[Matx]#671: Zahlenfolge und Quadrate

[GJ Woeginger]

Wir definieren eine Zahlenfolge

x(1) = 4

und fuer n>=1

x(n+1) = x(1)*x(2)*...)x(n) +5.


Bestimme alle positiven ganzen Zahlen m und n mit m<n,
fuer die x(m)*x(n) eine Quadratzahl ist!


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Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

[Ralf Beyer]

GJ Woeginger schrieb:

> Wir definieren eine Zahlenfolge
>
> x(1) = 4
>
> und fuer n>=1
>
> x(n+1) = x(1)*x(2)*...)x(n) +5.
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> Bestimme alle positiven ganzen Zahlen m und n mit m<n,
> fuer die x(m)*x(n) eine Quadratzahl ist!

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Es gilt für alle n >= 1:

A) x(n+1) > x(n)
B) x(n+1) ist teilerfremd zu allen x(i), i = 1..n
Beweis jeweils durch Induktion.

Nach B) ist x(n)*x(m) nur dann eine Quadratzahl, wenn sowohl
x(m) als auch x(n) jeweils Quadratzahlen sind.
Das ist für x(1) und x(2) der Fall.

C) Für alle n >=2 gilt die Beziehung x(n+1) = x(n)*(x(n) - 5) + 5,
was direkt aus der Definition für x(n+1) folgt. Damit ist dann

(x(n) - 3)^2 = x(n)^2 - 6x(n) + 9 < x(n+1) = x(n)^2 - 5x(n) + 5 <
(x(n) - 2)^2 = x(n)^2 - 4x(n) + 4

sobald x(n) > 4 ist. Wegen A) ist dies für n >= 2 stets erfüllt.
Damit kann x(n+1) für n >= 2 nie eine Quadratzahl sein.

Es bleiben also nur die Wertepaare {m,n} = {1,1},{1,2},{2,1},{2,2}
übrig, bei denen x(m)*x(n) eine Quadratzahl ist.

VG Ralf