlen hinausgeht, sind
>>> Hirngespinste.
Wenn mein laienhaftes Verst�ndnis des popul�rwissenschaftlichen Artikels
von J.P.Delahaye im Spektrum Dossier 6/09 richtig ist, werden in der
Mengenlehre gerade ziemlich ernsthaft Erweiterungen von ZFC diskutiert,
in denen die Kontinuumshypothese falsch ist: Die M�chtigkeit der (IMHO
anschaulichen) Menge IR w�re dann aleph_2. (W�re dann aleph_1 ein
"Hirngespinst"? Fragen �ber Fragen... ;-) )
Delahaye schreibt �brigens interessanterweise, da� eine solche
Erweiterung von ZFC keine reine Willk�r w�re, sondern zwangsl�ufig, wenn
man bestimmte "Qualit�tskriterien" f�r Axiomensysteme fordert.
--
Gru�, Ulrich Lange
(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)
Albrecht
> On 2009-12-03, Gus Gassmann <horand.gassm...@gmail.com> wrote:
>
> > Albrecht wrote:
> >> Sicherlich gibt es in dieser Hinsicht einen qualitativen Unterschied
> >> reellen Zahlen. Indem Cantor et al. diesen Unterschied auf eine
> >> man m.E. der Sache nicht gerecht. Es handelt sich eben um einen
> >> qualitativen Unterschied der sich in der Anordenbarkeit der Elemente
> >> anschauliche Menge mit der Kardinalzahl aleph_2. Das kannst Du nicht.
>
> > Die Menge der reellwertigen Funktionen auf IR...
>
> Das ist natuerlich im allgemeinen falsch und folgt nicht mal aus der
> Kontinuumshypothese...
>
> >> Hirngespinste. Cantor hat damit also ein unendlichstufiges Universum
> >> ersten beiden Stufen haben. Und danach kommt nur noch Nebel. Das ist
> >> einfach nur sinnlos.
>
> ... was aber gut passt, denn Albrecht scheint auch nicht verstanden zu
> haben, dass die reellen Zahlen im allgemeinen nicht Maechtigkeit aleph_1
> besitzen.
Soso, im allgemeinen nicht, aber im besonderen schon? Was soll denn
daran zu verstehen sein? Jeder kann doch behaupten was er will, weil
er sich ja im Nachhinein auf sein privates Axiomensystem zurückziehen
kann. Ich habe schon verstanden dass Mathematiker heutzutage eher in
Rethorik geschult werden müssen als in Logik oder Analysis. :-)
Gruß
Albrecht
fiesh
> Wenn mein laienhaftes Verst�ndnis des popul�rwissenschaftlichen Artikels
> von J.P.Delahaye im Spektrum Dossier 6/09 richtig ist, werden in der
> Mengenlehre gerade ziemlich ernsthaft Erweiterungen von ZFC diskutiert,
> in denen die Kontinuumshypothese falsch ist: Die M�chtigkeit der (IMHO
> anschaulichen) Menge IR w�re dann aleph_2. (W�re dann aleph_1 ein
> "Hirngespinst"? Fragen �ber Fragen... ;-) )
Das ist richtig, omega_2 ist in vielerlei Hinsicht ein sehr
"natuerlicher" Wert fuer das Kontinuum. Ich kenne den Artikel nicht,
aber er wird vermutlich von Forcingaxiomen wie PFA oder MM sprechen,
oder, was damit verbunden ist, von Woodin's Axiom (*) und seiner
Omega Logik.
Witzigerweise ist omega_1 in gewisser Hinsicht dann wirklich ein
"Hirngespinnst", weil es keine "einfachen" Mengen reeller Zahlen mit
Maechtigkeit omega_1 gibt.
> Delahaye schreibt �brigens interessanterweise, da� eine solche
> Erweiterung von ZFC keine reine Willk�r w�re, sondern zwangsl�ufig, wenn
> man bestimmte "Qualit�tskriterien" f�r Axiomensysteme fordert.
Es ist zum Beispiel so, dass der Beweis von PFA -> 2^omega = omega_2
einige Zeit gebraucht hat und keineswegs einfach ist. Hier hat man also
das Phaenomen, dass ein Axiom wie PFA, das a priori nichts ueber die
Groesse des Kontinuum zu sagen scheint (ausser, dass CH falsch ist),
und aus einer ganz anderen Richtung kommt, dieses doch etwas
ueberraschend festlegt.
Zwar ist PFA vielleicht nicht unbedingt natuerlich, seine Verstaerkung
MM aber doch, wuerde ich sagen.
--
fiesh
fiesh
> kann. Ich habe schon verstanden dass Mathematiker heutzutage eher in
Wenn du nicht weisst, was "im allgemeinen" bedeutet, so ist vielleicht
doch nocht nicht die rechte Zeit gekommen, um die Grundlagen der
Mathematik gaenzlich umzukrempeln? :-)
--
fiesh
Albrecht
Du sprichst in Raetseln. Was soll den "im allgemeinen" anderes
bedeuten als "im allgemeinen"???
AS
Rudolf Sponsel
> Albrecht schrieb:
>> Wenn unendlich viele Objekte instantan vorliegen, sollte deren Anzahl
>> doch offensichtlich "unendlich" sein. Sind nun diese Objekte
>> natï¿œrliche Zahlen, und diese paarweise verschieden, so mï¿œsste eine
>> dieser Zahlen "unendlich" sein damit unendlich viele von diesen
>> vorliegen kï¿œnnen. Aber es gibt eben keine natï¿œrliche Zahl
>> "unendlich" (bzw. ist der Begriff einer unendlichen natï¿œrlichen Zahl
>> ebenso denkwidersprï¿œchlich wie der Begriff einer unendlichen Menge).
>
> Wenn unendlich viele Objekte vorliegen, dann haben sie erst einmal
> ï¿œberhaupt keine Anzahl. Denn Anzahlen sind endliche Zahlen.
> Der Schritt, den es zu begreifen gilt, und den ich fï¿œr gangbar
> halte, ist der, ï¿œber den Abbildungs-Begriff Mengen zu vergleichen.
> Und da sieht man dann, dass die Menge der rationalen Zahlen einein-
> deutig der Menge der natï¿œrlichen Zahlen zugeordnet werden kann.
> Somit entsprechen diese beiden Mengen dem intuitiven Verstï¿œndnis
> von "gleich gross". Alle zu der Menge der natï¿œrlichen Zahlen in
In meinem Denken gewiss nicht. Das bijektive Zuordnungsspiel ist in dem
Beispiel ein Spiel ohne Ende, aus dem fï¿œr die Anzahl nichts ausser dem
bekannten Unsinn folgt. Zï¿œhlen und messen sind endliche Angelegenheiten, die
im Endlichen ja auch unbestritten gut funktionieren. Man muss fertig werden,
sonst ist es kein Zï¿œhlen und Messen, sondern auf gut bayrisch ein drei
Pï¿œnktchen-Schmarren.
> diesem Sinne gleich grossen Mengen haben also etwas gemeinsam. Und
> dies Gemeinsame, ihre Kardinalitï¿œt, erweitert den bekannten Zahlenraum.
>
> Gruￜ,
> Rainer Rosenthal
> r.ros...@web.de
Rudolf Sponsel, Erlangen
Herbert Newman
> Albrecht schrieb:
>>
>> Wenn unendlich viele Objekte [...] vorliegen, sollte deren Anzahl
>> doch offensichtlich "unendlich" sein.
Wenn wir mit Frege unter /Anzahl/ das verstehen, was Cantor mit
/Kardinalzahl/ bezeichnet hat, dann sollte deren "Anzahl" (bzw.
"Kardinalzahl") in der Tat eine _unendliche_ (im Gegensatz zu einer
_endlichen_) sein. :-)
>> Sind nun diese Objekte nat�rliche Zahlen, und diese paarweise ver-
>> schieden, so m�sste eine dieser Zahlen "unendlich" sein damit unend-
>> lich viele von diesen vorliegen k�nnen.
N�, denn es gibt _unendlich viel_ "endliche" (also nat�rliche) Zahlen. :-)
Im Rahmen der axiomatischen Mengenlehre (z. B. ZFC) kann man leicht be-
weisen, dass die Menge der nat�rlichen Zahlen [wo jede eine _endliche_
Menge/Kardinalzahl ist], unendlich ist.
Herbert
Herbert Newman
> Albrecht wrote:
>>
>> Gib mir mal ein Beispiel f�r eine anschauliche Menge mit [einer]
>> Kardinalzahl [gr��er als] aleph_1.
>>
> Die Menge der reellwertigen Funktionen auf IR...
Oder die Menge
M := {f e IR x {0, 1} : f: IR --> {0, 1}}
>> Alles was kardinalzahlm��ig �ber die reellen Zahlen hinausgeht, sind
>> Hirngespinste.
Ah ja? Die Menge aller charakteristischen Funktionen auf IR ist also ein
Gehirngespinst? Na wenn das (verkannte) Mathe-Genie meint... :-)
>> [...] Das ist einfach nur sinnlos.
In der Tat, das sehe ich auch so: so viel Selbsterkenntnis h�tte ich Dir
gar nicht zugetraut. :-)
Herbert
Rainer Rosenthal
> Rainer Rosenthal schrieb:
>> Und da sieht man dann, dass die Menge der rationalen Zahlen einein-
>> deutig der Menge der natï¿œrlichen Zahlen zugeordnet werden kann.
>> Somit entsprechen diese beiden Mengen dem intuitiven Verstï¿œndnis
>> von "gleich gross". Alle zu der Menge der natï¿œrlichen Zahlen in
>
> In meinem Denken gewiss nicht. Das bijektive Zuordnungsspiel ist in dem
> Beispiel ein Spiel ohne Ende, aus dem fï¿œr die Anzahl nichts ausser dem
> bekannten Unsinn folgt. Zï¿œhlen und messen sind endliche Angelegenheiten, die
> im Endlichen ja auch unbestritten gut funktionieren. Man muss fertig werden,
> sonst ist es kein Zï¿œhlen und Messen, sondern auf gut bayrisch ein drei
> Pï¿œnktchen-Schmarren.
Hallo Rudolf,
dass eine eins-zu-eins Beziehung zwischen den positiven Brï¿œchen und den
natï¿œrlichen Zahlen herstellbar ist, hatten wir doch bereits mal gemeinsam
erarbeitet, oder? Das ist doch dann kein Schmarren sondern schon die
halbe Miete. Bleibt dann bloss noch die andere Hï¿œlfte, um in den Vorhof
der Hï¿œlle (aka Mengenlehre) zu gelangen: sich klat zu machen, dass eine
solche eins-zu-eins Beziehung zwischen natï¿œrlichen und irrationalen Zahlen
unmï¿œglich ist.
Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
Michael Klemm
> Rudolf Sponsel schrieb:
>> Rainer Rosenthal schrieb:
>>> Und da sieht man dann, dass die Menge der rationalen Zahlen einein-
>>> Somit entsprechen diese beiden Mengen dem intuitiven Verst�ndnis
>>> von "gleich gross". Alle zu der Menge der nat�rlichen Zahlen in
>>
>> In meinem Denken gewiss nicht. Das bijektive Zuordnungsspiel ist in dem
>> bekannten Unsinn folgt. Z�hlen und messen sind endliche Angelegenheiten,
>> im Endlichen ja auch unbestritten gut funktionieren. Man muss fertig
>> werden,
>> P�nktchen-Schmarren.
>
> Hallo Rudolf,
>
> dass eine eins-zu-eins Beziehung zwischen den positiven Br�chen und den
> nat�rlichen Zahlen herstellbar ist, hatten wir doch bereits mal gemeinsam
> erarbeitet, oder? Das ist doch dann kein Schmarren sondern schon die
> der H�lle (aka Mengenlehre) zu gelangen: sich klat zu machen, dass eine
> solche eins-zu-eins Beziehung zwischen nat�rlichen und irrationalen Zahlen
> unm�glich ist.
Hallo Rainer und Rudolf,
zwei gleichm�chtige unendliche Mengen als gleich gro� zu bezeichnen und dann
auch noch zu behaupten, dies w�rde dem intuitiven Verst�ndnis entsprechen,
halte ich f�r eine schlimme Unsitte. Oder findest einer von Euch beiden,
dass die Intervalle A, der reellen Zahlen zwischen 1 und 2, und B,
derjenigen zwischen 3 und 6, gleich gro� (eventuell sogar gleich lang) sind?
Andererseits kann man im K�rper der reellen Zahlen B = {3a | a e A}
und umgekehrt A = {b/3 | b e B} schreiben, was beweist, dass die
Mengen A und B gleichm�chtig sind.
Entsprechendes gilt �brigens auch in endlichen K�rpern mit
1+1+1 ungleich 0. Man wird also ganz ohne
drei P�nktchen-Schmarren sehr schnell fertig.
Gru�
Michael
Ulrich Lange
> On 2009-12-04, Ulrich Lange <ulrich...@invalid.invalid> wrote:
>> Wenn mein laienhaftes Verst�ndnis des popul�rwissenschaftlichen Artikels
>> von J.P.Delahaye im Spektrum Dossier 6/09 richtig ist, werden in der
>> Mengenlehre gerade ziemlich ernsthaft Erweiterungen von ZFC diskutiert,
>> in denen die Kontinuumshypothese falsch ist: Die M�chtigkeit der (IMHO
>> anschaulichen) Menge IR w�re dann aleph_2. (W�re dann aleph_1 ein
>> "Hirngespinst"? Fragen �ber Fragen... ;-) )
>
> Das ist richtig, omega_2 ist in vielerlei Hinsicht ein sehr
> "natuerlicher" Wert fuer das Kontinuum. Ich kenne den Artikel nicht,
> aber er wird vermutlich von Forcingaxiomen wie PFA oder MM sprechen,
> oder, was damit verbunden ist, von Woodin's Axiom (*) und seiner
> Omega Logik.
Hallo Fiesh,
ja, genau darum geht es in dem Artikel.
> Witzigerweise ist omega_1 in gewisser Hinsicht dann wirklich ein
> "Hirngespinnst", weil es keine "einfachen" Mengen reeller Zahlen mit
> Maechtigkeit omega_1 gibt.
>
>> Delahaye schreibt �brigens interessanterweise, da� eine solche
>> Erweiterung von ZFC keine reine Willk�r w�re, sondern zwangsl�ufig, wenn
>> man bestimmte "Qualit�tskriterien" f�r Axiomensysteme fordert.
>
> Es ist zum Beispiel so, dass der Beweis von PFA -> 2^omega = omega_2
> einige Zeit gebraucht hat und keineswegs einfach ist. Hier hat man also
> das Phaenomen, dass ein Axiom wie PFA, das a priori nichts ueber die
> Groesse des Kontinuum zu sagen scheint (ausser, dass CH falsch ist),
> und aus einer ganz anderen Richtung kommt, dieses doch etwas
> ueberraschend festlegt.
>
> Zwar ist PFA vielleicht nicht unbedingt natuerlich, seine Verstaerkung
> MM aber doch, wuerde ich sagen.
Delahaye nennt drei Kriterien f�r "gute" neue Axiome (die ich hier mal
w�rtlich zitiere, um nichts falsch zu machen :-) ):
"Ein solches Axiom mu�
- relativ widerspruchsfrei sein, das hei�t es darf, zu ZFC hinzugef�gt,
keinen neuen Widerspruch erzeugen.
- mit dem Prinzip des ontologischen Maximalismus, das hei�t insbesondere
mit den bekannten Axiomen f�r gro�e Kardinalzahlen, vertr�glich sein.
- m�glichst gro�e, neue Teile des Universums der Mengen stabilisieren."
Das habe ich oben mit "Delahayes Qualit�tskriterien" gemeint. Er
schreibt, da� Woodins Axiom WMM h�chstwahrscheinlich diese Kriterien
erf�llt (bzgl. "ontologischem Maximalismus" gibt es wohl noch offene
Punkte) und das aus WMM h�chstwahrscheinlich 2^omega0 = omega2 folgt.
(Was er -- �hnlich wie Du bei PFA -- bemerkenswert findet, weil WMM
erstmal nichts mit der Kontinuumshypothese zu tun hat).
Herbert Newman
> [...] da sieht man dann, dass die Menge der rationalen Zahlen ein-
> eindeutig der Menge der nat�rlichen Zahlen zugeordnet werden kann.
> Somit entsprechen diese beiden Mengen dem intuitiven Verst�ndnis
> von "gleich gross".
Naja, da w�rde ich doch lieber sagen: ... "gleichviel". ;-)
Hier hat jemand das Beispiel von z. B. reellen Intervallen gebracht. So
w�rde _ich_ nicht sagen, dass die Intervalle [0, 1] und [0, 2] "gleichgro�"
sind; wohl aber, dass Aufgrund der Bijektion f(x) = 2*x zwischen [0, 1] und
[0, 2] die beiden Intervalle "gleichviele" Punkte besitzen.
"Herbert"
Rainer Rosenthal
> zwei gleichmￜchtige unendliche Mengen als gleich groￜ zu bezeichnen und dann
> auch noch zu behaupten, dies wï¿œrde dem intuitiven Verstï¿œndnis entsprechen,
> halte ich fï¿œr eine schlimme Unsitte. Oder findest einer von Euch beiden,
> dass die Intervalle A, der reellen Zahlen zwischen 1 und 2, und B,
> derjenigen zwischen 3 und 6, gleich groￜ (eventuell sogar gleich lang) sind?
>
> Andererseits kann man im Kï¿œrper der reellen Zahlen B = {3a | a e A}
> und umgekehrt A = {b/3 | b e B} schreiben, was beweist, dass die
> Mengen A und B gleichmï¿œchtig sind.
> Entsprechendes gilt ï¿œbrigens auch in endlichen Kï¿œrpern mit
> 1+1+1 ungleich 0. Man wird also ganz ohne
> drei Pï¿œnktchen-Schmarren sehr schnell fertig.
Mir ist Dein Einwand nicht klar geworden. Was hast Du denn anderes getan
als die Gleichmï¿œchtigkeit mittels der Bijektion a ---> 3a zu zeigen?
Der Einwand gegen die Ausdrucksweise "gleich groￜ" ist lediglich eine
Geschmacksfrage. Der Ausdruck "gleich lang" ist schlicht falsch.
Gruￜ,
RR
Michael Klemm
..........
> Mir ist Dein Einwand nicht klar geworden. Was hast Du denn anderes getan
> Der Einwand gegen die Ausdrucksweise "gleich gro�" ist lediglich eine
> Geschmacksfrage. Der Ausdruck "gleich lang" ist schlicht falsch.
Die Ausdrucksweise "gleich gro�" statt "gleich m�chtig" stiftet Verwirrung.
Zwei Quadrate
werden nur dann als gleich gro� bezeichnet , wenn sie kongruent sind. Zwei
Lineale
gleicher Breite und Dicke sind gleich gro�, wenn ihre L�nge �berein stimmt.
Andererseits ist die Betrachtung von 1-zu-1-Abbildungen zwischen unendlichen
Mengen alles andere als extravagant. In der Schule wird das zum Beispiel
beim
Strahlensatz oder bei der Geradengleichung y = mx + c gemacht. Wollen das
die Kritiker der Mengenlehre alles abschaffen?
