Winkelberechnung aus Projektion

[Christian Stubbs]

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a b

Das soll eine Quadrat sein, die senkrechten Linien eine Projektion der
Seiten das Quadrats auf eine Linie. Die gemessenen L�ngen a und b habe
ich, die Gr��e des Quadrats habe ich nicht.

Ich suche jetzt den Winkel, in dem das Quadrat zur Linie liegt. Ein
Gef�hl sagt mir, dass ich einfach arctan(a/b) rechnen kann und eine
�berpr�fung von folgenden Werten:

a/b=1; arctan(1) = 45�
a/b -> oo; arctan(oo) = 90�
a/b -> 0; arctan(0) = 0�

kommt mir sinnvoll vor.

Kann ich das so machen?

Einsatzort ist �brigens ein Roboter, der Kisten suchen und greifen soll.

[Carsten Schultz]

Christian Stubbs schrieb:

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> a b
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> Das soll eine Quadrat sein, die senkrechten Linien eine Projektion der

> Seiten das Quadrats auf eine Linie. Die gemessenen Längen a und b habe
> ich, die Größe des Quadrats habe ich nicht.

>
> Ich suche jetzt den Winkel, in dem das Quadrat zur Linie liegt. Ein

> Gefühl sagt mir, dass ich einfach arctan(a/b) rechnen kann und eine
> Überprüfung von folgenden Werten:

>
> a/b=1; arctan(1) = 45°
> a/b -> oo; arctan(oo) = 90°
> a/b -> 0; arctan(0) = 0°
>
> kommt mir sinnvoll vor.
>
> Kann ich das so machen?

Sei c die Seitenlänge des Quadrats, x der Winkel. Dann ist

b/c = cos x,
a/c = cos (90° - x) = sin x,

also a/b = sin x / cos x = tan x,

Du hast also recht.

Gruß

Carsten

--
Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
PGP/GPG key on the pgp.net key servers,
fingerprint on my home page.

[Stephan Gerlach]

Carsten Schultz schrieb:

> Christian Stubbs schrieb:
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>> a b

[...]

> Sei c die Seitenlänge des Quadrats, x der Winkel. Dann ist
>
> b/c = cos x,
> a/c = cos (90° - x) = sin x,
>
> also a/b = sin x / cos x = tan x,
>
> Du hast also recht.

Oder noch einfacher:
Man verschiebt das Quadrat einfach gedanklich ein bißchen nach unten

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a b

Nun erkennt man hierin 2 offensichtlich(?) ähnliche Dreiecke. Beide
Dreiecke enthalten insbesondere die Seiten a und b als Katheten sowie
den gesuchten Winkel.
=> tan(Winkel) = a/b

--
> Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)

[Vogel]

Stephan Gerlach <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> wrote in news:hgh9dj
$e4f$02$1...@news.t-online.com:

> Carsten Schultz schrieb:
>> Christian Stubbs schrieb:
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>>> a b
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> [...]
>
>> Sei c die Seitenlänge des Quadrats, x der Winkel. Dann ist
>>
>> b/c = cos x,
>> a/c = cos (90° - x) = sin x,
>>
>> also a/b = sin x / cos x = tan x,
>>
>> Du hast also recht.
>
> Oder noch einfacher:
> Man verschiebt das Quadrat einfach gedanklich ein bißchen nach unten
>

Oder man zieht eine Parallele durch den Spitzpunkt ;-)
Man muss aber nicht alles einfach machen, man darf es auch kompliziert
machen.
(Offensichtlichkeit ist eine subjektive Empfindung)

>
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> a b
>
> Nun erkennt man hierin 2 offensichtlich(?) ähnliche Dreiecke.
>

Gleiche Dreiecke.
Die Hypopthenuse ist, als Seite des Quadrats, in beiden Dreiecken gleich
lang und die Winkel sind als Komplement�rwinkel auch gleich. Also haben
wir zwei gleiche Dreiecke.
Also sind die entsprechenden Katheten auch gleich lang.
>
Also haben s�mtliche trigonometrischen Funktionen den gleichen Wert in
beiden Dreiecken. (�hnlichkeit h�tte dazu nat�rlich auch gereicht)
>
Die trig. Funktionen welche die gegebenen Informationen enth�lt sind:
>
tan(alpha) = a/b
>
Und alle damit identische Funktionen.
>

--
Selber denken macht klug.

[Carsten Schultz]

Vogel schrieb:

> Stephan Gerlach <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> wrote in news:hgh9dj
> $e4f$02$1...@news.t-online.com:

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>> a b
>>

>> Nun erkennt man hierin 2 offensichtlich(?) Àhnliche Dreiecke.
>>
> Gleiche Dreiecke.

So weit ich mich erinnere, hießen solche Dreiecke bei mir in der Schule
zueinander kongruent.

[Christian Stubbs]

Stephan Gerlach <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> writes:

> Oder noch einfacher:
> Man verschiebt das Quadrat einfach gedanklich ein bi�chen nach unten

>
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> a b
>

> Nun erkennt man hierin 2 offensichtlich(?) �hnliche Dreiecke. Beide

> Dreiecke enthalten insbesondere die Seiten a und b als Katheten sowie
> den gesuchten Winkel.
> => tan(Winkel) = a/b

Ja, hier wirds wirklich offensichtlich. Danke an euch alle.

Chris

[Vogel]

Carsten Schultz <car...@codimi.de> wrote in
news:7p5k0p...@mid.dfncis.de:

> Vogel schrieb:
>> Stephan Gerlach <mam9...@studserv.uni-leipzig.de> wrote in
>> news:hgh9dj
>
>> $e4f$02$1...@news.t-online.com:
>>> .
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>>> a b
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>>> Nun erkennt man hierin 2 offensichtlich(?) �hhnliche Dreiecke.
>>>
>> Gleiche Dreiecke.
>
> So weit ich mich erinnere, hiessen solche Dreiecke bei mir in der
> Schule zueinander kongruent.
>
Is nicht wahr!
Hast du ein fabelhaftes Ged�chtnis.
Wie hiessen denn bei dir in der Schule "�hhnliche Dreiecke"?
>
So weit ich mich erinnere, ist Mathematik keine Sprachforschung.