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[Matx]#667: Gerader Schnitt
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GJ Woeginger
May 17, 2012, 10:06:19 AM5/17/12
to
Ich zerschneide das Dreieck mit Seitenlaengen 3,4,5
durch einen geraden Schnitt in zwei Teile mit
gleicher Flaeche.
Frage:
Wie lange ist der kuerzest moegliche Schnitt?
___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/
durch einen geraden Schnitt in zwei Teile mit
gleicher Flaeche.
Frage:
Wie lange ist der kuerzest moegliche Schnitt?
___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/
Jens Voß
May 18, 2012, 3:37:13 AM5/18/12
to
On 17 Mai, 16:06, gwo...@figipc78.tu-graz.ac.at (GJ Woeginger) wrote:
> Ich zerschneide das Dreieck mit Seitenlaengen 3,4,5
> durch einen geraden Schnitt in zwei Teile mit
> gleicher Flaeche.
>
> Frage:
> Wie lange ist der kuerzest moegliche Schnitt?
Heute leider keine Zeit für die diversen Fallunterscheidungen, aber
> Ich zerschneide das Dreieck mit Seitenlaengen 3,4,5
> durch einen geraden Schnitt in zwei Teile mit
> gleicher Flaeche.
>
> Frage:
> Wie lange ist der kuerzest moegliche Schnitt?
eine Frage: Gibt es eigentlich keine Aufgabe #666?
Gruß,
Jens
Philippe 92
May 18, 2012, 4:31:42 AM5/18/12
to
Jens Voß a écrit :
Es gibt nur einen Fall zu betrachten !!
Rechnung ist dann nur einige Linien.
=========
Ein Pythagoräische Dreieck heisst "Woegingisch" wenn die kurzeste
Strecke uzw. ist ganzzahlig.
Zu finden alle primitive (GGT=1) Woegingische Dreiecke
Der erste ist 3-4-5
der nächste ist 17-144-145 mit Lmin = 12
dann kommt 301-900-949 mit Lmin = 210
> aber eine Frage: Gibt es eigentlich keine Aufgabe #666?
eine teuflische Aufgabe ?
Herzliche Grüsse.
--
Philippe C. mail chephip à free.fr
site divertissement mathématiques http://mathafou.free.fr
> On 17 Mai, 16:06, gwo...@figipc78.tu-graz.ac.at (GJ Woeginger) wrote:
>> Ich zerschneide das Dreieck mit Seitenlaengen 3,4,5
>> durch einen geraden Schnitt in zwei Teile mit
>> gleicher Flaeche.
>>
>> Frage:
>> Wie lange ist der kuerzest moegliche Schnitt?
>
> Heute leider keine Zeit für die diversen Fallunterscheidungen,
Hallo,
>> Ich zerschneide das Dreieck mit Seitenlaengen 3,4,5
>> durch einen geraden Schnitt in zwei Teile mit
>> gleicher Flaeche.
>>
>> Frage:
>> Wie lange ist der kuerzest moegliche Schnitt?
>
> Heute leider keine Zeit für die diversen Fallunterscheidungen,
Es gibt nur einen Fall zu betrachten !!
Rechnung ist dann nur einige Linien.
=========
Ein Pythagoräische Dreieck heisst "Woegingisch" wenn die kurzeste
Strecke uzw. ist ganzzahlig.
Zu finden alle primitive (GGT=1) Woegingische Dreiecke
Der erste ist 3-4-5
der nächste ist 17-144-145 mit Lmin = 12
dann kommt 301-900-949 mit Lmin = 210
> aber eine Frage: Gibt es eigentlich keine Aufgabe #666?
Herzliche Grüsse.
--
Philippe C. mail chephip à free.fr
site divertissement mathématiques http://mathafou.free.fr
Thomas Nordhaus
May 19, 2012, 9:43:51 AM5/19/12
to
Am 17.05.2012 16:06, schrieb GJ Woeginger:
> Ich zerschneide das Dreieck mit Seitenlaengen 3,4,5
> durch einen geraden Schnitt in zwei Teile mit
> gleicher Flaeche.
>
> Frage:
> Wie lange ist der kuerzest moegliche Schnitt?
s
> Ich zerschneide das Dreieck mit Seitenlaengen 3,4,5
> durch einen geraden Schnitt in zwei Teile mit
> gleicher Flaeche.
>
> Frage:
> Wie lange ist der kuerzest moegliche Schnitt?
p
o
i
l
e
r
s
p
o
i
l
e
r
Der optimale Schnitt hat Länge 2 (erstaunlicherweise?). Er schneidet ein
gleichschenkliges Dreieck mit Schenkellänge sqrt(10) ab. Siehe:
http://dl.dropbox.com/u/15892273/drd/drd667.png
--
Thomas Nordhaus
Philippe 92
May 19, 2012, 10:26:34 AM5/19/12
to
Thomas Nordhaus a écrit :
Hallo,
Satz 1 :
eine Strecke DE mit Flächeninhalt ADE = 1/2 ABC is so dass
AD.AE = AB.AC/2
Das heisst DE ist tangent zu einer Hyperbeln mit Asymptoten AB und AC
Die kurzeste Tangente ist wenn DE ist senkrecht zur Achse der
Hperbel,
das heisst AD = AE
Satz 2 :
Die kurzeste DE ist im kleinste Winkel, das heisst gegenseitig zu
kurzeste Seite.
Sei DE = 2L, und Abstand h von A, mit Winkel 2 alpha
dann ist Flächeninhalt von ADE = h.L = F/2, wo F = ABC Flächeninhalt
aber L = h.tan(alpha) also ist L^2 = F.tan(alpha)/2
und L ist minimal wenn tan(alpha) minimal also alpha minimal.