Gru�
Michael
fiesh
>> Es ist zum Beispiel so, dass der Beweis von PFA -> 2^omega = omega_2
>> einige Zeit gebraucht hat und keineswegs einfach ist. Hier hat man also
>> das Phaenomen, dass ein Axiom wie PFA, das a priori nichts ueber die
>> Groesse des Kontinuum zu sagen scheint (ausser, dass CH falsch ist),
>> und aus einer ganz anderen Richtung kommt, dieses doch etwas
>> ueberraschend festlegt.
>>
>> Zwar ist PFA vielleicht nicht unbedingt natuerlich, seine Verstaerkung
>> MM aber doch, wuerde ich sagen.
>
> Delahaye nennt drei Kriterien f�r "gute" neue Axiome (die ich hier mal
> w�rtlich zitiere, um nichts falsch zu machen :-) ):
>
> "Ein solches Axiom mu�
>
> - relativ widerspruchsfrei sein, das hei�t es darf, zu ZFC hinzugef�gt,
> keinen neuen Widerspruch erzeugen.
Das ist natuerlich fuer die hier betrachteten Axiome nur relativ zu
grossen Kardinalzahlaxiomen moeglich.
> - mit dem Prinzip des ontologischen Maximalismus, das hei�t insbesondere
> mit den bekannten Axiomen f�r gro�e Kardinalzahlen, vertr�glich sein.
> - m�glichst gro�e, neue Teile des Universums der Mengen stabilisieren."
Kann man auf jeden Fall so sagen, denke ich, wobei ich vielleicht lieber
"interessant" anstatt "gut" sagen wuerde. Gut ist ein zwar haeufig
verwendeter aber dennoch etwas schwammiger Begriff.
> Das habe ich oben mit "Delahayes Qualit�tskriterien" gemeint. Er
> schreibt, da� Woodins Axiom WMM h�chstwahrscheinlich diese Kriterien
> erf�llt (bzgl. "ontologischem Maximalismus" gibt es wohl noch offene
> Punkte) und das aus WMM h�chstwahrscheinlich 2^omega0 = omega2 folgt.
> (Was er -- �hnlich wie Du bei PFA -- bemerkenswert findet, weil WMM
> erstmal nichts mit der Kontinuumshypothese zu tun hat).
Also ich nehme an, WMM ist eine etwas eigentuemliche Formulierung (noch
nie gesehen) fuer (*). Aus (*) folgt aber 2^omega = omega_2, das ist
bekannt.
Von (*) verstehe ich nicht wirklich viel, aber die Rollen von PFA und MM
kann ich etwas anschaulich beschreiben. Als Analogon sei hier die
Theorie der Teilkoerper und Oberkoerper der reellen Zahlen gewaehlt.
Zunaechst einmal gibt es ein offensichtlich interessantes Objekt, den
minimalen Teilkoerper, also den Primkoerper von R, d.h. die rationalen
Zahlen. Diese entsprechen in der Mengentheorie dem konstruktiblen
Universum L. Allerdings verbietet L die Annahme gewisser grosser
Kardinalzahlaxiome, aehnlich wie Q etwa die Loesbarkeit bestimmter
Gleichungen nicht zulaesst. Man kann denke ich sagen, dass Q sehr gut
verstanden ist, und aehnlich ist es bei L (obgleich natuerlich die
Theorie ungleich komplizierter ist).
Ein anderes interessantes Objekt ist eine maximale Erweiterung, wobei
hier natuerlich weniger klar ist, was damit gemeint ist. Fuer R erhaelt
man die komplexen Zahlen C als algebraischen Abschluss. Wie man zu R
bestimmte Objekte hinzuadjungieren kann und somit Oberkoerper erhaelt,
so kann man in der Mengentheorie bestimmte Mengen zum Universum durch
Forcingerweiterungen hinzufuegen und erhaelt ein neues, groesseres
Universum. Nun sagt der algebraische Abschluss ja nichts anderes, als
dass wir schon alles hinzugenommen haben, was ging, und aehnlich ist das
Axiom MM. Es sagt, dass man im Rahmen dessen, was ueberhaupt moeglich
ist, bereits erweitert hat. Es ist dabei nicht schwer zu sehen, dass MM
tatsaechlich maximal ist, jede weitere Verstaerkung des Axioms ist
leicht einsehbar inkonsistent. MM ist aber, relativ zu einer
Superkompakten, konsistent.
PFA ist eine Vorstufe zu MM, die letztendlich noetig war, um MM zu
erhalten. (Zuerst wurde die Konsistenz von PFA gezeigt, relativ zu
einer Superkompakten, dann PFA verallgemeinert zum sog. SPFA, wovon sich
ebenfalls die Konsistenz zeigen liess, und das zwar a priori schwaecher
als MM zu sein scheint, tatsaechlich aber aequivalent ist.) PFA ist im
obigen Sinne vielleicht kein gutes/interessantes Axiom, es umfasst aber
viele Resultate von MM und unterteilt diese quasi nach gewisser
Komplexitaet in den zum Beweis angewandten Bedingungsmengen. Nach den
"Qualitaetskriterien" fuer "gute" Axiome wuerde ich PFA aber als
kuenstlich einstufen, im Gegensatz zu MM.
So, genug wirr in den Wald geredet ;)
--
fiesh
Albrecht
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Du willst Dich nicht erklären, lieber Sphinx spielen? Doch noch ein
Versuch: im Allgemeinen (im Sinne von: in der Mehrzahl der Fälle,
verbreitet, üblich)wird der Menge der reellen Zahlen die Kardinalzahl
aleph_1 zugeordnet. Natürlich wird damit die Kontinuumshypothese als
wahr impliziert. Dies ist aber der Tenor von dutzenden/vielleicht
hunderten von (z.T. auch nur semi-)mathematischen Texten die die
intuitiv erscheindende Kontinuumshypothese als wahr antizipieren.
Hier WolframMathworld dazu:
"The continuum hypothesis asserts that , where is the cardinality of
the "large" infinite set of real numbers (called the continuum in set
theory). However, the truth of the continuum hypothesis depends on the
version of set theory you are using and so is undecidable. "
Was könnte also fiesh mit seiner Äusserung,
> > >> ... was aber gut passt, denn Albrecht scheint auch nicht verstanden zu
> > >> haben, dass die reellen Zahlen im allgemeinen nicht Maechtigkeit aleph_1
> > >> besitzen.
gemeint haben? Dass ich nicht wüsste dass die Kontinuumshypothese eine
Hypothese ist? Was meint "im Allgemeinen" wenn etwas sowohl angenommen
als auch ausgeschlossen werden kann?
Gruß
Albrecht
fiesh
> On 4 Dez., 14:21, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>> On 4 Dez., 13:47, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>> > On 2009-12-04, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>> > > On 3 Dez., 19:28, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>> > >> ... was aber gut passt, denn Albrecht scheint auch nicht verstanden zu
>> > >> haben, dass die reellen Zahlen im allgemeinen nicht Maechtigkeit aleph_1
>> > >> besitzen.
>>
>> > > Soso, im allgemeinen nicht, aber im besonderen schon? Was soll denn
>> > > daran zu verstehen sein? Jeder kann doch behaupten was er will, weil
>> > > er sich ja im Nachhinein auf sein privates Axiomensystem zur ckziehen
>> > > kann. Ich habe schon verstanden dass Mathematiker heutzutage eher in
>> > > Rethorik geschult werden m ssen als in Logik oder Analysis. �:-)
>>
>> > Wenn du nicht weisst, was "im allgemeinen" bedeutet, so ist vielleicht
>> > doch nocht nicht die rechte Zeit gekommen, um die Grundlagen der
>> > Mathematik gaenzlich umzukrempeln? �:-)
>>
>> Du sprichst in Raetseln. Was soll den "im allgemeinen" anderes
>> bedeuten als "im allgemeinen"???
>>
>> AS- Zitierten Text ausblenden -
>>
>> - Zitierten Text anzeigen -
>
> Versuch: im Allgemeinen (im Sinne von: in der Mehrzahl der F�lle,
> verbreitet, �blich)wird der Menge der reellen Zahlen die Kardinalzahl
> aleph_1 zugeordnet. [...]
Dieser Satz ist ebenso wenig korrekt wie der Satz "im allgemeinen
sind Gruppen abelsch". "Im allgemeinen sind Gruppen nicht abelsch"
bedeutet, dass es ein Modell der Gruppentheorie, kurz eine Gruppe, gibt,
die nicht abelsch ist. "Im allgemeinen ist die Kontinuumshypothese
falsch" bedeutet, dass es ein Modell der Mengenlehre gibt, das nicht die
Kontinuumshypothese erfuellt. "Im allgemeinen wird der Menge der
reellen Zahlen die Kardinalzahl aleph_1 zugeordnet" besagt das
(falsche) Gegenteil dieses Satzes.
--
fiesh
Markus Wichmann
> On 2009-12-07, Albrecht <albs...@gmx.de> wrote:
>> On 4 Dez., 14:21, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>>> On 4 Dez., 13:47, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>>> > On 2009-12-04, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>>> > > On 3 Dez., 19:28, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
Hat sich ja ganz schön was angesammelt, was?
>>> Du sprichst in Raetseln. Was soll den "im allgemeinen" anderes
>>> bedeuten als "im allgemeinen"???
>>>
>>> AS- Zitierten Text ausblenden -
>>>
Sancho, lerne, deinen Newsreader zu benutzen. Und wenn du Gurgel Pups
benutzt, dann bitte wenigstens nicht so offensichtlich.
>>> - Zitierten Text anzeigen -
>>
>> Du willst Dich nicht erklären, lieber Sphinx spielen? Doch noch ein
>> Versuch: im Allgemeinen (im Sinne von: in der Mehrzahl der Fälle,
>> verbreitet, üblich)wird der Menge der reellen Zahlen die Kardinalzahl
>> aleph_1 zugeordnet. [...]
Gerade im Umfeld der Mathematik sollte man auf korrekte Aussprache
achten. Und "im Allgemeinen" ist leider schon mit "gilt für alle"
besetzt.
>
> Dieser Satz ist ebenso wenig korrekt wie der Satz "im allgemeinen
> sind Gruppen abelsch". "Im allgemeinen sind Gruppen nicht abelsch"
> bedeutet, dass es ein Modell der Gruppentheorie, kurz eine Gruppe, gibt,
> die nicht abelsch ist. "Im allgemeinen ist die Kontinuumshypothese
> falsch" bedeutet, dass es ein Modell der Mengenlehre gibt, das nicht die
> Kontinuumshypothese erfuellt. "Im allgemeinen wird der Menge der
> reellen Zahlen die Kardinalzahl aleph_1 zugeordnet" besagt das
> (falsche) Gegenteil dieses Satzes.
>
Das ist wie: Im Allgemeinen gilt nicht:
sin x = cos x
Das ändert natürlich nichts an der Tatsache, dass es abzählbar unendlich
viele reele Zahlen x gibt, die diese Bedingung erfüllen.
Tschö,
Markus
--
Nur weil ein Genie nix reißt, muß ja nun nicht gleich jeder Idiot
pausieren... Bully hats ja auch geschafft.
-- gUnter nanonüm in de.alt.anime
Christopher Creutzig
> So, genug wirr in den Wald geredet ;)
Dieser Baum hier w�sste jetzt noch gerne, was MM eigentlich besagt (und
wo man eine f�r Feld-, Wald- Wiesenmathematiker verst�ndliche Einf�hrung
findet). Magst Du dazu noch einen Satz oder zwei schreiben?
--
F�r 10 EUR im Jahr erfahre ich hier sogar was meine Meinung ist.
Andere Leute m�ssen daf�r heiraten.
[Lars Friedrich �ber UseNet]
Christopher Creutzig
> Dieser Satz ist ebenso wenig korrekt wie der Satz "im allgemeinen
> sind Gruppen abelsch". "Im allgemeinen sind Gruppen nicht abelsch"
> bedeutet, dass es ein Modell der Gruppentheorie, kurz eine Gruppe, gibt,
Sorry, aber �im Allgemeinen sind Gruppen nicht abelsch� ist doch, da
�nicht abelsch� genauso eine Eigenschaft wie �abelsch� ist, genauso
falshc wie �im Allgemeinen sind Gruppen abelsch�. Au�er nat�rlich, man
hat Kontext drumherum, der aus der Formulierung �im Allgemeinen sind
Gruppen nicht abelsch� dann wieder ein �im Allgemeinen k�nnen wir
Gruppen nicht als abelsch voraussetzen� macht.
Und dann war da noch das (bis auf �hnlichkeit) eindeutige allgemeine
Dreieck: http://www.holger-lang.de/haupt/mathe/dreieck/dreieck.html :-)
Im Englischen ist das sprachlich etwas einfacher, �groups are not in
general Abelian� funktioniert noch halbwegs, w�hrend mir das deutsche
�Gruppen sind nicht im Allgemeinen abelsch� deutlich mehr aufst��t. Aber
vielleicht auch nur, weil's halt meine Muttersprache ist. :-)
--
F�r 10 EUR im Jahr erfahre ich hier sogar was meine Meinung ist.
Andere Leute m�ssen daf�r heiraten.
[Lars Friedrich �ber UseNet]
fiesh
> fiesh wrote:
>
>> Dieser Satz ist ebenso wenig korrekt wie der Satz "im allgemeinen
>> sind Gruppen abelsch". "Im allgemeinen sind Gruppen nicht abelsch"
>> bedeutet, dass es ein Modell der Gruppentheorie, kurz eine Gruppe, gibt,
>
> �nicht abelsch� genauso eine Eigenschaft wie �abelsch� ist, genauso
> falshc wie �im Allgemeinen sind Gruppen abelsch�. Au�er nat�rlich, man
> hat Kontext drumherum, der aus der Formulierung �im Allgemeinen sind
> Gruppen nicht abelsch� dann wieder ein �im Allgemeinen k�nnen wir
> Gruppen nicht als abelsch voraussetzen� macht.
Ja, das war nicht geschickt gewaehlt, wie du schon schreibst war das,
was ich meinte, nicht "im allgemeinen sind Gruppen nicht-abelsch", falls
der Bindestrich die Bedeutung hervorhebt, sondern "im allgemeinen gilt
nicht, dass Gruppen abelsch sind".
Wie so oft erkennt man moegliche Quellen fuer Missverstaendnisse nicht,
da man weiss, was man meint, und es auch nur so liest.
--
fiesh
fiesh
> wo man eine f�r Feld-, Wald- Wiesenmathematiker verst�ndliche Einf�hrung
> findet). Magst Du dazu noch einen Satz oder zwei schreiben?
Hehe, das ist leider nicht leicht zu erklaeren, falls man sich mit
Forcing nicht auskennt. Man kann zwar irgendwelche Eigenschaften fuer
topologische bestimmte topologische Raeume hinschreiben, aber die helfen
nur dem, der ohnehin weiss, was gemeint ist, finde ich.
Ein paar noetige Definitionen:
Unter einer _Bedingungsmenge_ wollen wir eine partiell geordnete Menge
(P, <=) mit groesstem Element verstehen. (Das geht auch etwas
allgemeiner, aber das ist hier unerheblich.) Eine Teilmenge D von P
heisst _dicht in P_, falls fuer jedes p in P ein d in D mit d <= p
existiert. Eine Teilmenge F von P heisst _Filter_, falls fuer f aus F
und g >= f folgt, dass g in F, und falls fuer je zwei f, f' aus F ein
f'' existiert mit f'' <= f, f'.
Forcing sagt nur folgendes: Ist man in einem Modell (der Mengenlehre) V
und hat dort eine Bedingungsmenge P, so gibt es ein Modell V[G], fuer
das folgendes gilt:
- V ist in V[G] enthalten,
- G ist Element von V
- G ist ein Filter auf P mit der Eigenschaft, dass er jede dichte
Teilmenge von P, die /in V liegt/, schneidet (so ein G heisst
V-generisch.)
Ein einfaches Beispiel waere:
P := { f | f Funktion, f abzaehlbar, Bild(f) ist Teilmenge der reellen
Zahlen, Domain(f) Teilmenge von omega_1 }.
Als Ordnung definieren wir f < g wenn g Teilmenge von f ist.
betrachtet man D_alpha := { f in P | alpha in Domain(f) } fuer alpha <
omega_1 und E_r := { f in P | r in Bild(f) } fuer r reelle Zahl, so
sieht man, dass beide Mengen dicht in P sind. Geht man nun nach V[G],
so schneidet G alle D_alpha und E_r, d.h. betrachtet man die Vereinigung
von G, so erhaelt man eine Surjektion von omega_1 auf R, m.a.W. einen
Zeugen fuer die Kontinuumshypothese. Wer jetzt stutzt hat sehr gut
aufgepasst, denn natuerlich ist hier noch eine (grosse) Ungenauigkeit
versteckt ;) Es gilt naemlich noch zu verifizieren, dass omega_1 in
V[G] dasselbe ist wie omega_1 in V und dass die rellen Zahlen in V[G]
dasselbe sind wie die reellen Zahlen in V! Denn wir haben ja eine
Surjektion von omega_1 in V auf R in V hinzugefuegt.
So oder so, das ist ein Beispiel fuer eine Erweiterung des
Mengenuniversums. MM sagt nur folgendes:
Ist (P, <) eine Bedingungsmenge mit einer bestimmten Eigenschaft (1),
und sind { D_alpha | alpha < omega_1 } dichte Teilmengen von P, so
existiert ein Filter G der alle D_alpha schneidet.
An der Stelle sollte sich der Leser ueberlegen, dass man in der
Definition von MM omega_1 nicht auf omega_2 erhoehen kann (das P von
oben erfuellt Eigenschaft (1)!).
Was sagt also Eigenschaft (1)? Eigenschaft (1) ist, dass P _stationaer
bewahrend ist_. Das bedeutet:
Ist S stationaere Menge in omega_1 (d.h. positives Mass im Club-Filter),
so ist S auch stationaer in V[G], fuer G V-generisch.
Dass (1) auch notwendig ist, ist auch (vergleichsweise) einfach zu
ueberpruefen.
Ich hoffe, man kann so die Motivation von MM nachvollziehen, es sagt,
solche generischen G gibt es schon, soweit es eben moeglich ist.
--
fiesh
Albrecht
> On 2009-12-07, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
>
>
>
>
> > On 4 Dez., 14:21, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
> >> On 4 Dez., 13:47, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
> >> > On 2009-12-04, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
> >> > > On 3 Dez., 19:28, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
> >> > >> ... was aber gut passt, denn Albrecht scheint auch nicht verstanden zu
> >> > >> haben, dass die reellen Zahlen im allgemeinen nicht Maechtigkeit aleph_1
> >> > >> besitzen.
>
> >> > > Soso, im allgemeinen nicht, aber im besonderen schon? Was soll denn
> >> > > daran zu verstehen sein? Jeder kann doch behaupten was er will, weil
> >> > > er sich ja im Nachhinein auf sein privates Axiomensystem zur ckziehen
> >> > > kann. Ich habe schon verstanden dass Mathematiker heutzutage eher in
> >> > > Rethorik geschult werden m ssen als in Logik oder Analysis. :-)
>
> >> > Wenn du nicht weisst, was "im allgemeinen" bedeutet, so ist vielleicht
> >> > doch nocht nicht die rechte Zeit gekommen, um die Grundlagen der
> >> > Mathematik gaenzlich umzukrempeln? :-)
>
> >> Du sprichst in Raetseln. Was soll den "im allgemeinen" anderes
> >> bedeuten als "im allgemeinen"???
