Grundlage der zeitunabhängigen (Schrödinger-Rayleigh) Störungstheorie

[Daniel Gerwening]

Hallo,

ich habe eine Frage zur zeitunabhï¿œngigen Stï¿œrungstheorie, die wir hier
lokal nicht zur allgemeinen Zufriedenheit lï¿œsen konnten.

In den Lehrbï¿œchern gibt es im wesentlichen zwei Varianten zur Einfï¿œhrung.

Der Nolting sagt

H = H_0 + H_1

Anschlieï¿œend geht er ï¿œber zu

H = H_0 + \lambda H_1 mit 0 <= \lambda <= 1

\lambda ist dabei ein Parameter der die Stï¿œrung "ein- bzw.
ausschaltet" und im Endeffekt 1 gesetzt wird.

Andere Bï¿œcher (z.B. "Pertubation Theory of Linear Operators" von T.
Kato) gehen direkt von

H = H_0 + \lambda H_1

aus. dabei ist \lambda<<1 und \lambda H_1 ist die die Stï¿œrung.

Ich verstehe das so, dass z.B. im Fall des Wasserstoffatoms mit
Kernausdehnung (innerhalb des "Kernradius") im Noltingfall

H_1 = e^2/(4 \pi \epsilon_0 R) (3/2 - R/r - r^2/R^2)

ist, wï¿œhrend im Kato-Fall

H_1 = (3/2 - R/r - r^2/R^2)

und

\lambda = e^2/(4 \pi \epsilon_0 R)

ist.

Im Nolting wird nun meiner Ansicht nach ï¿œberhaupt nicht klar, warum
die Potenzreihe in \lambda, die den Zustand beschreibt, konvergieren
soll. \lambda ist schlieï¿œlich im tatsï¿œchlichen Fall 1. \lambda wird da
nur als "Buchhaltungsparameter" eingesetzt, nach dem spï¿œter gruppiert
wird.

Die Gegenmeinung hier sieht das zwar prinzipiell ein, sagt aber, dass
die Stï¿œrungstheorie sowieso mangels Restgliedeinschï¿œtzungen mehr
"gucken, ob es klappt ist" ist und man ja bei kleinem \lambda auch
nciht wï¿œsste, ob die Reihe nciht durch die Koeffizienten divergiert.

Ich sehe es allerdings so, dass man lediglich voraussetzen muss, dass
die Energien und Zustï¿œnde in \lambda analytisch sind. dann mï¿œsste die
Reihe auch konvergieren. Was hier fehlt, ist lediglich die
Restgliedabschï¿œtzung, das ist aber viel weniger als "Wir schreiben
einfach eine Reihe an und hoffen, dass die konvergiert, auch wenn man
dafï¿œr keien Anzeichen sieht".

Oder verstehe ich da eine grￜￜere Tiefsinnigkeit im Nolting nicht? Was
meint Ihr, ist der Didaktisch sinnvollere Ansatz? Ist die
Kato-Variante einfach mehr Augenwischerei, oder ist das tatsï¿œchlich
begrï¿œndeter?

Gruï¿œ