Der kurzeste DE im dreieck 3-4-5 ist dann wenn D auf Hypothenuse
AB = c = 5 und E auf der grösste Seite AC = b = 4
So muss mann nur diesem Fall rechnen.
Mit DE = 2L und Winkel A = 2.alpha
Sei x = AD = AE
L = x sin(alpha) also L^2 = x^2 sin^2(alpha)
x^2 = bc/2
L^2 = bc sin^2(alpha)/2 und sin^2(alpha) = 2L^2/bc
b = c.cos(2.alpha) = c (1 - 2.sin^2(alpha)) = c (1 - 4L^2/bc)
(2L)^2 = b(c - b) = 4(5 - 4) = 4, also 2L = 2
Die algemeine Formel ist DE^2 = (2L)^2 = b(c - b)
mit a,b,c ein primitiv (GGT=1) Pythagoräishes Dreieck, also
{a, b} = {2uv, |u^2 - v^2|) und c = u^2 + v^2
1. Fall : b = |u^2 - v^2|
L^2 = (u^2 - v^2)(2v^2) und L ein ganze Zahl wenn 2(u+v)(u-v) ist
ein Quadrat
u und v sind veschiedene Parität (weil a,b,c primitiv !) also u+v
und u-v beide ungerade, dann L ganze Zahl ist unmöglich : sqrt(2) ist
nicht rational
2. Fall b = 2uv
L^2 = 2uv(u-v)^2 also 2uv muss ein Quadrat sein
also {u, v} = {2^(2n+1).p^2, q^2} mit GGT(p,q) = 1 und p, q ungerade.
aber man muss auch a < b also |u^2 - v^2| < 2uv
Zum Beispiel p = q = 1, n = 0, gibt u = 2, v = 1 und das 3-4-5 Dreieck
n = 1, p = 1, q = 3 gibt u = 8, v = 9 und das 145-144-17 Dreieck
(2L)^2 = 144*(145-144) = 12^2
n = 0, p = 3, q = 5 gibt u = 18, v = 25 und das 949-900-301 Dreieck
(2L)^2 = 900*(949 - 900) = (210)^2
Kleinere Pythagoräishe primitiv Dreiecke (kleinere Hypothenuse) sind
mit |u^2 - v^2| > 2uv und geben keine Lösung.
(mit brute-force auf n, p, q)
Satz 1 :
eine Strecke DE mit Flächeninhalt ADE = 1/2 ABC is so dass
AD.AE = AB.AC/2
Das heisst DE ist tangent zu einer Hyperbeln mit Asymptoten AB und AC
Die kurzeste Tangente ist wenn DE ist senkrecht zur Achse der
Hperbel,
das heisst AD = AE
Satz 2 :
Die kurzeste DE ist im kleinste Winkel, das heisst gegenseitig zu
kurzeste Seite.
Sei DE = 2L, und Abstand h von A, mit Winkel 2 alpha
dann ist Flächeninhalt von ADE = h.L = F/2, wo F = ABC Flächeninhalt
aber L = h.tan(alpha) also ist L^2 = F.tan(alpha)/2
und L ist minimal wenn tan(alpha) minimal also alpha minimal.
Der kurzeste DE im dreieck 3-4-5 ist dann wenn D auf Hypothenuse
AB = c = 5 und E auf der grösste Seite AC = b = 4
So muss mann nur diesem Fall rechnen.
Mit DE = 2L und Winkel A = 2.alpha
Sei x = AD = AE
L = x sin(alpha) also L^2 = x^2 sin^2(alpha)
x^2 = bc/2
L^2 = bc sin^2(alpha)/2 und sin^2(alpha) = 2L^2/bc
b = c.cos(2.alpha) = c (1 - 2.sin^2(alpha)) = c (1 - 4L^2/bc)
(2L)^2 = b(c - b) = 4(5 - 4) = 4, also 2L = 2
Die algemeine Formel ist DE^2 = (2L)^2 = b(c - b)
mit a,b,c ein primitiv (GGT=1) Pythagoräishes Dreieck, also
{a, b} = {2uv, |u^2 - v^2|) und c = u^2 + v^2
1. Fall : b = |u^2 - v^2|
L^2 = (u^2 - v^2)(2v^2) und L ein ganze Zahl wenn 2(u+v)(u-v) ist
ein Quadrat
u und v sind veschiedene Parität (weil a,b,c primitiv !) also u+v
und u-v beide ungerade, dann L ganze Zahl ist unmöglich : sqrt(2) ist
nicht rational
2. Fall b = 2uv
L^2 = 2uv(u-v)^2 also 2uv muss ein Quadrat sein
also {u, v} = {2^(2n+1).p^2, q^2} mit GGT(p,q) = 1 und p, q ungerade.
aber man muss auch a < b also |u^2 - v^2| < 2uv
Zum Beispiel p = q = 1, n = 0, gibt u = 2, v = 1 und das 3-4-5 Dreieck
n = 1, p = 1, q = 3 gibt u = 8, v = 9 und das 145-144-17 Dreieck
(2L)^2 = 144*(145-144) = 12^2
n = 0, p = 3, q = 5 gibt u = 18, v = 25 und das 949-900-301 Dreieck
(2L)^2 = 900*(949 - 900) = (210)^2
Kleinere Pythagoräishe primitiv Dreiecke (kleinere Hypothenuse) sind
mit |u^2 - v^2| > 2uv und geben keine Lösung.
(mit brute-force auf n, p, q)
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