>
> >> AS- Zitierten Text ausblenden -
>
> >> - Zitierten Text anzeigen -
>
> > Versuch: im Allgemeinen (im Sinne von: in der Mehrzahl der Fälle,
> > verbreitet, üblich)wird der Menge der reellen Zahlen die Kardinalzahl
> > aleph_1 zugeordnet. [...]
>
> Dieser Satz ist ebenso wenig korrekt wie der Satz "im allgemeinen
> sind Gruppen abelsch". "Im allgemeinen sind Gruppen nicht abelsch"
> bedeutet, dass es ein Modell der Gruppentheorie, kurz eine Gruppe, gibt,
> die nicht abelsch ist. "Im allgemeinen ist die Kontinuumshypothese
> falsch" bedeutet, dass es ein Modell der Mengenlehre gibt, das nicht die
> Kontinuumshypothese erfuellt. "Im allgemeinen wird der Menge der
> reellen Zahlen die Kardinalzahl aleph_1 zugeordnet" besagt das
> (falsche) Gegenteil dieses Satzes.
>
> --
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Ich überlasse Dir hier gerne das letzte Wort. Im Allgemeinen (im
mathematischen oder zumindest fishen Sinne) wird der Menge der reellen
Zahlen nicht die Kardinalzahl aleph_1 zugeordnet.
Meiner persönlichen Anschauung nach gibt es sowieso keine Kardinalzahl
größer als jede natürliche Zahl und damit war diese Diskussion für
mich auch eher fiktionalistisch.
Gruß
Albrecht
Ulrich Lange
> On 2009-12-06, Ulrich Lange <ulrich...@invalid.invalid> wrote:
> [...]
>
Hallo Fiesh,
danke f�r Deine anschauliche Erkl�rung von PFA und MM und sorry f�r die
sp�te Antwort. Ich war diese Woche unterwegs (und bin es n�chste Woche
�brigens auch).
>> Das habe ich oben mit "Delahayes Qualit�tskriterien" gemeint. Er
>> schreibt, da� Woodins Axiom WMM h�chstwahrscheinlich diese Kriterien
>> erf�llt (bzgl. "ontologischem Maximalismus" gibt es wohl noch offene
>> Punkte) und das aus WMM h�chstwahrscheinlich 2^omega0 = omega2 folgt.
>> (Was er -- �hnlich wie Du bei PFA -- bemerkenswert findet, weil WMM
>> erstmal nichts mit der Kontinuumshypothese zu tun hat).
>
> Also ich nehme an, WMM ist eine etwas eigentuemliche Formulierung (noch
> nie gesehen) fuer (*). Aus (*) folgt aber 2^omega = omega_2, das ist
> bekannt.
Evtl. ist WMM dann doch etwas anderes als (*), obwohl es bei Delahaye
f�r "Woodin's Martin`s Maximum" steht. Denn laut Delahaye ist WMM ->
not(CH) offenbar noch nicht ganz sicher ("Obwohl die Situation noch
nicht endg�ltig gekl�rt ist, sieht es ganz so aus, als folgte aus diesem
Axiom, da� die Kontinuumshypothese falsch ist.")
Vielleicht meint er mit der "noch nicht ganz gekl�rten Situation" hier
auch was v�llig anderes. Auf jeden Fall liegen solche Feinheiten dann
endg�ltig weit hinter meinem Mengenlehre-Horizont. Nochmal danke f�r
Deine Erkl�rungen.
Albrecht
> fiesh schrieb:
>
> > [...]
>
> Hallo Fiesh,
>
> danke f r Deine anschauliche Erkl rung von PFA und MM und sorry f r die
> sp te Antwort. Ich war diese Woche unterwegs (und bin es n chste Woche
> brigens auch).
>
> >> Das habe ich oben mit "Delahayes Qualit tskriterien" gemeint. Er
> >> schreibt, da Woodins Axiom WMM h chstwahrscheinlich diese Kriterien
> >> erf llt (bzgl. "ontologischem Maximalismus" gibt es wohl noch offene
> >> Punkte) und das aus WMM h chstwahrscheinlich 2^omega0 = omega2 folgt.
> >> (Was er -- hnlich wie Du bei PFA -- bemerkenswert findet, weil WMM
> >> erstmal nichts mit der Kontinuumshypothese zu tun hat).
>
> > Also ich nehme an, WMM ist eine etwas eigentuemliche Formulierung (noch
> > nie gesehen) fuer (*). Aus (*) folgt aber 2^omega = omega_2, das ist
> > bekannt.
>
> Evtl. ist WMM dann doch etwas anderes als (*), obwohl es bei Delahaye
> f r "Woodin's Martin`s Maximum" steht. Denn laut Delahaye ist WMM ->
> not(CH) offenbar noch nicht ganz sicher ("Obwohl die Situation noch
> nicht endg ltig gekl rt ist, sieht es ganz so aus, als folgte aus diesem
> Axiom, da die Kontinuumshypothese falsch ist.")
>
> Vielleicht meint er mit der "noch nicht ganz gekl rten Situation" hier
> auch was v llig anderes.
Es gibt Leute, die verdienen sich mit sowas ihre täglichen Brötchen.
Es sind sicher abzählbar viele. Ich vermeute sogar: an einer Hand
abzählbar viele.
Aber beschleicht da nicht jeden irgend wann das ungute Gefühl, dass
hier über reine Hinrgespinste nachgedacht wird?
Und wenn ich den hier zum Teil stattfindenden Gedankenaustausch
zwischen vermuteten Kennern der aktuellen Fundierungsbemühungen der
Mathematik mittels Mengenlehre (oder wie nennt man denn die
Gesamtübersicht über die Mengenlehrenentwicklungen? Axiomatik?) lese,
so beschleicht mich das leichte Gefühl, dass es wohl auch nur sehr
wenig Leute gibt, die einigermaßen eine Ahnung von dem haben, über was
sie da reden. Denn mit "Ahnung haben" meine ich, dass jemand
Einzeltatsachen in ein großes _Gesamt_bild einordnen könnte.
Nur ein Beispiel: Es wird immer wieder angeführt, dass bisher kein
Widerspruch in ZFC aufgetaucht sei, und dass man auch nicht damit
rechnet, je auf einen Widerspruch zu stossen. Aber vor Goedel hat auch
niemand damit gerechnet, dass ZFC unvollständig sein könnte.
Offensichtlich musste gezielt ein System entwicklet werden und gezielt
eine Aussage konstruiert werden um zum goedelschen Ergebnis zu kommen.
Hat denn sich schon einmal jemand vom Schlag Goedels hingesetzt und
_gezielt_ versucht, einen Widerspruch in ZFC zu konstruieren. Und
wenn ja, vielleicht waren diese Leute bisher einfach nicht genial
genug. Ich finde diese "Arbeitseinstellung" nach dem Motto "es wird
schon alles gut gehen" ganz schön dürftig für eine
Grundlagenwissenschaft wie die Mathematik. Man bedenke: All dieses
Gerede über große Kardinalzahlen und PiPaPo wäre tatsächlich
vollständig hinfällig, wenn ein Widerspruch in ZFC nachgewiesen werden
würde. Im Gegensatz zur klassischen Mathematik, für die sich ganz
einfach gar nichts ändern würde.
Ich halte übrgigens das Paradoxon nach Banach und Tarski nach wie vor
für einen Beweis der Widersprüchlichkeit von ZFC - auch wenn der
Widerspruch "wegdefiniert" wurde. Aber es widerspricht ganz einfach
unserem Weltbild, dass man etwas durch zerlegen und wieder
zusammensetzen vermehren könnte.
Dass die Teile in Zwischensschritten ihr Mass verlieren, macht das
Ganze auch nicht besser.
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
> Ich halte ï¿œbrgigens das Paradoxon nach Banach und Tarski nach wie vor
> fï¿œr einen Beweis der Widersprï¿œchlichkeit von ZFC - auch wenn der
> Widerspruch "wegdefiniert" wurde. Aber es widerspricht ganz einfach
> unserem Weltbild, dass man etwas durch zerlegen und wieder
> zusammensetzen vermehren kï¿œnnte.
>
> Dass die Teile in Zwischensschritten ihr Mass verlieren, macht das
> Ganze auch nicht besser.
Lege um jede rationale Zahl im Intervall [0,3] ein kleines Intervall.
Die Rationalzahlen seien als q_1, q_2, q_3 usw. durchnummeriert.
Um jedes q_n legen wir ein Intervall der Lï¿œnge 1/n, in dem das q_n
in der Mitte liegt.
Wie gross ist das Mass der Intervalle insgesamt im hï¿œchsten Fall?
fiesh
> Es gibt Leute, die verdienen sich mit sowas ihre t�glichen Br�tchen.
> Es sind sicher abz�hlbar viele. Ich vermeute sogar: an einer Hand
> abz�hlbar viele.
... wie in allen wissenschaftlichen Spezialbereichen.
> Aber beschleicht da nicht jeden irgend wann das ungute Gef�hl, dass
> hier �ber reine Hinrgespinste nachgedacht wird?
Vermutlich nur die, die sich anmassen, besser als die Spezialisten zu
sein.
> Und wenn ich den hier zum Teil stattfindenden Gedankenaustausch
> zwischen vermuteten Kennern der aktuellen Fundierungsbem�hungen der
> Mathematik mittels Mengenlehre (oder wie nennt man denn die
> Gesamt�bersicht �ber die Mengenlehrenentwicklungen? Axiomatik?) lese,
> so beschleicht mich das leichte Gef�hl, dass es wohl auch nur sehr
> wenig Leute gibt, die einigerma�en eine Ahnung von dem haben, �ber was
> sie da reden. Denn mit "Ahnung haben" meine ich, dass jemand
> Einzeltatsachen in ein gro�es _Gesamt_bild einordnen k�nnte.
... wie in allen wissenschaftlichen Spezialbereichen.
> Nur ein Beispiel: Es wird immer wieder angef�hrt, dass bisher kein
> Widerspruch in ZFC aufgetaucht sei, und dass man auch nicht damit
> rechnet, je auf einen Widerspruch zu stossen. Aber vor Goedel hat auch
> niemand damit gerechnet, dass ZFC unvollst�ndig sein k�nnte.
Ich weiss nicht, ob es zuvor gaengige Meinung war, dass ZFC vollstaendig
sein sollte. Es erstaunt mich, dass du das so sicher weisst.
> Offensichtlich musste gezielt ein System entwicklet werden und gezielt
> eine Aussage konstruiert werden um zum goedelschen Ergebnis zu kommen.
> Hat denn sich schon einmal jemand vom Schlag Goedels hingesetzt und
> _gezielt_ versucht, einen Widerspruch in ZFC zu konstruieren. Und
Jeder mathematische Beweis kann als Versuch, die Widerspruechlichkeit
von ZFC zu zeigen, gesehen werden.
> wenn ja, vielleicht waren diese Leute bisher einfach nicht genial
> genug. Ich finde diese "Arbeitseinstellung" nach dem Motto "es wird
> schon alles gut gehen" ganz sch�n d�rftig f�r eine
> Grundlagenwissenschaft wie die Mathematik. Man bedenke: All dieses
Dann hast du eine wesentliche Erkenntnis der mathematischen Logik des
letzten Jahrhunderts nicht verstanden. Es gibt nunmal kein gesichertes
Fundament (abgesehen von recht schwachen Theorien).
> Gerede �ber gro�e Kardinalzahlen und PiPaPo w�re tats�chlich
> vollst�ndig hinf�llig, wenn ein Widerspruch in ZFC nachgewiesen werden
> w�rde. Im Gegensatz zur klassischen Mathematik, f�r die sich ganz
> einfach gar nichts �ndern w�rde.
Die Hierarchie der grossen Kardinalzahlen bildet eine natuerliche
Erweiterung von ZFC. Man untersucht hier bestimmte Aussagen nach ihrer
Konsistenzstaerke. Man kann das ganze auch so deuten: Da man bei ZFC im
Moment keinen Widerspruch zu finden vermag, baut man groessere Theorien
darauf auf und untersucht, ob weiterhin alles glatt geht. Dies scheint
aber fuer viele grosse Kardinalzahlen der Fall zu sein -- man hat aber
auch schon Grenzen erreicht, die Reinhardkardinalzahlen erwiesen sich
als widerspruechlich.
Von dem her kritisierst du genau das Vorgehen, das du selbst forderst.
> Ich halte �brgigens das Paradoxon nach Banach und Tarski nach wie vor
> f�r einen Beweis der Widerspr�chlichkeit von ZFC - auch wenn der
> Widerspruch "wegdefiniert" wurde. Aber es widerspricht ganz einfach
> unserem Weltbild, dass man etwas durch zerlegen und wieder
> zusammensetzen vermehren k�nnte.
Auch hier ist das Problem in Unverstaendnis zu suchen. Leider versuchst
du nicht die Sachen nachzuvollziehen, du versuchst sie besser zu wissen.
Im uebrigen halt ich die (zu ZFC + es existiert eine unerreichbare
konsistente) Theorie ZFC + jede Teilmenge von R ist messbar fuer viel
unplausibler -- die messbaren Mengen werden ja als eine _kleinste_
sigma-Algebra mit bestimmten Eigenschaften definiert, warum sollte die
die gesamte Potenzmenge von R ergeben?
--
fiesh
Rainer Rosenthal
> man hat aber
> auch schon Grenzen erreicht, die Reinhardkardinalzahlen erwiesen sich
> als widerspruechlich.
Danke fï¿œr das Stichwort. Es fï¿œhrte mich zu einem wikiversity-Artikel [1],
in dem 7+11-1=16 vorgerechnet wird und zu einem lustigen Artikel [2],
der WM zu weiteren Kalenderblï¿œttern verhelfen kann. Hier ein kleiner
Auszug: "Doch war die Reise zu ihm, die Jagd nach dem Schnark oder
dem Lï¿œwenreh, faszinierend, spannend, ï¿œberraschend; sie erï¿œffnete
uns neue Aus- und Einblicke in mathematische Zusammenhï¿œnge, regte
uns zu theologischen Spekulationen an und fï¿œhrte zu kunstvollen
Konstruktionen, die noch immer Bestand haben, auch wenn sie keiner
braucht und kaum einer versteht."
[1] http://de.wikiversity.org/wiki/Projekt_Diskussion:Eine_Reise_in_die_Unendlichkeit
[2] http://www.peter-ripota.de/mathe/vonrhozuomega-de-472.html
fiesh
> danke f�r Deine anschauliche Erkl�rung von PFA und MM und sorry f�r die
> sp�te Antwort. Ich war diese Woche unterwegs (und bin es n�chste Woche
> �brigens auch).
Kein Problem! Schoen, wenn jemand meine Antworten auch liest ;)
>> Also ich nehme an, WMM ist eine etwas eigentuemliche Formulierung (noch
>> nie gesehen) fuer (*). Aus (*) folgt aber 2^omega = omega_2, das ist
>> bekannt.
>
> Evtl. ist WMM dann doch etwas anderes als (*), obwohl es bei Delahaye
> f�r "Woodin's Martin`s Maximum" steht. Denn laut Delahaye ist WMM ->
> not(CH) offenbar noch nicht ganz sicher ("Obwohl die Situation noch
> nicht endg�ltig gekl�rt ist, sieht es ganz so aus, als folgte aus diesem
> Axiom, da� die Kontinuumshypothese falsch ist.")
Ich habe mal Google nach "wmm woodin maximum" befragt und bin dabei als
erstes (und einziges, neben dem gleichen Artikel nochmal leicht
abgeaendert) auf
http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Surveys/DgtUS.pdf
gestossen. Dort wird (*) als WMM bezeichnet (zumindest lese ich das so,
Fussnote 41 ist mir nicht so ganz klar), und auch eine fuer mich sehr
ungewohnte Bezeichnung MMB anstelle von BMM verwendet. Den Namen nach
koennte der Artikel, auf den du dich beziehst, von dieser Arbeit die
Bezeichnung WMM uebernommen haben. Dann gilt aber 2^omega = omega_2
unter WMM. In jedem Fall finde ich es nicht so gelungen, in einem
Survey Paper sehr ungewoehnliche Notationen zu verwenden.
> Vielleicht meint er mit der "noch nicht ganz gekl�rten Situation" hier
> auch was v�llig anderes. Auf jeden Fall liegen solche Feinheiten dann
> endg�ltig weit hinter meinem Mengenlehre-Horizont. Nochmal danke f�r
> Deine Erkl�rungen.
Kann auch sein, ist schwierig zu sagen, wenn keine exakten Definitionen
dabeistehen. Ist aber letztendlich auch nicht so wichtig, denke ich.
Die Lektion ist so oder so, dass omega_2 ein recht natuerlicher Wert
fuer das Kontinuum ist.
--
fiesh
fiesh
> Danke f�r das Stichwort. Es f�hrte mich zu einem wikiversity-Artikel [1],
> in dem 7+11-1=16 vorgerechnet wird und zu einem lustigen Artikel [2],
Wikiversity kannte ich bisher nicht. Man kann nur hoffen, dass dieser
Artikel nicht stellvertretend fuer die uebrige Qualitaet dort steht.
Sich bei 7+11-1 zu verrechnen, das wuerde mir auch leicht passieren ;)
Aber was weiter unten zu Unendlichkeit fuer Bloedsinn steht hilft
potentiellen Lesern sicher nicht.
Der zweite Artikel ist interessant insofern, als dass er sehr viele auch
teilweise wenig bekannte Kardinalzahlaxiome ausgegraben und teilweise
sicher zum ersten mal ueberhaupt ins Deutsche uebersetzt hat. Man
koennte meinen, er hat die Liste einfach von Wikipedia uebernommen, aber
da er Fehler eingebaut hat und die Liste nicht uebereinstimmt, muss er
sie sich wohl doch irgendwo anders selbst zusammengesammelt haben, was
schon einigermassen verblueffend ist.
> der WM zu weiteren Kalenderbl�ttern verhelfen kann. Hier ein kleiner
> Auszug: "Doch war die Reise zu ihm, die Jagd nach dem Schnark oder
> dem L�wenreh, faszinierend, spannend, �berraschend; sie er�ffnete
> uns neue Aus- und Einblicke in mathematische Zusammenh�nge, regte
> uns zu theologischen Spekulationen an und f�hrte zu kunstvollen
> Konstruktionen, die noch immer Bestand haben, auch wenn sie keiner
> braucht und kaum einer versteht."
Auch sonst passt der Artikel von seiner wissenschaftlichen Qualitaet her
gut ins Kalenderblatt oder die Bildzeitung!
--
fiesh
Rainer Rosenthal
> Auch sonst passt der Artikel von seiner wissenschaftlichen Qualitaet her
> gut ins Kalenderblatt oder die Bildzeitung!
>
... oder "Schï¿œner Wohnen" [3]
[3] http://www.schoener-wohnen.de/
Martin Vaeth
>
> Im uebrigen halt ich die (zu ZFC + es existiert eine unerreichbare
> konsistente) Theorie ZFC + jede Teilmenge von R ist messbar fuer viel
> unplausibler -- die messbaren Mengen werden ja als eine _kleinste_
> sigma-Algebra mit bestimmten Eigenschaften definiert, warum sollte die
> die gesamte Potenzmenge von R ergeben?
