[Matx]#673: Teilbarkeit

[GJ Woeginger]

Bestimme die kleinste positive ganze Zahl n>=2, fuer die
es n positive ganze Zahlen mit folgender Eigenschaft gibt:

Es sei S die Summe der n Zahlen.
Es sei Q die Summe der Quadrate der n Zahlen.
Die Zahl (S^2 -1) ist durch Q teilbar.


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Gerhard J. Woeginger http://www.win.tue.nl/~gwoegi/

[Siegbert Steinlechner]

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Die n Zahlenwerte sollen a[i] heißen:
S=sum(a[i]), i=1:n
Q=sum(a[i]^2), i=1:n
Dann muss gelten:
(S^2-1)/Q = k, mit k positive ganze Zahl
Wenn S gerade ist, ist auch Q gerade und S^2-1 ist ungerade.
Wenn S ungerade ist, ist auch Q ungerade und S^2-1 ist gerade.
Daraus folgt als einzige Möglichkeit:
k ist gerade
S und Q sind ungerade
Weiterhin gilt:
S^2-1=(S-1)*(S+1)
S ist ungerade, damit sind S-1 und S+1 durch 2 teilbar.
Zusätzlich ist ist einer der beiden Faktoren auch durch 4 teilbar.
Deshalb enthält S^2-1 den Faktor 8.
Da Q ungerade ist, muss k>=8 und ein Vielfaches von 8 sein.
Es gilt wegen der Cauch-Schwarz'schen Ungleichung:
k<=(n*sum(a[i]^2)-1)/sum(a[i]^2)<n
und damit
n>k
D.h., der erste Kandidat ist n=9 mit k=8.
Tatsächlich findet man dafür Lösungen, z.B. {1,1,1,1,1,1,1,2,2}.

Gruß
Siegbert