[Matx]#657: Gleichung mit s und t

[GJ Woeginger]

Finde alle positiven ganzen Zahlen s und t mit

1 + 4s + s^4 = 5^t


___________________________________________________________
Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

[Siegbert Steinlechner]

#






#






#






#






#






#






#

1 + 4s + s^4 ist durch 5 teilbar, wenn s=2+5*k1 gewählt wird mit
k1=0,1,2,3,...

eingesetzt: 625 k1^4 + 1000 k1^3 + 600 k1^2 + 180 k1 + 25 (1)
dividiert durch 5: 125 k1^4 + 200 k1^3 + 120 k1^2 + 36 k1 + 5 (2)

Der Ausdruck (2) muss entweder=1 sein (geht nicht, da k1>=0) , oder
durch 5 teilbar. Wir nehmen den letzten Ausdruck modulo 5 und erhalten
als Ergebnis k1. Ausdruck (2) ist also durch 5 teilbar, wenn die
notwendige Bedingung gilt:

k1=5*k2 mit k2=0,1,2,3,...

Eingesetzt in (2) und nach Division durch 5 ergibt sich:

15625*k2^4 + 5000*k2^3 + 600* k2^2 + 36*k2 + 1 (3)

Dieser Ausdruck nimmt genau dann den Wert 1 an, wenn k2=0 => k1=0

=> s=2 ist die einzige Lösung mit t=2.

Wir nehmen nun (3) modulo 5 und erhalten (mit k2>0)

k2+1 (4)

Damit (3) durch 5 teilbar wird, muss k2=4+5*k3 mit k3=0,1,2,3,... sein.
Eingesetzt in (3) bzw. in (4) und durch 5 dividiert ergibt sich modulo 5:

k3+1 (5)

Da (5) dieselbe Form wie (4) besitzt, werden alle weiteren Schritte
dieselbe Form ergeben. Da (4) und (5) keine weitere Lösung liefern (da
die zugehörigen Ausdrücke nicht=1 werden können), werden auch die
unendlich vielen folgenden Möglichkeiten keine weitere Lösung liefern.

Somit ist s=2, t=2 die einzige Lösung.

Gruß
Siegbert