Es kommt darauf an, was man von dem zugehoerigen R erwartet:
Wenn man nur will, dass es eine konsistente Theorie ergibt, ist ZFC
schon plausibel (bei den I-Axiomen bin ich da nicht mehr so sicher),
aber wenn man erwartet, damit etwas zu "modellieren" (im Sinne der
Physik), kann man genauso umgekehrt argumentieren:
Die Teilmengen von R, die in einem solchen Modell (unter
physikalischer Interpretation) sinnvoll sind, scheinen mir
*hoechstens* die messbaren Mengen zu sein (und selbst diese Klasse
ist schon sehr idealisiert).
Wenn man nun aber in einer mathematichen Argumentation *noch mehr*
Mengen (per AC) hinzuzieht und damit Ergebnisse erhaelt, die
sich anderweitig nicht erzielen lassen, darf man dann wirklich noch
erwarten, dass diese Ergebnisse bei Rueckinterpretation des Modells
in die Physik korrekt sind?
Albrecht
> On 2009-12-11, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
> > Es gibt Leute, die verdienen sich mit sowas ihre täglichen Brötchen.
> > abzählbar viele.
>
> ... wie in allen wissenschaftlichen Spezialbereichen.
>
> > hier über reine Hinrgespinste nachgedacht wird?
>
> Vermutlich nur die, die sich anmassen, besser als die Spezialisten zu
> sein.
>
> > Und wenn ich den hier zum Teil stattfindenden Gedankenaustausch
> > Mathematik mittels Mengenlehre (oder wie nennt man denn die
> > so beschleicht mich das leichte Gefühl, dass es wohl auch nur sehr
> > wenig Leute gibt, die einigermaßen eine Ahnung von dem haben, über was
> > sie da reden. Denn mit "Ahnung haben" meine ich, dass jemand
>
> ... wie in allen wissenschaftlichen Spezialbereichen.
>
> > Widerspruch in ZFC aufgetaucht sei, und dass man auch nicht damit
> > rechnet, je auf einen Widerspruch zu stossen. Aber vor Goedel hat auch
>
> Ich weiss nicht, ob es zuvor gaengige Meinung war, dass ZFC vollstaendig
> sein sollte. Es erstaunt mich, dass du das so sicher weisst.
Es war zuvor proklamierte Meinung, dass alles prinzipiell gewusst
werden kann. Hilberts "es gibt kein Ignoramus et ignorabimus", "wir
müssen wissen und werden wissen" ist doch wohl bekannt. Genau dieses
Programm hat Goedel zunichte gemacht. Ob ZFC vollständig wäre war in
dieser Fragestellung wohl nur implizit Thema.
>
> > Offensichtlich musste gezielt ein System entwicklet werden und gezielt
> > eine Aussage konstruiert werden um zum goedelschen Ergebnis zu kommen.
> > Hat denn sich schon einmal jemand vom Schlag Goedels hingesetzt und
> > _gezielt_ versucht, einen Widerspruch in ZFC zu konstruieren. Und
>
> Jeder mathematische Beweis kann als Versuch, die Widerspruechlichkeit
> von ZFC zu zeigen, gesehen werden.
Eine seltsame Auffassung.
>
> > wenn ja, vielleicht waren diese Leute bisher einfach nicht genial
> > genug. Ich finde diese "Arbeitseinstellung" nach dem Motto "es wird
> > schon alles gut gehen" ganz schön dürftig für eine
> > Grundlagenwissenschaft wie die Mathematik. Man bedenke: All dieses
>
> Dann hast du eine wesentliche Erkenntnis der mathematischen Logik des
> letzten Jahrhunderts nicht verstanden. Es gibt nunmal kein gesichertes
> Fundament (abgesehen von recht schwachen Theorien).
Das ist eine Ansicht, keine Erkenntnis. Glaubst Du ernsthaft, dass die
bisher beschrittenen Wege zur Fundierung der Mathematik die einzigen
möglichen wären? Es ist doch die wesentliche Frage, von wo man bei so
einer Fundierung ausgeht. Dass die letztendliche 8gewählte) Basis
außermathematisch ist (sein muß), ist freillich klar.
>
> > Gerede über große Kardinalzahlen und PiPaPo wäre tatsächlich
> > vollständig hinfällig, wenn ein Widerspruch in ZFC nachgewiesen werden
> > würde. Im Gegensatz zur klassischen Mathematik, für die sich ganz
> > einfach gar nichts ändern würde.
>
> Die Hierarchie der grossen Kardinalzahlen bildet eine natuerliche
> Erweiterung von ZFC. Man untersucht hier bestimmte Aussagen nach ihrer
> Konsistenzstaerke. Man kann das ganze auch so deuten: Da man bei ZFC im
> Moment keinen Widerspruch zu finden vermag, baut man groessere Theorien
> darauf auf und untersucht, ob weiterhin alles glatt geht. Dies scheint
> aber fuer viele grosse Kardinalzahlen der Fall zu sein -- man hat aber
> auch schon Grenzen erreicht, die Reinhardkardinalzahlen erwiesen sich
> als widerspruechlich.
>
> Von dem her kritisierst du genau das Vorgehen, das du selbst forderst.
>
> > Ich halte übrgigens das Paradoxon nach Banach und Tarski nach wie vor
> > für einen Beweis der Widersprüchlichkeit von ZFC - auch wenn der
> > Widerspruch "wegdefiniert" wurde. Aber es widerspricht ganz einfach
> > unserem Weltbild, dass man etwas durch zerlegen und wieder
> > zusammensetzen vermehren könnte.
>
> Auch hier ist das Problem in Unverstaendnis zu suchen. Leider versuchst
> du nicht die Sachen nachzuvollziehen, du versuchst sie besser zu wissen.
>
> Im uebrigen halt ich die (zu ZFC + es existiert eine unerreichbare
> konsistente) Theorie ZFC + jede Teilmenge von R ist messbar fuer viel
> unplausibler -- die messbaren Mengen werden ja als eine _kleinste_
> sigma-Algebra mit bestimmten Eigenschaften definiert, warum sollte die
> die gesamte Potenzmenge von R ergeben?
>
Nun, eben, es ist halt wie immer ein Frage der Definition.
Gruß
Albrecht
fiesh
> fiesh <wei...@in.tum.de> schrieb:
>>
>> Im uebrigen halt ich die (zu ZFC + es existiert eine unerreichbare
>> konsistente) Theorie ZFC + jede Teilmenge von R ist messbar fuer viel
>> unplausibler -- die messbaren Mengen werden ja als eine _kleinste_
>> sigma-Algebra mit bestimmten Eigenschaften definiert, warum sollte die
>> die gesamte Potenzmenge von R ergeben?
>
> Es kommt darauf an, was man von dem zugehoerigen R erwartet:
> Wenn man nur will, dass es eine konsistente Theorie ergibt, ist ZFC
> schon plausibel (bei den I-Axiomen bin ich da nicht mehr so sicher),
> aber wenn man erwartet, damit etwas zu "modellieren" (im Sinne der
> Physik), kann man genauso umgekehrt argumentieren:
> Die Teilmengen von R, die in einem solchen Modell (unter
> physikalischer Interpretation) sinnvoll sind, scheinen mir
> *hoechstens* die messbaren Mengen zu sein (und selbst diese Klasse
> ist schon sehr idealisiert).
Es ist doch aber schon eine etwas eigenartige Forderung, wenn man
erwartet, dass nur "physikalisch sinnvolle" Mengen auftreten.
> Wenn man nun aber in einer mathematichen Argumentation *noch mehr*
> Mengen (per AC) hinzuzieht und damit Ergebnisse erhaelt, die
> sich anderweitig nicht erzielen lassen, darf man dann wirklich noch
> erwarten, dass diese Ergebnisse bei Rueckinterpretation des Modells
> in die Physik korrekt sind?
Das stimmt auf jeden Fall.
--
fiesh
fiesh
>> On 2009-12-11, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>> > Widerspruch in ZFC aufgetaucht sei, und dass man auch nicht damit
>> > rechnet, je auf einen Widerspruch zu stossen. Aber vor Goedel hat auch
>>
>> sein sollte. �Es erstaunt mich, dass du das so sicher weisst.
>
> Es war zuvor proklamierte Meinung, dass alles prinzipiell gewusst
> werden kann. Hilberts "es gibt kein Ignoramus et ignorabimus", "wir
> Programm hat Goedel zunichte gemacht. Ob ZFC vollst�ndig w�re war in
> dieser Fragestellung wohl nur implizit Thema.
Also weisst du es doch nicht, gut. Zudem hat der Erkenntnishorizont des
Menschen hat mit der Unvollstaendigkeit von ZFC nicht viel zu tun.
>> > Offensichtlich musste gezielt ein System entwicklet werden und gezielt
>> > eine Aussage konstruiert werden um zum goedelschen Ergebnis zu kommen.
>> > Hat denn sich schon einmal jemand vom Schlag Goedels hingesetzt und
>> > _gezielt_ �versucht, einen Widerspruch in ZFC zu konstruieren. Und
>>
>> Jeder mathematische Beweis kann als Versuch, die Widerspruechlichkeit
>> von ZFC zu zeigen, gesehen werden.
>
> Eine seltsame Auffassung.
Natuerlich nicht.
>> > Gerede �ber gro�e Kardinalzahlen und PiPaPo w�re tats�chlich
>> > vollst�ndig hinf�llig, wenn ein Widerspruch in ZFC nachgewiesen werden
>> > w�rde. Im Gegensatz zur klassischen Mathematik, f�r die sich ganz
>> > einfach gar nichts �ndern w�rde.
>>
>> Die Hierarchie der grossen Kardinalzahlen bildet eine natuerliche
>> Erweiterung von ZFC. �Man untersucht hier bestimmte Aussagen nach ihrer
>> Konsistenzstaerke. �Man kann das ganze auch so deuten: Da man bei ZFC im
>> Moment keinen Widerspruch zu finden vermag, baut man groessere Theorien
>> darauf auf und untersucht, ob weiterhin alles glatt geht. �Dies scheint
>> aber fuer viele grosse Kardinalzahlen der Fall zu sein -- man hat aber
>> auch schon Grenzen erreicht, die Reinhardkardinalzahlen erwiesen sich
>> als widerspruechlich.
>>
>> Von dem her kritisierst du genau das Vorgehen, das du selbst forderst.
>>
>> > Ich halte �brgigens das Paradoxon nach Banach und Tarski nach wie vor
>> > f�r einen Beweis der Widerspr�chlichkeit von ZFC - auch wenn der
>> > Widerspruch "wegdefiniert" wurde. Aber es widerspricht ganz einfach
>> > unserem Weltbild, dass man etwas durch zerlegen und wieder
>> > zusammensetzen vermehren k�nnte.
>>
>> Auch hier ist das Problem in Unverstaendnis zu suchen. �Leider versuchst
>> du nicht die Sachen nachzuvollziehen, du versuchst sie besser zu wissen.
>>
>> Im uebrigen halt ich die (zu ZFC + es existiert eine unerreichbare
>> konsistente) Theorie ZFC + jede Teilmenge von R ist messbar fuer viel
>> unplausibler -- die messbaren Mengen werden ja als eine _kleinste_
>> sigma-Algebra mit bestimmten Eigenschaften definiert, warum sollte die
>> die gesamte Potenzmenge von R ergeben?
>>
>
> Nun, eben, es ist halt wie immer ein Frage der Definition.
Das ist ja gluecklicherweise in der Mathematik nie, da dort klare
Definitionen herrschen.
--
fiesh
Peter
> ... oder "Schöner Wohnen" [3]
> [3] http://www.schoener-wohnen.de/
Na prima, dort kannst du mal deinen Beitrag unterbringen:
"Warum es mir trotz transfiniten Wurzelziehens nicht
gelang einen unendlichen Schrank aufzustellen."
Bobo
> On 11 Dez., 11:01, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>>
>> Es gibt nunmal kein gesichertes Fundament (abgesehen von recht
>> schwachen Theorien).
>
> Das ist eine Ansicht, keine Erkenntnis. Glaubst Du ernsthaft, dass die
> bisher beschrittenen Wege zur Fundierung der Mathematik die einzigen
> einer Fundierung ausgeht. Dass die letztendliche 8gew�hlte) Basis
> au�ermathematisch ist (sein mu�), ist freillich klar.
Wieso ist das klar? Und was bedeutet hier "letztendliche gew�hlte Basis"?
--
Bobo
Bobo
> On 11 Dez., 11:01, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>>
>> Es gibt nunmal kein gesichertes Fundament (abgesehen von recht
>> schwachen Theorien).
>
> Das ist eine Ansicht, keine Erkenntnis. Glaubst Du ernsthaft, dass die
> bisher beschrittenen Wege zur Fundierung der Mathematik die einzigen
> einer Fundierung ausgeht. Dass die letztendliche 8gew�hlte) Basis
> au�ermathematisch ist (sein mu�), ist freillich klar.
Wieso ist das klar? Und was bedeutet hier "letztendlich gew�hlte Basis"?
--
Bobo
Klaus Cammin
> Glaubst Du ernsthaft, dass die
> bisher beschrittenen Wege zur Fundierung der Mathematik die einzigen
Nein, das glaube ich nicht.
Euer Weg ist auch m�glich.
Aber die Resultate sind schei�e.
Keine Vollst�ndigkeit ist schei�e.
Viele Gr��e
Klaus
Bobo
Wer will schon Vollst�ndigkeit? Ist ja langweilig.
No risk, no fun. (SCNR)
--
Bobo
Herbert Newman
> Wer will schon Vollst�ndigkeit? Ist ja langweilig.
Eh, und ZFC ist ja bekanntlich auch unvollst�ndig. :-)
F.
Herbert Newman
> Euer Weg ist auch m�glich.
Welcher Weg?! Der Weg ins Schei�haus? :-o
> Aber die Resultate sind[: S]chei�e.
Also doch: Hab's mir doch gedacht. :-)
F.
Bobo
Jedenfalls dann, wenn ZFC konsistent ist; ist das bekannt?
--
Bobo
Herbert Newman
>>> Wer will schon Vollst�ndigkeit? Ist ja langweilig.
>>
>> Eh, und ZFC ist ja bekanntlich auch unvollst�ndig. :-)
>
> Jedenfalls dann, wenn ZFC konsistent ist; ist das bekannt?
Opps... Auch wieder wahr. Ja, ok: Wenn ZFC konsistent ist. ;-)
Wollen mal hoffen, d a s s es so ist.
Herbert
Ralf Bader
Das ist allenfalls ein Beweis, daß es noch blöder geht als in der
Bildzeitung. Man könnte ja etwas dazu sagen, wie dieser Hilbertsche
Ausspruch mutmaßlich gemeint war. Aber wozu? Hier watet man doch nur im
Müll.
--
W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last element
[is finite]"
Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
Applied Science": "There is no natural number called "out a last element".
Ulrich Lange
> On 11 Dez., 07:00, Ulrich Lange <ulrich.la...@invalid.invalid> wrote:
>> fiesh schrieb:
> [...]
> Es gibt Leute, die verdienen sich mit sowas ihre t�glichen Br�tchen.
> Es sind sicher abz�hlbar viele. Ich vermeute sogar: an einer Hand
> abz�hlbar viele.
Na und? Die auf meinem Forschungsgebiet, das nix mit Mengenlehre zu tun
hat, aktiven Leute kannst Du auch an einer Hand abz�hlen und
wahrscheinlich werden die meisten anderen Menschen auch nicht verstehen,
wie man damit seine Br�tchen verdienen kann.
> Aber beschleicht da nicht jeden irgend wann das ungute Gef�hl, dass
> hier �ber reine Hinrgespinste nachgedacht wird?
> Und wenn ich den hier zum Teil stattfindenden Gedankenaustausch
> [...] lese,
> so beschleicht mich das leichte Gef�hl, dass es wohl auch nur sehr
> wenig Leute gibt, die einigerma�en eine Ahnung von dem haben, �ber was
> sie da reden.
Du solltest Dich vielleicht insgesamt weniger von Deinen Gef�hlen leiten
lassen...
> Denn mit "Ahnung haben" meine ich, dass jemand
> Einzeltatsachen in ein gro�es _Gesamt_bild einordnen k�nnte.
Genau das hat Fiesh hier netterweise mit der "Einzeltatsache"
2^omega0=omega2 getan. Du hast es bloss nicht bemerkt (oder sollte ich
besser sagen "nicht gef�hlt"? ;-) )
Martin Vaeth
>
> Es ist doch aber schon eine etwas eigenartige Forderung, wenn man
> erwartet, dass nur "physikalisch sinnvolle" Mengen auftreten.
Wenn man etwas Physikalisches modelliert und damit Rueckschluesse
auf die Physik ziehen will, erscheint mir diese Forderung gar
nicht eigenartig.
Denn sonst erhaelt man nur Ergebnisse nach dem Motto "Es gibt diese
Dinge, die hier wesentlich eingehen, zwar nicht in der Physik,
aber wenn es sie gaebe, dann wuerde [ein aus dem Modell gezogener
Schluss] gelten". (Das Beispiel weiter unten macht vielleicht
klarer, was ich meine).
>> Wenn man nun aber in einer mathematichen Argumentation *noch mehr*
>> Mengen (per AC) hinzuzieht und damit Ergebnisse erhaelt, die
>> sich anderweitig nicht erzielen lassen, darf man dann wirklich noch
>> erwarten, dass diese Ergebnisse bei Rueckinterpretation des Modells
>> in die Physik korrekt sind?
>
> Das stimmt auf jeden Fall.
Diese Aussage verstehe ich sprachlich nicht (was ist "Das")?
Man muss natuerlich sowieso sehr vorsichtig sein, wenn man etwas
Physikalisches mathematisch modelliert, denn man kann prinzipiell
nicht nachweisen, dass ein solches Modell stimmt. Wenn man nun
aber auf der mathematischen Seite mit einem Axiomensystem hantiert,
das Mengen zulaesst, die in der physikalischen Interpretation gar
nicht auftreten koennen, macht es das Modell erst recht zweifelhaft.
Damit ich nicht ganz so in den luftleeren Raum rede:
Nehmen wir ein unendlichdimensionales dynamisches System, in der
die Loesung Funktionen sein sollen, die eine gewisse Masseverteilung
in Zeitabhaengigkeit beschreiben sollen. Nehmen wir weiter an, wir
koennen in ZF+AC (etwa mit Hahn-Banach) nachweisen, dass ein
Equilibrium dieses Systems instabil ist, aber in ZF+DC+LM
("alle Mengen sind Lebesgue-messbar") stellt sich das System als
stabil heraus (etwa, weil die einzig instabile Richtung eine
nicht-messabare Funktion sein muesste).
Wird man erwarten koennen, dass das physikalische System sich bei
dem Equilibrium stabil verhaelt?
Zugegeben: M.W. ist derzeit kein solches Beispiel bekannt;
ich wuesste sehr gerne eines, denn dann koennte man sozusagen
"per Experiment" nachmesssen, ob AC oder LM die vernuenftigere
Annahme ist. Das obige Beispiel ist auch bewusst sehr schwammig
formuliert (in welchen Raeumen ist das System instabil? Es
muesste ja ein Raum sein, der nicht-messbare Funktionen enthaelt).
Ich bin also sehr vorsichtig darin, zu behaupten, dass
LM plausibler ist, als AC, aber mindestens genauso vorsichtig
waere ich bei der Behauptung, dass AC plausibler ist als LM.
