[Matx]#663: 2x2 Matrizen

[GJ Woeginger]

Bestimme alle 2x2 Matrizen A mit ganzzahligen Eintraegen,
sodass gilt:

1. Alle vier Eintrage der Matrix A^2 sind Primzahlen

2. Die Determinante von A ist das Quadrat einer Primzahl.


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Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

[Jens Voß]

On 9 Mai, 15:53, gwo...@figipc78.tu-graz.ac.at (GJ Woeginger) wrote:
> Bestimme alle 2x2 Matrizen A mit ganzzahligen Eintraegen,
> sodass gilt:
>
>   1. Alle vier Eintrage der Matrix A^2 sind Primzahlen
>
>   2. Die Determinante von A ist das Quadrat einer Primzahl.

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Die folgenden Überlegungen setzen voraus, dass eine
Primzahl (PZ) stets positiv ist (man kann es auch
anders definieren, dann gibt es vermutlich mehr
Lösungen).

Sei M (den Buchstaben A brauchen wir anderweitig)
die Matrix

/a b\
\c d/. Dann ist M^2 =

/a^2+bc (a+d)b\ /A B\
\(a+d)c d^2+bc/ =: \C D/

Bemerkung:
(*) b und c haben dasselbe Vorzeichen.

Damit B PZ ist, muss einer der Faktoren (a+d), b
den Betrag 1 haben, und keiner darf 0 sein.

Annahme: |b| > 1. Dann ist |a+d| = 1. Insbesondere
haben a und d - und damit auch die PZen A und D -
unterschiedliche Parität, eine davon ist also = 2.
Dies ist im angeommenen Fall aber nur dann möglich,
wenn |b| = 2 und |c| = 1 ist. Damit wäre aber C = 1
und damit keine PZ.

Folglich ist |b| = 1, |a+d| > 1 und |c| = 1, wegen
(*) also bc = 1. Sei q die PZ mit q^2 = det M. Dann
ist q^2 + 1 = ad. Da Quadrate ungerader Zahlen
kongruent 1 modulo 4 sind, folgt

(**) a oder d ist ungerade.

Damit ist A = a^2 + 1 oder D = d^2 + 1 eine gerade
PZ, also = 2, d.h.

(***) |a| = 1 oder |d| = 1.

Annahme: a = -1. Dann ist q^2 = det M = -d - 1,
also d = -q^2 - 1

Fall 1: a = 1. Dann ist q^2 = det M = d - 1,
also d = q^2 + 1 > 0. Damit die Bedingungen erfüllt
sind, muss B = d + 1 = q^2 + 2 eine PZ sein. Dies
ist jedoch nur für q = 3 der Fall, da für alle
anderen ungeraden PZen die Zahl q^2 + 2 durch 3
teilbar ist. Dass das q auch tatsächlich eine
Lösung liefert, folgt daraus, dass D = 101 eine PZ
ist.

Fall 2: a = -1. Dann ist q^2 = -d - 1, also
d = -q^2 - 1 < 0. Analog zum obigen muss
B = -d + 1 = q^2 + 2 eine PZ sein, und wie oben
folgt q = 3.

Die Fälle d = +-1 verlaufen analog.

Die Lösungen sind also die Matrizen

/1 1\ /-1 -1\ /10 1\ /-10 -1\
\1 10/, \-1 -10/, \1 1/, \-1 -1/.

Schönen Gruß,
Jens

[Siegbert Steinlechner]

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Es sei
A=[a , b; c , d]

mit a,b,c,d ganz und |A|=p^2 mit p prim.

Dann ist
A^2 = [a^2+b*c, b*(a+d); c*(a+d), b*c+d^2].

Da alle Einträge in A^2 prim sind, muss gelten:

a) b=c=1 und a+d prim oder
b) b=c=-1 und -(a+d) prim oder
c) a+d=1 und b,c prim oder
d) a+d=-1 und -b, -c prim

Fall a) b=c=1

Es gilt |A| = a*d-1 = p^2 mit p prim und
A^2 = [a^2+1, a+d; a+d, d^2+1]

mit a^2+1 prim
d^2+1 prim
a+d prim

Annahme 1: |a|>1 und |d|>1
Da Primzahlen >2 ungerade sind, müssen a und d gerade sein. Die steht im
Widerspruch zu a+d prim. => Annahme 1 ist falsch.

Annahme 2: |a|=1 und |d|=1
Damit ist |A| auf den Wertebereich {-2,-1,1,2} eingeschränkt, wodurch
|A|=p^2
nicht erfüllt werden kann. => Annahme 2 ist falsch

Annahme 3: |a|=1 oder |d|=1
ObdA nehme ich an: d=1 (Begründung: die Vertauschung von a mit d, b mit
c in A
oder Multiplikation von A mit -1 behandelt die anderen Fälle, wirkt sich
jedoch nicht auf die geforderten Eigenschaften von A bzw, A^2 aus).
Dann gilt:

|A| = a-1 = p^2 mit p prim und
A^2 = [a^2+1, a+1; a+1, 2]

mit a^2+1 prim
a+1 prim (siehe auch: oeis.org A070689)

Für eine beliebige Primzahl w gilt: mod(w,3) =0 wenn w=3, =1 oder =2 sonst.
Dann gilt auch: mod(w^2,3)=0 wenn w=3, =1 sonst
und mod(w^2-2)=1 wenn w=3, =2 sonst

Wenn a+1 prim ist, dann gilt mod(a+1,3)=1 wenn a=2, =2 oder =0 sonst.
Dann gilt auch: mod(a-1,3)=1 wenn a=4, =0 oder =2 sonst.
Wenn p prim ist, dann gilt mod(p^2,3)=0 wenn p=3, =1 sonst

Da p^2=a-1 gelten soll, muss entweder
p =/= 3 und a=4
oder p=3 und a =/= 4 gelten.

Im ersten Fall kann |A|=p^2 = 3 nicht erfüllt werden.
Der zweite Fall führt auf die Lösung p=3,a=p^2+1=10,b=c=1:

A=[10, 1;1, 1] A^2=[101, 11; 11, 2] |A|=9=3*3

Weitere Lösungen (durch Symmetriebetrachtungen) sind:

A=-[10, 1;1, 1] A^2=[101, 11; 11, 2] |A|=9=3*3
A= [1 , 1;1, 10] A^2=[2, 11; 11, 101] |A|=9=3*3
A=-[1 , 1;1, 10] A^2=[2, 11; 11, 101] |A|=9=3*3

Die Fälle b) bis d) führen nicht zu weiteren Lösungen, die Details spare
ich mir hier.

Kleine Ergänzung: ließe man auch die 1 als Primzahl gelten, gäbe es noch
die Lösung A=[1, 1;1, 2] A^2=[2 3 ; 3 5] |A)=1*1

Gruß
Siegbert