Peter
> Nehmen wir ein unendlichdimensionales dynamisches System, in der
> die Loesung Funktionen sein sollen, die eine gewisse Masseverteilung
> in Zeitabhaengigkeit beschreiben sollen. Nehmen wir weiter an, wir
> koennen in ZF+AC (etwa mit Hahn-Banach) nachweisen, dass ein
> Equilibrium dieses Systems instabil ist, aber in ZF+DC+LM
> ("alle Mengen sind Lebesgue-messbar") stellt sich das System als
> stabil heraus (etwa, weil die einzig instabile Richtung eine
> nicht-messabare Funktion sein muesste).
> Wird man erwarten koennen, dass das physikalische System sich bei
> dem Equilibrium stabil verhaelt?
> Zugegeben: M.W. ist derzeit kein solches Beispiel bekannt;
> ich wuesste sehr gerne eines, denn dann koennte man sozusagen
> "per Experiment" nachmesssen, ob AC oder LM die vernuenftigere
> Annahme ist.
Faszinierender Gedanke.
fiesh
> fiesh <wei...@in.tum.de> schrieb:
>>
>> Es ist doch aber schon eine etwas eigenartige Forderung, wenn man
>> erwartet, dass nur "physikalisch sinnvolle" Mengen auftreten.
>
> Wenn man etwas Physikalisches modelliert und damit Rueckschluesse
> auf die Physik ziehen will, erscheint mir diese Forderung gar
> nicht eigenartig.
> Denn sonst erhaelt man nur Ergebnisse nach dem Motto "Es gibt diese
> Dinge, die hier wesentlich eingehen, zwar nicht in der Physik,
> aber wenn es sie gaebe, dann wuerde [ein aus dem Modell gezogener
> Schluss] gelten". (Das Beispiel weiter unten macht vielleicht
> klarer, was ich meine).
Ich sehe das eher so: Wenn ich beliebige Buchstabenketten betrachte, so
kann durchaus mal ein sinnvolles Wort herauskommen, es muss aber nicht.
Aehnlich ist es mit Teilmengen der reellen Zahlen, manche kann man
sinnvoll (oder eher erfolgreich) physikalisch interpretieren, aber
erwarten, dass es fuer alle geht, darf man nicht.
Ein anderes Beispiel: Man hat 3 Muenzen. Wie viele Moeglichkeiten hat
man, diese an 2 Personen zu verteilen? In Q gerechnet unendlich viele,
aber trotzdem entsprechen die meisten davon nicht dem, was wir als
"korrektes" Ergebnis ansehen. Ich kann aber keinen a priori Grund
erkennen, warum Q zum Muenzzaehlen schlechter geeignet sein sollte als R
und seine Teilmengen fuer die Physik.
>>> Wenn man nun aber in einer mathematichen Argumentation *noch mehr*
>>> Mengen (per AC) hinzuzieht und damit Ergebnisse erhaelt, die
>>> sich anderweitig nicht erzielen lassen, darf man dann wirklich noch
>>> erwarten, dass diese Ergebnisse bei Rueckinterpretation des Modells
>>> in die Physik korrekt sind?
>>
>> Das stimmt auf jeden Fall.
>
> Diese Aussage verstehe ich sprachlich nicht (was ist "Das")?
Ich las das als eine rhetorische Frage und wollte meiner Interpretation
ihrer Aussage zustimmen. ;)
Intuitiv wuerde ich sagen, das System kann "in echt" nicht stabil
werden, sonst haetten wir ja ein Beispiel fuer eine nicht messbare
Funktion. Dazu brauchen wir aber nicht einmal ZF+DC+LM zu betrachten,
wenn in ZFC folgt, dass der einzige stabile Zustand nicht-messbar ist,
so stehen wir doch schon vor dem gleichen Problem?
--
fiesh
Christopher Creutzig
> Kein Problem! Schoen, wenn jemand meine Antworten auch liest ;)
Oh, keine Sorge, ich habe sie durchaus auch gelesen. Sie wird nur immer
wieder auf �ungelesen� gestellt, weil ich noch nicht dazu gekommen bin,
in der geb�hrenden Mu�e dar�ber nachzudenken. Deswegen steht auch mein
Dank dazu schon zu lange aus. :-O
--
F�r 10 EUR im Jahr erfahre ich hier sogar was meine Meinung ist.
Andere Leute m�ssen daf�r heiraten.
[Lars Friedrich �ber UseNet]
Martin Vaeth
> On 2009-12-12, Martin Vaeth <va...@mathematik.uni-wuerzburg.de> wrote:
>> fiesh <wei...@in.tum.de> schrieb:
>>>
>>> Es ist doch aber schon eine etwas eigenartige Forderung, wenn man
>>> erwartet, dass nur "physikalisch sinnvolle" Mengen auftreten.
>>
>> Wenn man etwas Physikalisches modelliert und damit Rueckschluesse
>> auf die Physik ziehen will, erscheint mir diese Forderung gar
>> nicht eigenartig.
>> Denn sonst erhaelt man nur Ergebnisse nach dem Motto "Es gibt diese
>> Dinge, die hier wesentlich eingehen, zwar nicht in der Physik,
>> aber wenn es sie gaebe, dann wuerde [ein aus dem Modell gezogener
>> Schluss] gelten". (Das Beispiel weiter unten macht vielleicht
>> klarer, was ich meine).
>
> Ich sehe das eher so: Wenn ich beliebige Buchstabenketten betrachte, so
> kann durchaus mal ein sinnvolles Wort herauskommen, es muss aber nicht.
> Aehnlich ist es mit Teilmengen der reellen Zahlen, manche kann man
> sinnvoll (oder eher erfolgreich) physikalisch interpretieren, aber
> erwarten, dass es fuer alle geht, darf man nicht.
Dem stimme ich zu. Der entscheidende Punkt ist aber die Frage der
Rueckschluesse auf die Physik, also wenn im Ergebnis wieder nur
interpretierbare Dinge auftreten, aber in den Zwischenschritten
eines Beweises nichtinterpretierbare (und dies nicht an einem
ungeschickten Beweis liegt sondern im Wesen der Sache), "darf"
man schliessen, dass die Folgerung in der Physik trotzdem richtig
ist?
Bei solchen Dingen denkt man natuerlich sofort an das klassische
Beispiel der komplexen Zahlen, die ja "direkt" nicht physikalisch
interpretierbar sind. Nur passt das Beispiel leider nicht ganz,
denn Rechnen mit komplexen Zahlen kann man ja sozusagen immer
"umschreiben" - hier ist also die Voraussetzung, dass es nur
an einem "ungeschickten Beweis" liegt, nicht erfuellt.
> Ein anderes Beispiel: Man hat 3 Muenzen. Wie viele Moeglichkeiten hat
> man, diese an 2 Personen zu verteilen? In Q gerechnet unendlich viele,
> aber trotzdem entsprechen die meisten davon nicht dem, was wir als
> "korrektes" Ergebnis ansehen. Ich kann aber keinen a priori Grund
> erkennen, warum Q zum Muenzzaehlen schlechter geeignet sein sollte als R
> und seine Teilmengen fuer die Physik.
Das Beispiel passt m.E. aus dem selben Grund nicht: Es waere erst dann
interessant, wenn man, sobald man bei natuerlichen Zahlen "endet"
durch Rechnen mit R auf weitere Endergebnisse kaeme, die man ohne
die Zwischenschritte mit R nicht erreichen koennte.
Das war vielleicht ein Missverstaendnis: Natuerlich, wenn das
Equilibrium nicht messbar ist, kann es wohl physikalisch gar nicht
erst einmal eintreten - wie wollte man das auch feststellen?
Ich meinte vielmehr, dass das Equilibrium selbst schon messbar und
"einfach" sein sollte, etwa die Nullfunktion, aber dass in der
"Linearisierung" die instabilen Richtungen (also Funktionen, die nur
von der Raum-Variable abhaengen) allesamt nicht messbar sind.
Bei geeigneter Nichtlinearitaet ist es dann m.E. vorstellbar, dass
auch entlang eines instabilen Orbits jeweils nur messbare Werte
auftreten, nur kann man den instabilen Orbit eben trotzdem nicht
"konstruktiv" (d.h. in ZF+DC+LM) nachweisen, waehrend sein Nachweis
in ZF+AC moeglich ist.
Dann haetten wir also genau die Situation, dass das "Ergebnis"
in beiden Faellen physikalisch interpretierbar ist, aber sich
die Ergebnisse eben in Abhaengigkeit der benutzten Axiome
unterscheiden.
Meine Intuition sagt, dass das Equilibrium physikalisch stabil
bleibt, weil der "wilde inkonstruktive" Orbit trotz Messbarkeit
physikalisch nicht auftreten kann. Falls dies richtig waere,
spraeche dies gegen die Benutzung von AC in physikalischen
Modellen.
Natuerlich muss ich betonen, dass das weit von einem konkreten
Beispiel entfernt ist, und da ich nicht einmal weiss, welche
Funktionenraeume man betrachten sollte, kann ich auch den
Begriff "Linearisierung" nicht praezisieren. Man koennte sich
dann immer noch streiten, ob nicht einfache die Funktionenraeume
fuer das Problem unangemessen sind, usw.
Das Beispiel soll nur klarmachen, dass die "selbstverstaendliche"
Benutzung von AC, wie sie in der Praxis passiert, vielleicht doch
nicht so klar gerechtfertigt ist.
Christopher Creutzig
> Ich meinte vielmehr, dass das Equilibrium selbst schon messbar und
> "einfach" sein sollte, etwa die Nullfunktion, aber dass in der
> "Linearisierung" die instabilen Richtungen (also Funktionen, die nur
> von der Raum-Variable abhaengen) allesamt nicht messbar sind.
Meinst Du damit vielleicht etwas �hnliches wie Smale mit seinem
Beispiel eines homozyklischen Orbits, dessen Verhalten durch eine
Zeitdiskretisierung (wie man sie f�r eine numerische Behandlung macht)
auf einmal, ganz ohne Rechenungenauigkeiten etc., zwangsweise chaotisch
wird?
Ich verfolge diesen Gedankenaustausch jedenfalls ausgesprochen
interessiert, wenn ich auch bezweifele, dass ich zur physikalischen
Seite irgend etwas beizutragen habe.
--
F�r 10 EUR im Jahr erfahre ich hier sogar was meine Meinung ist.
Andere Leute m�ssen daf�r heiraten.
[Lars Friedrich �ber UseNet]
Martin Vaeth
> Martin Vaeth wrote:
>
>> Ich meinte vielmehr, dass das Equilibrium selbst schon messbar und
>> "einfach" sein sollte, etwa die Nullfunktion, aber dass in der
>> "Linearisierung" die instabilen Richtungen (also Funktionen, die nur
>> von der Raum-Variable abhaengen) allesamt nicht messbar sind.
>
> Beispiel eines homozyklischen Orbits, dessen Verhalten durch eine
> auf einmal, ganz ohne Rechenungenauigkeiten etc., zwangsweise chaotisch
> wird?
Nein, chaotisch heisst ja nicht unbedingt, dass es physikalisch nicht
auftreten kann.
Ich meinte ein (unendlichdimensioneles) dynamisches System, in
dem der Zustandsraum ein Raum von Funktionen (einer "raeumlichen"
Veraendlichen) ist, etwa so etwas wie eine parabolische partielle
Differentialgleichung (es wird aber vermutlich eine kompliziertere
Gleichung sein muessen als "nur" eine PDE). Wenn der zugehoerige
linearisierte Operator eine kompakte Resolvente hat, entsprechen
den Spektralwerten mit positivem Realteil (die das Equilibrium 0
instabil "machen") zugehoerige Eigenfunktionen,
die - grob gesprochen - die moeglichen "Richtungen" angeben, in
die sich das linearisierte (und annaehernd auch das nichtlineare)
System von der 0 wegbewegen kann; das meinte ich mit
nichtmessbaren Funktionen als "instabile Richtungen".
> Ich verfolge diesen Gedankenaustausch jedenfalls ausgesprochen
> interessiert, wenn ich auch bezweifele, dass ich zur physikalischen
> Seite irgend etwas beizutragen habe.
Gerade die Physik ist aber eben das Problem dabei: Sicherlich koennte
man sich mit viel Muehe ein System "zusammenbasteln", bei dem man mit
AC bzw. DC+LM verschiedene Aussagen bekommt, aber wenn dieses
System nicht wirklich aus der Physik kommt, traegt dies nicht zur
Klaerung bei.
Ein Beispiel muesste auch nicht unbedingt ein dynamisches System sein,
es gibt ja noch etliche andere Punkte der Analysis, in denen man mit
ZF+AC und ZF+DC+nochwas verschiedene Ergebnisse bekommt; das
Problem ist immer nur, dass die meisten dieser Ergebnisse nicht so
unmittelbar zu einem (physikalischen) Modell gehoeren.
Christopher Creutzig
> Nein, chaotisch heisst ja nicht unbedingt, dass es physikalisch nicht
> auftreten kann.
Das ist mir durchaus klar. Ich wollte eigentlich mehr darauf hinaus,
dass der Smale-Horseshoe ja (auch?) sein Verhalten deutlich �ndert, wenn
man die Modellierung/Betrachtung in einer Weise �ndert, die vorher viele
f�r absolut unkritisch hielten.
> Gerade die Physik ist aber eben das Problem dabei: Sicherlich koennte
> man sich mit viel Muehe ein System "zusammenbasteln", bei dem man mit
> AC bzw. DC+LM verschiedene Aussagen bekommt, aber wenn dieses
> System nicht wirklich aus der Physik kommt, traegt dies nicht zur
> Klaerung bei.
Und �Kl�rung� kann hier ja ohnehin nur bedeuten, welches mathematische
Modell f�r eben diesen physikalischen Sachverhalt besser passt. Aber
interessant bleibt die Frage nat�rlich nichtsdestotrotz.
Rainer Rosenthal
> Throughout the book the authors attempt to demystify mathematical
> thought, ...
Und ich habe auch was hï¿œbsches Englisches zum Thema gefunden:
Some say the pope is the greatest cardinal.
But others insist this cannot be so, as every pope has a successor.
( Quelle: http://www.math.utah.edu/~cherk/mathjokes.html#topic7 )
Ralf Bader
Ohne mich um die Details gekümmert zu haben, würde ich aber doch sagen, daß
man dann zwar feststellen kann, "ob AC oder LM die vernuenftigere Annahme
ist" - in diesem physikalischen Kontext. Aber nicht in einem absoluten
Sinne.
Ralf
Albrecht
> On 2009-12-11, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
> > On 11 Dez., 11:01, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
> >> On 2009-12-11, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
> >> > Widerspruch in ZFC aufgetaucht sei, und dass man auch nicht damit
> >> > rechnet, je auf einen Widerspruch zu stossen. Aber vor Goedel hat auch
>
> >> Ich weiss nicht, ob es zuvor gaengige Meinung war, dass ZFC vollstaendig
> >> sein sollte. Es erstaunt mich, dass du das so sicher weisst.
>
> > Es war zuvor proklamierte Meinung, dass alles prinzipiell gewusst
> > werden kann. Hilberts "es gibt kein Ignoramus et ignorabimus", "wir
> > Programm hat Goedel zunichte gemacht. Ob ZFC vollständig wäre war in
> > dieser Fragestellung wohl nur implizit Thema.
>
> Also weisst du es doch nicht, gut.
Was würde ich nicht wissen? Und warum gut?
Manche Fragestellungen tauchen eben erst auf, wenn ein vorhergehender
Schritt getätigt wurde. Die Bestrebungen vieler Mathematiker des
angehenden 20. Jahrhunderts gingen bekanntlich dahin, Mathematik als
ganzes auf eine konsistente und durchgängige Grundlage zu stellen.
Diese Hoffnung wurde durch die Erkenntnis zerstört, dass beliebig
viele Axiomensysteme denkbar sind und es anscheinend kein Kriterium
gibt ein bevorzugtes zu identifizieren. Weiterhin ist innerhalb eines
jeden dieser Systeme nicht entscheidbar, ob es widerspruchsfrei ist
oder nicht. Und jedes dieser Systeme kann durch beliebig viele Axiome
ergänzt werden. Dazu kommt noch, dass es keine harten Kriterien gibt,
ein Axiom als gerechtfertigt zu identifizieren.
> Zudem hat der Erkenntnishorizont des
> Menschen hat mit der Unvollstaendigkeit von ZFC nicht viel zu tun.
>
> >> > Offensichtlich musste gezielt ein System entwicklet werden und gezielt
> >> > eine Aussage konstruiert werden um zum goedelschen Ergebnis zu kommen.
> >> > Hat denn sich schon einmal jemand vom Schlag Goedels hingesetzt und
> >> > _gezielt_ versucht, einen Widerspruch in ZFC zu konstruieren. Und
>
> >> Jeder mathematische Beweis kann als Versuch, die Widerspruechlichkeit
> >> von ZFC zu zeigen, gesehen werden.
>
> > Eine seltsame Auffassung.
>
> Natuerlich nicht.
Jeder mathematische Beweis geht von der Widerspruchsfreiheit von ZFC
_aus_. Wie sollte dann damit die Widersprüchlichkeit erweisbar sein???
>
>
>
> >> > Gerede über große Kardinalzahlen und PiPaPo wäre tatsächlich
> >> > vollständig hinfällig, wenn ein Widerspruch in ZFC nachgewiesen werden
> >> > würde. Im Gegensatz zur klassischen Mathematik, für die sich ganz
> >> > einfach gar nichts ändern würde.
>
> >> Die Hierarchie der grossen Kardinalzahlen bildet eine natuerliche
> >> Erweiterung von ZFC. Man untersucht hier bestimmte Aussagen nach ihrer
> >> Konsistenzstaerke. Man kann das ganze auch so deuten: Da man bei ZFC im
> >> Moment keinen Widerspruch zu finden vermag, baut man groessere Theorien
> >> darauf auf und untersucht, ob weiterhin alles glatt geht. Dies scheint
> >> aber fuer viele grosse Kardinalzahlen der Fall zu sein -- man hat aber
> >> auch schon Grenzen erreicht, die Reinhardkardinalzahlen erwiesen sich
> >> als widerspruechlich.
>
> >> Von dem her kritisierst du genau das Vorgehen, das du selbst forderst.
Du hast seltsame Gedanlengänge.
>
> >> > Ich halte übrgigens das Paradoxon nach Banach und Tarski nach wie vor
> >> > für einen Beweis der Widersprüchlichkeit von ZFC - auch wenn der
> >> > Widerspruch "wegdefiniert" wurde. Aber es widerspricht ganz einfach
> >> > unserem Weltbild, dass man etwas durch zerlegen und wieder
> >> > zusammensetzen vermehren könnte.
>
> >> Auch hier ist das Problem in Unverstaendnis zu suchen. Leider versuchst
> >> du nicht die Sachen nachzuvollziehen, du versuchst sie besser zu wissen.
Aha.
>
> >> Im uebrigen halt ich die (zu ZFC + es existiert eine unerreichbare
> >> konsistente) Theorie ZFC + jede Teilmenge von R ist messbar fuer viel
> >> unplausibler -- die messbaren Mengen werden ja als eine _kleinste_
> >> sigma-Algebra mit bestimmten Eigenschaften definiert, warum sollte die
> >> die gesamte Potenzmenge von R ergeben?
>
> > Nun, eben, es ist halt wie immer ein Frage der Definition.
>
> Das ist ja gluecklicherweise in der Mathematik nie, da dort klare
> Definitionen herrschen.
Wieder eine äusserst seltsame Logik. Klare Definitionen, ja. Klarheit
für die Entscheidungsfindung, welche Definitionen angewandt werden
müssten, nein. Darum ging es mir. Ich stelle hier in den Diskussionen
immer wieder fest, dass jeder seinen mehr oder minder privaten
Definitionskanon verwendet. Die besonders geschickten Rhetoriker
können auf diese Art jede ihrer dämlichsten Äusserungen im Nachhinein
rechtfertigen. Dieser Umstand macht hier viele Diskussionen so
unerquicklich.
Gruß
Albrecht
Rainer Rosenthal
>
> Und ich habe auch was hï¿œbsches Englisches zum Thema gefunden:
>
> Some say the pope is the greatest cardinal.
> But others insist this cannot be so, as every pope has a successor.
> ( Quelle: http://www.math.utah.edu/~cherk/mathjokes.html#topic7 )
>
Weiteres Stï¿œbern dort ergab diesen Treffer:
Pi goes on and on and on ...
And e is just as cursed.
I wonder: Which is larger
When their digits are reversed?
Freie ï¿œbersetzung:
Pi hat viele Stellen,
und auch e ist ellen-
lang, ohne zu enden.
Tï¿œte man die beiden wenden,
welche Zahl hￜtt' grￜￜren Wert:
Pi-verkehrt oder e-verkehrt?
Gruￜ,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de
--
ZFC = Zweck-frei chatten
Albrecht
> On 11 Dez., 15:39, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>
>
> > >> Jeder mathematische Beweis kann als Versuch, die Widerspruechlichkeit
> > >> von ZFC zu zeigen, gesehen werden.
>
> > > Eine seltsame Auffassung.
>
> > Natuerlich nicht.
>
> Jeder mathematische Beweis geht von der Widerspruchsfreiheit von ZFC
> _aus_. Wie sollte dann damit die Widersprüchlichkeit erweisbar sein???
>
Für die ewigen Missversteher: Natürlich ist gemeint: "jeder
mathematische Beweis _innerhalb von ZFC_ geht von der
Widerspruchsfreiheit von ZFC aus.
AS
fiesh
> On 11 Dez., 15:39, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>> >> Jeder mathematische Beweis kann als Versuch, die Widerspruechlichkeit
>> >> von ZFC zu zeigen, gesehen werden.
>>
>> > Eine seltsame Auffassung.
>>
>> Natuerlich nicht.
>
> Jeder mathematische Beweis geht von der Widerspruchsfreiheit von ZFC
Das, bzw auch dein spaeteres
> F�r die ewigen Missversteher: Nat�rlich ist gemeint: "jeder
> mathematische Beweis _innerhalb von ZFC_ geht von der
> Widerspruchsfreiheit von ZFC aus.
verdienen lediglich ein "setzen, sechs". Wieder mal typisch, nicht mal
wissen, was ein Beweis ist, aber schlau daherreden. Da habe ich keine
Lust mehr auf weitere Diskussion.
>> Das ist ja gluecklicherweise in der Mathematik nie, da dort klare
>> Definitionen herrschen.
>
> Wieder eine �usserst seltsame Logik. Klare Definitionen, ja. Klarheit
> f�r die Entscheidungsfindung, welche Definitionen angewandt werden
> m�ssten, nein. Darum ging es mir. Ich stelle hier in den Diskussionen
> immer wieder fest, dass jeder seinen mehr oder minder privaten
> Definitionskanon verwendet. Die besonders geschickten Rhetoriker
> k�nnen auf diese Art jede ihrer d�mlichsten �usserungen im Nachhinein
> rechtfertigen. Dieser Umstand macht hier viele Diskussionen so
> unerquicklich.
Nein, der Umstand, dass es Leute gibt, die nicht lernen sondern
besserwissen wollen, der macht hier viele Diskussion so unerquicklich.
--
fiesh
fiesh
>> Ein anderes Beispiel: Man hat 3 Muenzen. Wie viele Moeglichkeiten hat
>> man, diese an 2 Personen zu verteilen? In Q gerechnet unendlich viele,
>> aber trotzdem entsprechen die meisten davon nicht dem, was wir als
>> "korrektes" Ergebnis ansehen. Ich kann aber keinen a priori Grund
>> erkennen, warum Q zum Muenzzaehlen schlechter geeignet sein sollte als R
>> und seine Teilmengen fuer die Physik.
>
> Das Beispiel passt m.E. aus dem selben Grund nicht: Es waere erst dann
> interessant, wenn man, sobald man bei natuerlichen Zahlen "endet"
> durch Rechnen mit R auf weitere Endergebnisse kaeme, die man ohne
> die Zwischenschritte mit R nicht erreichen koennte.
Dann ist das eher aehnlich zu dem Problem, mit welchem Grund man Beweise
ueber natuerlich Zahlen akzeptiert, die sich der Mengenlehre oder auch
nur der reellen Zahlen bedienen. (Ich antworte hier auf dein ganzes
Posting, den zweiten Absatz habe ich nicht einfach ignoriert.)
Hier hat man konkretere Beispiele... aber hat man auch eine
befriedigende Antwort? Ich glaube nicht. Das Problem ist vermutlich
fundamentaler zu suchen. Man glaubt, mit der Mathematik Aspekte der
realen Welt sinnvoll modelieren oder in ihr interepretieren zu koennen,
vielleicht sind dem einfach (unklare) Grenzen gesetzt.
... auch keine sehr befriedigende Antwort von mir ;)
--
fiesh
Carsten Schultz
Was fiesh meinte, ist: Jeder (zumindest informell in ZFC geführte)
Beweis ergibt neue aus ZFC ableitbare Aussagen und damit die
Möglichkeit, dass unter ihnen eine ist, von deren Negation man auch
weiß, dass sie ableitbar ist. Die Existenz einer solchen Ableitung wäre
aber per Definition die Inkonsistenz von ZFC.
Daher ist auch Dein Vergleich mit der Unvollständigkeit nicht
überzeugend, denn im Gegensatz zur Inkonsistenz bedeutet die
Unvollständigkeit ja die Nicht-Existenz eines Beweises einer Aussage
oder ihrer Negation.
Mathematiker stoßen ständig auf Aussagen, bei denen sie weder einen
Beweis noch einen Beweis der Negation kennen. Dass alleine sagt
natürlich nichts aus, denn ein solcher kann trotzdem existieren. Es ist
aber noch nicht vorgekommen, dass ein (in ZFC arbeitender) Mathematiker
den Beweis einer Aussage und ihrer Negation gefunden hätte. Man sollte
hinzufügen: Einen korrekten Beweis. Mathematiker sind Menschen, und
Menschen machen Fehler. Viele Mathematiker werden schon gescherzt
haben, sie hätten wieder einmal eine Inkonsistenz von ZFC gefunden. Das
heißt dann, dass sie etwas bewiesen haben, von dem sie wissen, dass die
Negation bewiesen ist, und sie den Fehler in ihrem Beweis (oder unter
Umständen dem alten der Negation) noch nicht gefunden haben. Bisher
wurde dieser Fehler dann immer gefunden. nUnd das obwohl Mathematiker
durchaus aus Aussagen beweisen, die überraschend sind, es also nicht
immer schon vorher klar ist, ob die Aussage oder ihre Negation beweisbar
sein wird. Einige bewiesene Aussagen sind ja gar so überraschend, dass
sie manchmal als Paradoxien bezeichnet werden. Trotzdem war noch kein
Widerspruch darunter. Das sehe ich als ein starkes Indiz für die
Widerspruchsfreiheit von ZFC an.
Beweise in ZFC setzen die Widerspruchsfreiheit von ZFC nicht voraus.
Unabhängig davon ist dein Einwand übrigens auch auf logischer Ebene
falsch: Aus der Aussage „aus A folgt nicht-A“ folgt logisch die Aussage
nicht-A. Insofern könnte man auch die Widerspruchsfreiheit von ZFC
annehmend die Widersprüchlichkeit von ZFC beweisen. Das wäre ein so
genannter Widerspruchsbeweis ;-)
Gruß
Carsten
--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.
Martin Vaeth
>
> Ohne mich um die Details gekuemmert zu haben, wuerde ich aber doch sagen,
> dass man dann zwar feststellen kann, "ob AC oder LM die vernuenftigere
> Annahme ist" - in diesem physikalischen Kontext. Aber nicht in einem
> absoluten Sinne.
Das ist ein aehnlicher Einwand, wie der von Christopher.
Natuerlich ist Verallgemeinerung von Modellierungs"konzepten"
prinzipiell genauso unmoeglich, wie der Nachweis, dass ein solches
Modell korrekt ist.
Aber man kann doch davon ausgehen, dass die meisten physikalischen
Modelle einem aehnlichen "Konzept" folgen, so dass man (falls man
ein "vernuenftiges" Modell haette, bei dem entweder AC oder DC+LM
das Beobachtbare liefern) doch mit gutem Recht davon ausgehen
koennte, dass das selbe dann fuer eine sehr grosse Klasse der in der
Praxis benutzten Modelle (wenn nicht sogar fuer alle davon) gilt.
Albrecht
> On 2009-12-13, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
> > On 11 Dez., 15:39, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
> >> >> Jeder mathematische Beweis kann als Versuch, die Widerspruechlichkeit
> >> >> von ZFC zu zeigen, gesehen werden.
>
> >> > Eine seltsame Auffassung.
>
> >> Natuerlich nicht.
>
> > Jeder mathematische Beweis geht von der Widerspruchsfreiheit von ZFC
>
> Das, bzw auch dein spaeteres
>
> > mathematische Beweis _innerhalb von ZFC_ geht von der
> > Widerspruchsfreiheit von ZFC aus.
>
> verdienen lediglich ein "setzen, sechs". Wieder mal typisch, nicht mal
> wissen, was ein Beweis ist, aber schlau daherreden. Da habe ich keine
> Lust mehr auf weitere Diskussion.
Das ist doch hohles Gewäsch. Ein Beweis, der nicht die
Widerspruchsfreiheit eines Systems voraussetzt ist höchstensfalls eine
Meinungsbekundung. Es ist das Wesen eines Beweises, dass seine
Stringents vorausgesetzt wird. Und diese ergibt sich einzig und
alleine aus der Widerspruchsfreiheit des verwendeten Systems. Wie
kannst Du nur so dumm daherreden.
>
> >> Das ist ja gluecklicherweise in der Mathematik nie, da dort klare
> >> Definitionen herrschen.
>
> > Wieder eine äusserst seltsame Logik. Klare Definitionen, ja. Klarheit
> > für die Entscheidungsfindung, welche Definitionen angewandt werden
> > müssten, nein. Darum ging es mir. Ich stelle hier in den Diskussionen
> > immer wieder fest, dass jeder seinen mehr oder minder privaten
> > Definitionskanon verwendet. Die besonders geschickten Rhetoriker
> > können auf diese Art jede ihrer dämlichsten Äusserungen im Nachhinein
> > rechtfertigen. Dieser Umstand macht hier viele Diskussionen so
> > unerquicklich.
>
> Nein, der Umstand, dass es Leute gibt, die nicht lernen sondern
> besserwissen wollen, der macht hier viele Diskussion so unerquicklich.
>
Dein Problem.
AS
fiesh
> On 13 Dez., 13:33, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>> On 2009-12-13, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>> > Jeder mathematische Beweis geht von der Widerspruchsfreiheit von ZFC
>>
>> Das, bzw auch dein spaeteres
>>
>> > mathematische Beweis �_innerhalb von ZFC_ �geht von der
>> > Widerspruchsfreiheit von ZFC aus.
>>
>> verdienen lediglich ein "setzen, sechs". �Wieder mal typisch, nicht mal
>> wissen, was ein Beweis ist, aber schlau daherreden. �Da habe ich keine
>> Lust mehr auf weitere Diskussion.
>
> Widerspruchsfreiheit eines Systems voraussetzt ist h�chstensfalls eine
> Meinungsbekundung. Es ist das Wesen eines Beweises, dass seine
> Stringents vorausgesetzt wird. Und diese ergibt sich einzig und
> alleine aus der Widerspruchsfreiheit des verwendeten Systems. Wie
> kannst Du nur so dumm daherreden.
1. heisst das Wort, das du suchst, Stringenz, und
2. ist nicht schwer zu erkennen, dass du noch nie die Defition von
"Beweis" gelesen (oder zumindest verstanden) hast. Schau sie besser
nicht nach, sonst merkst du am Ende noch, dass du dich schon so sehr
aus dem Fenster gelehnt hast, dass du nicht nur rausgeflogen, sondern
auch schon am harten Boden der Tatsachen aufgeschlagen bist.
--
fiesh
Carsten Schultz
> On 13 Dez., 13:33, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>> On 2009-12-13, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>>
>>> On 11 Dez., 15:39, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
>>>>>> Jeder mathematische Beweis kann als Versuch, die Widerspruechlichkeit
>>>>>> von ZFC zu zeigen, gesehen werden.
>>>>> Eine seltsame Auffassung.
>>>> Natuerlich nicht.
>>> Jeder mathematische Beweis geht von der Widerspruchsfreiheit von ZFC
>>> _aus_. Wie sollte dann damit die Widersprüchlichkeit erweisbar sein???
>> Das, bzw auch dein spaeteres
>>
>>> Für die ewigen Missversteher: Natürlich ist gemeint: "jeder
>>> mathematische Beweis _innerhalb von ZFC_ geht von der
>>> Widerspruchsfreiheit von ZFC aus.
>> verdienen lediglich ein "setzen, sechs". Wieder mal typisch, nicht mal
>> wissen, was ein Beweis ist, aber schlau daherreden. Da habe ich keine
>> Lust mehr auf weitere Diskussion.
>
> Das ist doch hohles Gewäsch. Ein Beweis, der nicht die
> Widerspruchsfreiheit eines Systems voraussetzt ist höchstensfalls eine
> Meinungsbekundung. Es ist das Wesen eines Beweises, dass seine
> Stringents vorausgesetzt wird. Und diese ergibt sich einzig und
> alleine aus der Widerspruchsfreiheit des verwendeten Systems. Wie
> kannst Du nur so dumm daherreden.
>
>
Würde man Mückenheim oder Dich ernst nehmen, müsste man Euch für Eure
Umgangsformen verachten.
Albrecht
> On 2009-12-14, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
>
>
>
>
> > On 13 Dez., 13:33, fiesh <weis...@in.tum.de> wrote:
> >> On 2009-12-13, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
> >> > Jeder mathematische Beweis geht von der Widerspruchsfreiheit von ZFC
>
> >> Das, bzw auch dein spaeteres
>
> >> > mathematische Beweis _innerhalb von ZFC_ geht von der
> >> > Widerspruchsfreiheit von ZFC aus.
>
> >> verdienen lediglich ein "setzen, sechs". Wieder mal typisch, nicht mal
> >> wissen, was ein Beweis ist, aber schlau daherreden. Da habe ich keine
> >> Lust mehr auf weitere Diskussion.
>
> > Widerspruchsfreiheit eines Systems voraussetzt ist höchstensfalls eine
> > Meinungsbekundung. Es ist das Wesen eines Beweises, dass seine
> > Stringents vorausgesetzt wird. Und diese ergibt sich einzig und
> > alleine aus der Widerspruchsfreiheit des verwendeten Systems. Wie
> > kannst Du nur so dumm daherreden.
>
> 1. heisst das Wort, das du suchst, Stringenz, und
> 2. ist nicht schwer zu erkennen, dass du noch nie die Defition von
> "Beweis" gelesen (oder zumindest verstanden) hast. Schau sie besser
> nicht nach, sonst merkst du am Ende noch, dass du dich schon so sehr
> aus dem Fenster gelehnt hast, dass du nicht nur rausgeflogen, sondern
> auch schon am harten Boden der Tatsachen aufgeschlagen bist.
>
Sag mal, Du laberst jetzt seit einigen Postings nur noch herum und
ziehst Dich auf so eine Art Oberlehrerpose zurück. Auf so etwas kann
ich vollumfänglich verzichten.
Und ich versichere Dir jetzt folgendes: Angenommen, ZFC wäre
inkonsistent, so würde dies niemals Aufgrund eines Beweises
_zufällig_ gefunden werden. Genausowenig wie die
Unvollständigkeitssätze nicht zufällig gefunden wurden und auch nicht
zufällig gefunden werden konnten.
Und damit Sendepause.
AS
Carsten Schultz
> Und ich versichere Dir jetzt folgendes: Angenommen, ZFC wäre
> inkonsistent, so würde dies niemals Aufgrund eines Beweises
> _zufällig_ gefunden werden. Genausowenig wie die
> Unvollständigkeitssätze nicht zufällig gefunden wurden und auch nicht
> zufällig gefunden werden konnten.
Ich habe versucht, Dir den Unterschied zu erklären.
fiesh
> inkonsistent, so w�rde dies niemals Aufgrund eines Beweises
> _zuf�llig_ gefunden werden. [..]
Danke, persoenliche Beteuerungen sind ja bekanntermassen das, was in der
Mathematik am meisten zaehlt, nicht Humbug wie Beweise.
> Und damit Sendepause.
Wenn du sie stringent (!) einhaeltst, bekommst du auch ein schoenes
Weihnachtsgeschenk!
--
fiesh
Albrecht
> Albrecht schrieb:
>
> > Und ich versichere Dir jetzt folgendes: Angenommen, ZFC wäre
> > inkonsistent, so würde dies niemals Aufgrund eines Beweises
> > _zufällig_ gefunden werden. Genausowenig wie die
> > Unvollständigkeitssätze nicht zufällig gefunden wurden und auch nicht
> > zufällig gefunden werden konnten.
>
> Ich habe versucht, Dir den Unterschied zu erklären.
>
Was meinst Du, wäre dabei zu erklären? Goedel hat eine Aussage der
Form: "Diese Aussage ist nicht beweisbar" abgeleitet, sprich,
bewiesen, wobei das benutzte formale System der Principia Mathematica
entsprach. Um dieses Ziel zu erreichen hat er gezielt
Konstruktionsmittel (z. B. Beweisbarkeitsprädikat, Goedelnummer, ...)
eingesetzt und einen metamathematischen Grundgedanken, das Lügner-
Paradoxon, formalisiert.
Meine Behauptung war nun, dass in ZFC solange kein Widerspruch der
Form "A und nicht-A" gefunden wird, solange niemand gezielt dananch
sucht, wie es Goedel im Zusammenhang mit seinen
Unvollständigkeitssätzen getan hatte, sprich, solangen niemand gezielt
entsprechende Konstruktionsmittel entwickelt und damit eine der Sache
entsprechenden Beweisidee verwirklicht.
Aber die Herren Nase-hoch wissen es ja besser und können nicht damit
umgehen, dass jemand nicht ihre uneingeschränkte mathematische
Wissenshoheit anerkennt.
Ich bleibe bei meiner Ansicht bis mir jemand gute Gründe dafür gibt,
warum sie falsch sein soll. Bisher hat das weder ein Herr fiesh, noch
Carsten noch sonst jemand hier getan.
Gruß
Albrecht
Albrecht
> On 2009-12-14, Albrecht <albst...@gmx.de> wrote:
>
> > Und ich versichere Dir jetzt folgendes: Angenommen, ZFC wäre
> > inkonsistent, so würde dies niemals Aufgrund eines Beweises
> > _zufällig_ gefunden werden. [..]
>
> Danke, persoenliche Beteuerungen sind ja bekanntermassen das, was in der
> Mathematik am meisten zaehlt, nicht Humbug wie Beweise.
>
Was hat obiges formal mit dem Beweisen zu tun? Das Thema ist Beweisen,
ja. Aber zu beweisen ist diese Aussage gewiss nicht - zumindest
solange nicht, bis jemand _zufällig_ einen entsprechenden Beweis
gefunden hätte. Dann allerdings wäre meine Aussage beweisbar
widerlegt.
Lass Dich doch von Deinem angekratzen Stolz nicht dazu verleiten,
unsinnige Dinge zu schreiben.
> > Und damit Sendepause.
>
> Wenn du sie stringent (!) einhaeltst, bekommst du auch ein schoenes
> Weihnachtsgeschenk!
>
Wie lange ist eine stringente Sendepause??? Bekomme ich jetzt ein
schoenes Weihnachtsgeschenk???
AS
Carsten Schultz
> On 14 Dez., 13:01, Carsten Schultz <cars...@codimi.de> wrote:
>> Albrecht schrieb:
>>
>>> Und ich versichere Dir jetzt folgendes: Angenommen, ZFC wäre
>>> inkonsistent, so würde dies niemals Aufgrund eines Beweises
>>> _zufällig_ gefunden werden. Genausowenig wie die
>>> Unvollständigkeitssätze nicht zufällig gefunden wurden und auch nicht
>>> zufällig gefunden werden konnten.
>> Ich habe versucht, Dir den Unterschied zu erklären.
>>
>
> Was meinst Du, wäre dabei zu erklären? Goedel hat eine Aussage der
> Form: "Diese Aussage ist nicht beweisbar" abgeleitet, sprich,
> bewiesen, wobei das benutzte formale System der Principia Mathematica
> entsprach. Um dieses Ziel zu erreichen hat er gezielt
> Konstruktionsmittel (z. B. Beweisbarkeitsprädikat, Goedelnummer, ...)
> eingesetzt und einen metamathematischen Grundgedanken, das Lügner-
> Paradoxon, formalisiert.
> Meine Behauptung war nun, dass in ZFC solange kein Widerspruch der
> Form "A und nicht-A" gefunden wird, solange niemand gezielt dananch
> sucht, wie es Goedel im Zusammenhang mit seinen
> Unvollständigkeitssätzen getan hatte, sprich, solangen niemand gezielt
> entsprechende Konstruktionsmittel entwickelt und damit eine der Sache
> entsprechenden Beweisidee verwirklicht.
>
Ich will es Dir gerne noch einmal erklären. Die Widersprüchlichkeit
einer Theorie bedeutet die Existenz eines Beweises einer Aussage der
Form „A und nicht-A“. Ein Beweis ist ein endliches Objekt, und die
Eigenschaft ein Beweis einer solchen Aussage zu sein, lässt sich in
endlicher Zeit prüfen. Eine Art, die Widersprüchlichkeit von ZFC zu
zeigen, wäre also, einen solchen Beweis einfach hinzuschreiben.
Die Unvollständigkeit einer Theorie bedeutet hingegen die Existenz einer
Aussage A, so dass weder ein Beweis von A noch ein Beweis von nicht-A
existiert. Um die Unvollständigkeit zu zeigen, muss man also eine
Nichtexistenz nachweisen. Jeder Mathematikstudent im ersten Semester
macht die Erfahrung, dass dies eine andere Herangehensweise erfordert
und meist schwieriger ist als eine Existenz zu zeigen, weil man ja nicht
einfach, nur ein Objekt angeben kann.
In der Tat sind Mathematiker bei ihrer täglichen Arbeit schon über
Aussagen gestolpert, die unabhängig von ZFC sind. Ohne dies zu vermuten
und einen besonderen Versuch, dies zu beweisen, erkennt man diese aber
nicht als solche. Man erkennt ja nur, keinen Beweis der Aussage oder
ihres Gegenteils gefunden zu haben, und das sagt ja noch gar nichts, es
könnte einen solchen Beweis ja trotzdem geben.
Einen Widerspruch hingegen würde man als solchen erkennen.
> Aber die Herren Nase-hoch wissen es ja besser
In der Tat tun sich Mathematiker meist leichter damit, mathematische
Zusammenhänge zu erkennen. Aber Deine Arroganz erlaubt Dir natürlich
nicht, das einzugestehen, dabei ist es die natürlichste Sache der Welt.
> und können nicht damit
> umgehen, dass jemand nicht ihre uneingeschränkte mathematische
> Wissenshoheit anerkennt.
>
> Ich bleibe bei meiner Ansicht bis mir jemand gute Gründe dafür gibt,
> warum sie falsch sein soll. Bisher hat das weder ein Herr fiesh, noch
> Carsten noch sonst jemand hier getan.
Du bleibst ja auch bei offensichtlich falschen Ansichten, was soll mich
das also wundern.
Gruß
Carsten
Albrecht
Welche falschen Ansichten denn? Du hast an keiner Stelle eine meiner
Aussagen widerlegt, nicht einmal eindeutig widersprochen. Vielmehr
hast Du in grossen Teilen mein letztes Posting praktisch wiederholt,
allerdings vor diese Wiederholung noch ein großkotziges "Ich will es
Dir gerne noch einmal erklären" gesetzt. Irgendwie scheinst Du im
falschen Film zu sein.
AS
Carsten Schultz
Ich meinte hier Ansichten zu unendlichen Mengen wie dass eine unendliche
Menge natürlicher Zahlen eine unendliche Zahl enthalten muss.
Vielleicht war ich aber vorschnell und Du vertrittst das gar nicht, dann
täte es mir leid. Du scheinst ja zuzugeben, dass in ZFC kein
Widerspruch bekannt ist. Dann stimmst Du also zu, dass Professor
Mückenheims Ausführungen zum binären Baum etc. falsch sind?
> Du hast an keiner Stelle eine meiner
> Aussagen widerlegt, nicht einmal eindeutig widersprochen. Vielmehr
> hast Du in grossen Teilen mein letztes Posting praktisch wiederholt,
> allerdings vor diese Wiederholung noch ein großkotziges "Ich will es
> Dir gerne noch einmal erklären" gesetzt. Irgendwie scheinst Du im
> falschen Film zu sein.
Ich habe versucht, zu erklären, warum Dein Vergleich mit der
Unvollständigkeit hinkt, weil Du eine Existenzaussage mit einer Aussage
der Nichtexistenz vergleichst, diese aber unterschiedliche
Beweismethoden erfordern.
Albrecht
Wenn jemand behaupten würde, die Menge
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
enthielte 11 Elemente, denn sie müsste mehr Elemente enthalten als
jede ihrer Elemente als Anzahl angibt, dann würdest Du doch wohl auch
widersprechen. Offensichtlich enthält diese Menge 10 Elemente. Eine
Menge dieser Art kann nicht mehr Elemente enthalten als wenigstens
eines ihrer Elemente als Anzahl angibt, schwach formuliert. Dies ist
eine Eigenschaft jeder Menge, die natürliche Zahlen, beginnend mit 1,
in ungebrochener Reihenfolge enthält.
Nun folgt aus der Annahme, dass eine Menge aller natürlichen Zahlen
1,2,3, ... , eine Kardinalzahl besitzt, die größer als jede dieser
Zahlen ist, dass diese Menge nicht mehr diese Eigenschaft besässe.
Eine haltlose Annahme, die jeder Logik widerspricht. Vielmehr muss man
aus der Tatsache, dass der Menge {1,2,3, ...} keine Kardinalzahl
zugeordnet werden kann, da,
a) keine natürliche Zahl dafür in Frage kommt
b) eine (angenommene) Zahl, die grösser als jede natürliche Zahl ist
zu gross wäre um diese Anzahl anzugeben
schliessen, dass
es keine solche Kardinalzahl gibt, und somit
keine Menge aller natürlichen Zahlen sinnvoll denkbar ist.
Dir braucht also höchstens Leid zu tun, dass Du einem weit
verbreiteten Fehldenken aufgesessen bist.
Gruss
Albrecht
Ralf Bader
> Wenn jemand behaupten würde, die Menge
> {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
> enthielte 11 Elemente, denn sie müsste mehr Elemente enthalten als
> jede ihrer Elemente als Anzahl angibt, dann würdest Du doch wohl auch
> widersprechen.
Weshalb? Hier herrscht Narrenfreiheit.
> Offensichtlich enthält diese Menge 10 Elemente.
Warum nicht 20?
> Eine
> Menge dieser Art kann nicht mehr Elemente enthalten als wenigstens
> eines ihrer Elemente als Anzahl angibt, schwach formuliert. Dies ist
> eine Eigenschaft jeder Menge, die natürliche Zahlen, beginnend mit 1,
> in ungebrochener Reihenfolge enthält.
Aha. Auf solche Erkenntnisse hat die Welt gewartet.
> Nun folgt aus der Annahme, dass eine Menge aller natürlichen Zahlen
> 1,2,3, ... , eine Kardinalzahl besitzt, die größer als jede dieser
> Zahlen ist, dass diese Menge nicht mehr diese Eigenschaft besässe.
Sehr feinsinnig beobachtet.
> Eine haltlose Annahme, die jeder Logik widerspricht.
In der Neuro- und Psychopharmakologie wurden in den letzten Jahren
Fortschritte erzielt.
> Vielmehr muss man
> aus der Tatsache, dass der Menge {1,2,3, ...} keine Kardinalzahl
> zugeordnet werden kann, da,
> a) keine natürliche Zahl dafür in Frage kommt
> b) eine (angenommene) Zahl, die grösser als jede natürliche Zahl ist
> zu gross wäre um diese Anzahl anzugeben
> schliessen, dass
> es keine solche Kardinalzahl gibt, und somit
> keine Menge aller natürlichen Zahlen sinnvoll denkbar ist.
>
> Dir braucht also höchstens Leid zu tun, dass Du einem weit
> verbreiteten Fehldenken aufgesessen bist.
>
> Gruss
> Albrecht
--
W. Hughes, in sci.math.: "No set of natural numbers without a last element
[is finite]"
Prof. Dr. W. Mückenheim, mathematical mastermind of "Augsburg University of
Applied Science": "There is no natural number called "out a last element".
Carsten Schultz
Ich war doch nicht vorschnell, gut zu wissen.
> Wenn jemand behaupten würde, die Menge
> {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
> enthielte 11 Elemente, denn sie müsste mehr Elemente enthalten als
> jede ihrer Elemente als Anzahl angibt, dann würdest Du doch wohl auch
> widersprechen. Offensichtlich enthält diese Menge 10 Elemente. Eine
> Menge dieser Art kann nicht mehr Elemente enthalten als wenigstens
> eines ihrer Elemente als Anzahl angibt, schwach formuliert. Dies ist
> eine Eigenschaft jeder Menge, die natürliche Zahlen, beginnend mit 1,
> in ungebrochener Reihenfolge enthält.
Nur am Rande: Eine weitere schöne Eigenschaft ist, dass jede natürliche
Zahl n gleich der Anzahl aller natürlichen Zahlen (inklusive 0) kleiner
als n ist.
Das ist aber unerheblich dafür, dass das, was Du schreibst, Unsinn ist.
> Nun folgt aus der Annahme, dass eine Menge aller natürlichen Zahlen
> 1,2,3, ... , eine Kardinalzahl besitzt, die größer als jede dieser
> Zahlen ist, dass diese Menge nicht mehr diese Eigenschaft besässe.
Stell Dir vor, es gibt Eigenschaften, die endliche Mengen besitzen,
unendliche aber nicht. Ich kenne übrigens noch eine: Endlichkeit!
Hast Du diese Argumentation von Professor Mückenheim gelernt? Im Grunde
ist sie diese: Wenn eine unendliche Menge AKTUAL existiert, dann muss
sie sich wie eine endliche Menge verhalten. Insbesondere muss sie also
endlich sein, im Widerspruch zu ihrer angenommenen Unendlichkeit. Damit
ist die AKTUALE UNENDLICHKEIT WIDERLEGT.
> Eine haltlose Annahme, die jeder Logik widerspricht.
Und Du willst ernst genommen werden?
Herbert Newman
> Albrecht schrieb:
>>
>> [D]ie Menge
>>
>> {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
>>
>> [...] enth�lt [offensichtlich] 10 Elemente.
>>
>> Eine Menge dieser Art kann nicht mehr Elemente enthalten als [das
>> Letzte] ihrer Elemente als Anzahl angibt [...]. Dies ist eine Eigen-
>> schaft jeder Menge, die nat�rliche Zahlen, beginnend mit 1, in unge-
>> brochener Reihenfolge enth�lt.
>>
> [D]as, was Du schreibst, [ist] Unsinn.
In der Tat. Das wurde ihm aber schon zig mal vorgehalten.
Den Hinweis, dass dies nur f�r _endliche_ Mengen, die mithin also �ber ein
letztes/gr��tes Element verf�gen, gelte, ignoriert er geflissentlich.
Schon Bolzano hatte sich dieses Denkfehlers angenommen:
"Wenn jede Zahl", d�rfte man sagen, "ihrem Begriffe
nach eine blo� endliche Menge ist, wie kann die Menge
a l l e r Zahlen eine unendliche sein? Wenn wir die
Reihe der nat�rlichen Zahlen:
1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . . . . . .
betrachten: so werden wir gewahr, da� die Menge der
Zahlen, die diese Reihe, angefangen von der ersten (der
Einheit) bis zu irgendeiner, z. B. der Zahl 6, enth�lt,
immer durch diese letzte selbst ausgedr�ckt wird. Somit
mu� ja die Menge a l l e r Zahlen genauso gro� als die
l e t z t e derselben und somit selbst eine Zahl, also
nicht unendlich sein."
Das T�uschende dieses Schlusses verschwindet auf der
Stelle, sobald man sich erinnernt, da� in der Menge
aller Zahlen in der nat�rlichen Reihe derselben k e i n e
d i e l e t z t e stehe; da� somit der Begriff einer
letzten (h�chsten) Zahl ein gegenstandsloser, weil einen
Widerspruch in sich schlie�ender Begriff sei. Denn nach
dem, in der Erkl�rung jener Reihe (� 8) angegebenen
B i l d u n g s g e s e t z e derselben hat jedes ihrer
Glieder wieder ein f o l g e n d e s. Dies Paradoxon
w�re dann also durch diese einzige Bemerkung schon als
gel�st zu betrachten."
(Bernhard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1851)
>> Nun folgt aus der Annahme, dass eine Menge aller nat�rlichen Zahlen
>> 1,2,3, ... , eine Kardinalzahl besitzt, die gr��er als jede dieser
>> Zahlen ist, dass diese Menge nicht mehr diese Eigenschaft bes�sse.
>>
> Stell Dir vor, es gibt Eigenschaften, die endliche Mengen besitzen,
> unendliche aber nicht. Ich kenne �brigens noch eine: Endlichkeit!
>
> Hast Du diese Argumentation von Professor M�ckenheim gelernt?
Aber ja doch! WM-Zitat:
"Nat�rliche Zahlen besitzen die Eigenschaft, dass ihre Gr��e exakt mit der
Anzahl ihrer Anfangsabschnitte korreliert: n = |{1, 2, 3, ..., n}|. Diese
ist keine Sondereigenschaft endlicher Mengen, sonder es gilt f�r alle
Mengen, die ausschlie�lich nat�rliche Zahlen in der nat�rlichen Reihenfolge
enthalten." (Prof. Dr. Wolfgang M�ckenheim)
*sigh*
Der ���h... "Meister" und sein "Sch�ler"... naja.
Herbert
Herbert Newman
>> Albrecht schrieb:
>>>
>>> [D]ie Menge
>>>
>>> {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
>>>
>>> [...] enth�lt [offensichtlich] 10 Elemente.
>>>
>>> Eine Menge dieser Art kann nicht mehr Elemente enthalten als [das
>>> Letzte] ihrer Elemente als Anzahl angibt [...]. Dies ist eine Eigen-
>>> schaft jeder Menge, die nat�rliche Zahlen, beginnend mit 1, in unge-
>>> brochener Reihenfolge enth�lt.
>>>
>> [D]as, was Du schreibst, [ist] Unsinn.
>>
> In der Tat. Das wurde ihm aber schon zig mal vorgehalten. [...]
>
> Den Hinweis, dass dies nur f�r _endliche_ Mengen, die mithin also �ber ein
> letztes/gr��tes Element verf�gen, gilt, ignoriert er geflissentlich.
>
> [...]
>
>>> Nun folgt aus der Annahme, dass eine Menge aller nat�rlichen Zahlen
>>> 1,2,3, ... , eine Kardinalzahl besitzt, die gr��er als jede dieser
>>> Zahlen ist, dass diese Menge nicht mehr diese Eigenschaft bes��e.
>>>
>> Stell Dir vor, es gibt Eigenschaften, die endliche Mengen besitzen,
>> unendliche aber nicht. Ich kenne �brigens noch eine: Endlichkeit!
>>
Man kann allerdings Albrechts Argumentation "vom Kopf auf die F��e
stellen", und damit "richtig stellen": es gibt eine "analoge" Eigenschaft,
"derartiger" Mengen, die sowohl f�r endliche als auch unendliche Mengen
gilt; also sowohl f�r Mengen der Form
{1, 2, 3, ..., n} : n e IN
als auch f�r
{1, 2, 3, ...} (= IN).
N�mlich:
F�r jede derartige Menge M gilt, dass die Anzahl
|M| ihrer Elemente gr��er ist, als jede Zahl m e M,
die nicht gr��te Zahl der Menge ist.
;-)
Das sollte (vielleicht) sogar Albrecht einleuchten.
F�r jede Zahl m =/= n aus {1, 2, 3, ..., n} (mit n e IN) gilt nat�rlich:
|{1, 2, 3, ..., n}| = n > m. Und f�r jede Zahl m e {1, 2, 3, ...} gilt
offenbar, dass {1, 2, 3, ...} = {1, 2, 3, ..., m, m+1, ...} mehr Elemente
enth�lt als m "angibt", also: |{1, 2, 3, ...}| > m.
Herbert
Albrecht
> Albrecht wrote:
> > Wenn jemand behaupten würde, die Menge
> > {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
> > enthielte 11 Elemente, denn sie müsste mehr Elemente enthalten als
> > jede ihrer Elemente als Anzahl angibt, dann würdest Du doch wohl auch
> > widersprechen.
>
> Weshalb? Hier herrscht Narrenfreiheit.
Für Dich wohl schon.
>
> > Offensichtlich enthält diese Menge 10 Elemente.
>
> Warum nicht 20?
Oder fnufzehn???
Es ist schon auffällig: Je dünner das Häutchen um so hilfloser die
Reaktionen. Tatsächlich ist es wie bei einem Vexierbild: sobald man
die Unsinnigkeit einer unendlichen Gesamtheit einmal auch nur kurz
erkannt hat, klappt das ganze Weltbild um. Das macht Dir wohl Angst.
Alles halb so wild. Das Leben geht weiter.
Gruß
Albrecht
Albrecht
Wie spannend. Hier noch eine: Jede natürliche Zahl n>2 ist größer als
die Anzahl aller natürlichen Zahlen kleiner als n und größer als 2.
Jetzt Du. Findest Du noch eine solche spannende Eigenschaft die sich
direkt von der von mir genannten ableiten lässt???
>
> Das ist aber unerheblich dafür, dass das, was Du schreibst, Unsinn ist.
Ach so. Tatsächlich ein treffliches Argument.
>
> > Nun folgt aus der Annahme, dass eine Menge aller natürlichen Zahlen
> > 1,2,3, ... , eine Kardinalzahl besitzt, die größer als jede dieser
> > Zahlen ist, dass diese Menge nicht mehr diese Eigenschaft besässe.
>
> Stell Dir vor, es gibt Eigenschaften, die endliche Mengen besitzen,
> unendliche aber nicht. Ich kenne übrigens noch eine: Endlichkeit!
Achso. Bei unendlichen Mengen ist ja die Logik ausser Kraft gesetzt.
Ganz vergessen. Man kann sogar definieren das jede unendliche Menge
mindestens ein Tütüt (was immer das auch ist) enthält, damit auch
tatsächlich mehr drin ist wie draufsteht.
>
> Hast Du diese Argumentation von Professor Mückenheim gelernt? Im Grunde
> ist sie diese: Wenn eine unendliche Menge AKTUAL existiert, dann muss
> sie sich wie eine endliche Menge verhalten. Insbesondere muss sie also
> endlich sein, im Widerspruch zu ihrer angenommenen Unendlichkeit. Damit
> ist die AKTUALE UNENDLICHKEIT WIDERLEGT.
>
> > Eine haltlose Annahme, die jeder Logik widerspricht.
>
> Und Du willst ernst genommen werden?
>
Von Dir nicht, nein.
AS
Carsten Schultz
Ah, Du hast nicht gesehen, worauf ich hinaus will. Professor Mückenheim
hätte es wahrscheinlich gesehen. Ein logisches Argument habt ihr ja
nicht, ihr verweist nur auf ein Muster, dass sich nicht ins unendliche
fortsetzt und sagt dann, dass das nicht hübsch und daher ein Widerspruch
ist. Und in der Tat setzen sich die Muster viel besser ins unendliche
fort, wenn man anfängt bei 0 zu zählen und mehr „kleiner“ als „kleiner
oder gleich“ verwendet. Daher vermeidet Mückenheim die 0. Bei Lesern
ohne mathematische Vorbildung wie Dir wirkt das anscheinend. Man könnte
meinen, dass Du Dich von ihm ganz schön hinters Licht führen lässt.
>> Das ist aber unerheblich dafür, dass das, was Du schreibst, Unsinn ist.
>
> Ach so. Tatsächlich ein treffliches Argument.
>
>>> Nun folgt aus der Annahme, dass eine Menge aller natürlichen Zahlen
>>> 1,2,3, ... , eine Kardinalzahl besitzt, die größer als jede dieser
>>> Zahlen ist, dass diese Menge nicht mehr diese Eigenschaft besässe.
>> Stell Dir vor, es gibt Eigenschaften, die endliche Mengen besitzen,
>> unendliche aber nicht. Ich kenne übrigens noch eine: Endlichkeit!
>
> Achso. Bei unendlichen Mengen ist ja die Logik ausser Kraft gesetzt.
Nur bei Dir.
> Ganz vergessen. Man kann sogar definieren das jede unendliche Menge
> mindestens ein Tütüt (was immer das auch ist) enthält, damit auch
> tatsächlich mehr drin ist wie draufsteht.
>
>> Hast Du diese Argumentation von Professor Mückenheim gelernt? Im Grunde
>> ist sie diese: Wenn eine unendliche Menge AKTUAL existiert, dann muss
>> sie sich wie eine endliche Menge verhalten. Insbesondere muss sie also
>> endlich sein, im Widerspruch zu ihrer angenommenen Unendlichkeit. Damit
>> ist die AKTUALE UNENDLICHKEIT WIDERLEGT.
>>
>>> Eine haltlose Annahme, die jeder Logik widerspricht.
>> Und Du willst ernst genommen werden?
>>
>
> Von Dir nicht, nein.
Gruß
Herbert Newman
Weihnachten ist! :-)
On Wed, 16 Dec 2009 09:36:12 +0100, Carsten Schultz wrote:
"Eine weitere sch�ne Eigenschaft ist, dass jede nat�rliche Zahl n gleich
der Anzahl aller nat�rlichen Zahlen (inklusive 0) kleiner als n ist."
Mit anderen Worten: F�r alle n e IN gilt:
|{m e IN : m < n}| = n .
z. B.
|{0, 1, 2}| = 3 .
Und das gilt auch noch f�r den Fall n = aleph_0, denn
|{m e IN : m < aleph_0}| = |IN| = aleph_0 .
(Hint: Die Elemente n e IN hei�en _endliche_ Kardinalzahlen, und aleph_0
ist die erste (kleinste) _unendliche_ Kardinalzahl.)
Man kann also den Satz so formulieren: F�r alle Kardinalzahlen k e IN u
{aleph_0} gilt:
|{n e IN : n < k}| = k .
Also:
|{}| = 0
|{0}| = 1
|{0, 1}| = 2
|{0, 1, 2}| = 3
:
UND
|{0, 1, 2, ...}| = aleph_0.
Wenn wir FOR THE SAKE OF THE ARGUMENT mal so tun, als ob es nur eine
einzige unendliche Kardinalzahl g�be, n�mlich aleph_0, und diese kurzerhand
"oo" nennen, dann kann man auch ganz im Einklang mit der Intuition
schreiben:
|{0, 1, 2, ...}| = oo.
Mit anderen Worten: Es gibt (abz�hlbar) _unendlich viele_ nat�rliche
Zahlen. Leute wie Herr Professor M�ckenheim und/oder Albrecht m�gen das
naturgem�� anders sehen. :-)
Wenn wir uns also auf TEILMENGEN M der Menge der nat�rlichen Zahlen
beschr�nken, dann ist _entweder_ |M| eine nat�rliche Zahl, d. h. die Menge
M ist endlich, _oder_ aber es gilt: |M| = oo, m. a. W. die Menge M ist
(abz�hlbar) unendlich. :-)
Herbert
Albrecht
Deine Phantasie ist berückend. Leider lässt sich mit jemanden, der vor
sich hin phantasiert nicht diskutieren. Sind die Muster bei Dir
eigentlich auch wirklich so bunt, wie immer behauptet wird?
> Und in der Tat setzen sich die Muster viel besser ins unendliche
> fort, wenn man anfängt bei 0 zu zählen und mehr „kleiner“ als „kleiner
> oder gleich“ verwendet.
Du must nicht auf alles hören was Dir der kleine Kobold ins Ohr
flüster. Nur zur Sicherheit. Niemand ausser Dir spricht hier von
Mustern, und was Du da über Muster verzapfst ist Quatsch.
> Daher vermeidet Mückenheim die 0. Bei Lesern
> ohne mathematische Vorbildung wie Dir wirkt das anscheinend. Man könnte
> meinen, dass Du Dich von ihm ganz schön hinters Licht führen lässt.
Ich kann Dir versichern, dass ich meine Gedanken weitgehendst
unabhängig von WM entwickelt habe. Gelegentliche gegenseitige
Befruchtung nicht ausgeschlossen.
Aber wem erzähle ich das? Ach, forget it.
AS
>
> >> Das ist aber unerheblich dafür, dass das, was Du schreibst, Unsinn ist.
>
> > Ach so. Tatsächlich ein treffliches Argument.
>
> >>> Nun folgt aus der Annahme, dass eine Menge aller natürlichen Zahlen
> >>> 1,2,3, ... , eine Kardinalzahl besitzt, die größer als jede dieser
> >>> Zahlen ist, dass diese Menge nicht mehr diese Eigenschaft besässe.
> >> Stell Dir vor, es gibt Eigenschaften, die endliche Mengen besitzen,
> >> unendliche aber nicht. Ich kenne übrigens noch eine: Endlichkeit!
>
> > Achso. Bei unendlichen Mengen ist ja die Logik ausser Kraft gesetzt.
>
> Nur bei Dir.
>
> > Ganz vergessen. Man kann sogar definieren das jede unendliche Menge
> > mindestens ein Tütüt (was immer das auch ist) enthält, damit auch
> > tatsächlich mehr drin ist wie draufsteht.
>
> >> Hast Du diese Argumentation von Professor Mückenheim gelernt? Im Grunde
> >> ist sie diese: Wenn eine unendliche Menge AKTUAL existiert, dann muss
> >> sie sich wie eine endliche Menge verhalten. Insbesondere muss sie also
> >> endlich sein, im Widerspruch zu ihrer angenommenen Unendlichkeit. Damit
> >> ist die AKTUALE UNENDLICHKEIT WIDERLEGT.
>
> >>> Eine haltlose Annahme, die jeder Logik widerspricht.
> >> Und Du willst ernst genommen werden?
>
> > Von Dir nicht, nein.
>
> Gruß
>
> Carsten
>
> --
> Carsten Schultz (2:38, 33:47)http://carsten.codimi.de/
> PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
> fingerprint on my home page.- Zitierten Text ausblenden -
>
> - Zitierten Text anzeigen -
Herbert Newman
Noch eine �berlegung dazu:
Wenn wir von den "intuitiv gegebenen" "nat�rlichen Zahlen" bzw. den
"Z�hlzahlen"
1, 2, 3, 4, ...
ausgehen, dann scheint eine mathematisch-logische Grundlegung dieser Zahlen
in einem _mengentheoretischen Kontext_, und ihre Auffassung als ANZAHLEN
von _endlichen_ Mengen, beinahe zwangsl�ufig dazu zu f�hren, sie um die
Zahl 0 (die Anzahl der Elemente der leeren Menge) zu erweitern. Man hat
dann also
0, 1, 2, 3, ...
Und es gilt dann insbesondere:
#{} = 0
#{0} = 1
#{0, 1} = 2
#{0, 1, 2} = 3
:
usw.
Wenn wir nun die Menge dieser Zahlen selbst, also IN = {0, 1, 2, 3, ...}
betrachten, so ist klar, dass dies eine _unendliche_ Menge ist, mithin die
Anzahl ihrer Elemente keine endliche sein kann. [...]
Man kann nun zeigen, dass man auch der Menge {0, 1, 2, 3, ...} selbst eine
Anzahl (Frege) bzw. Kardinalzahl (Cantor) zuordnen kann. [...]
Setzen wir also
oo := #{0, 1, 2, ...} ,
dann erreichen wir einen sch�nen _Abschluss_ des Anzahlbegriffs, solange
wir uns auf die Anzahl der Elemente von TEILMENGEN der nat�rlichen Zahlen
beschr�nken.
Wir haben also die urspr�ngliche Reihe der "nat. Zahlen"
1, 2, 3, ...
um zwei "limiting values" erg�nzt, die die F�lle _keine_ und (abz�hlbar)
_unendlich viele_ Elemente "abdecken".
Man k�nnte dann also schreiben:
0, 1, 2, 3, ... oo .
JEDER Teilmenge M nat�rlicher Zahlen ist dann eine Anzahl |M| e {0, 1, 2,
3, ... oo} zugeordnet. Falls M eine _endliche_ Menge ist, ist |M| e {0, 1,
2, 3, ...}, falls M eine _unendliche_ Menge ist, ist |M| = oo. Im einen
Fall enth�lt M endlich viele Elemente, im anderen (abz.) unendlich viele.
Das alles scheint zum einen im Einklang mit naiven intuitiven Anschauungen
zu sein, l�sst sich zum anderen aber auch logisch-mathematisch pr�zise/ein-
wandfrei (n�mlich im Kontext einer Mengentheorie) begr�nden.
Der zuletzt genannte Umstand l�sst sich auch nicht durch "mir gef�llt das
aber nicht" und/oder "ich seh das anders" und/oder die _Behauptung_ "das
ist widerspr�chlich", etc. etc. "aushebeln". :-)
Herbert
Herbert Newman
> letztes/gr��tes Element verf�gen, gelte, ignoriert er geflissentlich.
>
> Schon Bolzano hatte sich dieses Denkfehlers angenommen:
Ich erg�nze mal Bolzanos Text [ein klein wenig], damit er den heutigen
(Pr�ziisions-)Anspr�chen, die an solche Texte gestellt werden, gerecht
wird.
> "Wenn jede [nat�rliche] Zahl", d�rfte man sagen, "ihrem Begriffe
> nach [die Anzahl der Elemente] eine[r] blo� endliche Menge ist,
> wie kann die Menge a l l e r Zahlen eine unendliche [Menge] sein?
> [Denn] [w]enn wir die Reihe der nat�rlichen Zahlen:
>
> 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . . . . . .
>
> betrachten: so werden wir gewahr, da� die [Anzahl der Elemente
> der] Menge der Zahlen, die diese Reihe, angefangen von der er-
> sten (der [Eins]) bis zu irgendeiner, z. B. der Zahl 6, enth�lt,
> immer durch diese letzte selbst ausgedr�ckt wird. Somit mu� ja
> die [Anzahl der Elemente der] Menge a l l e r Zahlen genauso
> gro� als die l e t z t e derselben und somit selbst eine
> [nat�rliche] Zahl [sein], [kann] also nicht unendlich sein."
>
> Das T�uschende dieses Schlusses verschwindet auf der
> Stelle, sobald man sich erinnernt, da� in der Menge
> aller Zahlen in der nat�rlichen Reihe derselben k e i n e
> [...] l e t z t e steh[t]; da� somit der Begriff einer
> letzten (h�chsten) Zahl ein gegenstandsloser, weil einen
> Widerspruch in sich schlie�ender Begriff sei. Denn nach
> dem, in der Erkl�rung jener Reihe (� 8) angegebenen
> B i l d u n g s g e s e t z e derselben hat jedes ihrer
> Glieder wieder ein f o l g e n d e s. Dies Paradoxon
> w�re dann also durch diese einzige Bemerkung schon als
> gel�st zu betrachten."
>
> (Bernhard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1851)
Herbert
Herbert Newman
> letztes/gr��tes Element verf�gen, gelte, ignoriert er geflissentlich.
>
> Schon Bolzano hatte sich dieses Denkfehlers angenommen:
Ich erg�nze mal Bolzanos Text [ein klein wenig], damit er den heutigen
(Pr�zisions-)Anspr�chen, die an solche Texte gestellt werden, gerecht
wird.
> "Wenn jede [nat�rliche] Zahl", d�rfte man sagen, "ihrem Begriffe
> nach [die Anzahl der Elemente] eine[r] blo� endliche Menge ist,
> wie kann die Menge a l l e r Zahlen eine unendliche [Menge] sein?
> [Denn] [w]enn wir die Reihe der nat�rlichen Zahlen:
>
> 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . . . . . .
>
> betrachten: so werden wir gewahr, da� die [Anzahl der Elemente
> der] Menge der Zahlen, die diese Reihe, angefangen von der er-
> sten (der [Eins]) bis zu irgendeiner, z. B. der Zahl 6, enth�lt,
> immer durch diese letzte selbst ausgedr�ckt wird. Somit mu� ja
> die [Anzahl der Elemente der] Menge a l l e r Zahlen genauso
> gro� als die l e t z t e derselben und somit selbst eine
> [nat�rliche] Zahl [sein], [kann] also nicht unendlich sein."
>
> Das T�uschende dieses Schlusses verschwindet auf der
> Stelle, sobald man sich erinnernt, da� in der Menge
> aller Zahlen in der nat�rlichen Reihe derselben k e i n e
> [...] l e t z t e steh[t]; da� somit der Begriff einer
> letzten (h�chsten) Zahl ein gegenstandsloser, weil einen
> Widerspruch in sich schlie�ender Begriff sei. Denn nach
> dem, in der Erkl�rung jener Reihe (� 8) angegebenen
> B i l d u n g s g e s e t z e derselben hat jedes ihrer
> Glieder wieder ein f o l g e n d e s. Dies Paradoxon
> w�re dann also durch diese einzige Bemerkung schon als
> gel�st zu betrachten."
>
> (Bernhard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1851)
Herbert
Herbert Newman
> letztes/gr��tes Element verf�gen, gelte, ignoriert er geflissentlich.
>
> Schon Bolzano hatte sich dieses Denkfehlers angenommen:
Ich erg�nze mal Bolzanos Text [ein klein wenig], damit er den heutigen
(Pr�zisions-)Anspr�chen, die an solche Texte gestellt werden, gerecht
wird.
> "Wenn jede [nat�rliche] Zahl", d�rfte man sagen, "ihrem Begriffe
> nach [die Anzahl der Elemente] eine[r] blo� endliche Menge ist,
> wie kann die Menge a l l e r [nat.] Zahlen eine unendliche [Menge]
> sein? [Denn] [w]enn wir die Reihe der nat�rlichen Zahlen:
>
> 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . . . . . .
>
> betrachten: so werden wir gewahr, da� die [Anzahl der Elemente
> der] Menge der Zahlen, die diese Reihe, angefangen von der er-
> sten (der [Eins]) bis zu irgendeiner, z. B. der Zahl 6, enth�lt,
> immer durch diese letzte selbst ausgedr�ckt wird. Somit mu� ja
> die [Anzahl der Elemente der] Menge a l l e r [nat.] Zahlen
> genauso gro� als die l e t z t e derselben und somit selbst eine
> [nat�rliche] Zahl [sein], [die Menge a l l e r nat. Zahlen kann]
> also nicht unendlich sein."
>
> Das T�uschende dieses Schlusses verschwindet auf der Stelle,
> sobald man sich erinnernt, da� in der Menge aller [nat.]
> Zahlen in der nat�rlichen Reihe derselben k e i n e [...]
> l e t z t e steh[t]; da� somit der Begriff einer letzten
> (h�chsten) [nat.] Zahl ein gegenstandsloser, weil einen
> Widerspruch in sich schlie�ender Begriff sei. Denn nach
> dem, in der Erkl�rung jener Reihe (� 8) angegebenen
> B i l d u n g s g e s e t z e derselben hat jedes ihrer
> Glieder wieder ein f o l g e n d e s. Dies Paradoxon
> w�re dann also durch diese einzige Bemerkung schon als
> gel�st zu betrachten."
>
> (Bernhard Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, 1851)
Herbert
Ralf Bader
> On 15 Dez., 21:35, Ralf Bader <ba...@nefkom.net> wrote:
>> Albrecht wrote:
>> > Wenn jemand behaupten würde, die Menge
>> > {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
>> > enthielte 11 Elemente, denn sie müsste mehr Elemente enthalten als
>> > jede ihrer Elemente als Anzahl angibt, dann würdest Du doch wohl auch
>> > widersprechen.
>>
>> Weshalb? Hier herrscht Narrenfreiheit.
>
> Für Dich wohl schon.
>
>>
>> > Offensichtlich enthält diese Menge 10 Elemente.
>>
>> Warum nicht 20?
>
> Oder fnufzehn???
Drölfundseppzig, wenn schon
>
> Es ist schon auffällig: Je dünner das Häutchen um so hilfloser die
> Reaktionen. Tatsächlich ist es wie bei einem Vexierbild: sobald man
> die Unsinnigkeit einer unendlichen Gesamtheit einmal auch nur kurz
> erkannt hat, klappt das ganze Weltbild um. Das macht Dir wohl Angst.
> Alles halb so wild. Das Leben geht weiter.
Sicher. Niemand möchte dir das Glück der Einfältigkeit nehmen, aber ganz im
Vertrauen, auf so einen Schwachsinn wie Du ihn daherlaberst, trifft man
selten.