Google Groups no longer supports new Usenet posts or subscriptions. Historical content remains viewable.
Dismiss

Еще одна задача

25 views
Skip to first unread message

Mikhail Kimmelman

unread,
Apr 15, 2015, 7:38:20 AM4/15/15
to
Из тетради в клетку вырвали листок и вырезали из него квадрат
строго по линиям квадратной сетки. Потом из полученного
квадрата вырезали по линиям еще один квадрат. После этого
в первом квадрате осталось 79 клеток.

Докажите, что второй (меньший) вырезанный квадрат содержит
одну из угловых клеток бОльшего (первого) квадрата.

Миша

999Vulcan

unread,
Apr 15, 2015, 8:10:46 AM4/15/15
to
2xa-a^2=79 => a=1; x=40

Alexander A. Golubtsov

unread,
Apr 15, 2015, 8:15:03 AM4/15/15
to
Mikhail Kimmelman писал(а):
Ну тут вроде понятно, что если бы не содержал, то число оставшихся клеток было бы чётное.

999Vulcan

unread,
Apr 15, 2015, 8:23:26 AM4/15/15
to
не обязательно чётное, но делимое на разницу длин сторон квадратов

т.е. тут фокус не в нечётности, а в том, что число 79 - простое



Alexander A. Golubtsov

unread,
Apr 15, 2015, 8:45:04 AM4/15/15
to
999Vulcan писал(а):
Ну я вот не могу представить, чтобы квадрат вырезали из середины и количество оставшихся было нечётным. И это проще для понимания, чем простота числа.

999Vulcan

unread,
Apr 15, 2015, 8:46:43 AM4/15/15
to
что ты можешь представить - иррелевантно
это задача по математике, а не по women's studies

формулу можешь написать?

999Vulcan

unread,
Apr 15, 2015, 8:50:57 AM4/15/15
to
...закрой глаза и представь себе квадрат 4x4 с вырезанным одним квадратиком

999Vulcan

unread,
Apr 15, 2015, 9:22:00 AM4/15/15
to
разверну, но это уже будет совсем спойлер














ключевой момент - понять, что оставшееся количество клеток зависит не от
положения, а от размера второго квадрата, и что обязательно содержать
угловую клетку первого квадрата будет только второй квадрат со стороной
на 1 меньше первого

дальше тривиально

пусть

x - длина стороны первого квадрата
a - разница в длине сторон между первым и вторым

докажем, что только при а=1 может остаться 79 клеток

из условия следует

x^2 - (x-a)^2 = 79

упростив, получим

2xa-a^2 = 79, или
2x-a = 79/a

поскольку x и а - целые числа, а 79 - простое число, решение возможно
только для a=1, ч.т.д.

ALich

unread,
Apr 15, 2015, 10:30:04 AM4/15/15
to
Alexander A. Golubtsov писал(а):
Строоо говоря, чётность или нечётность на положение не влияет вообще. Квадрат можно сдвинуть на единичку вверх или вниз, не изменяя остатков.

Здесь, очевидно, подразумевается что единственный шанс чтобы получилось 79 клеток это в квадрате 40 вырезать 39.
Доказательство можно привести в том плане, что в квадрате больше чем 40 такой цифры не получится в принципе, а в квадрате меньшего размера, если оставлять неодинарные полосы, такого простого числа не получится, ибо будет (для случая полосы в 2 клетки)
n * 2 + (n-2) × 2
И так далее

А

TAZ

unread,
Apr 15, 2015, 2:13:31 PM4/15/15
to
Если "сторона" 40, то площадь первого квадрата 1600.. Знаешь сколько
квадратов с площадью at least большей чем одна, но не меньшей чем 79 (по
условию) можно нарезать? ;)

Татьяна
PS. Но всё равно хочется верить что это опечатка и в первом квадрате
осталось 80 клеток..


999Vulcan

unread,
Apr 15, 2015, 2:17:01 PM4/15/15
to
mind blown

TAZ

unread,
Apr 15, 2015, 3:09:36 PM4/15/15
to
Ты тоже теперь думаешь что опечатка, но только осталось 99 клеток? ;)

Татьяна

TAZ

unread,
Apr 15, 2015, 4:26:29 PM4/15/15
to
Кстати. Мы тут с Вулахом на тему этой задачи заспорили и я уже была
готова согласиться на его решение, но меня сомненьица опять терзают - а
листок вырвали из середины или просто так вырвали? Потому как если
просто так вырвали, то изначальный квадрат из его решения не получится,
потому как тетрадный листок это 34X41 клеток, хоть тресни, и тогда в
задаче опечатка и надо читать что осталось или 80 или 99 клеток. А если
из середины, то тогда нормально вроде, но всё равно очень криво.

Татьяна



999Vulcan

unread,
Apr 15, 2015, 4:32:32 PM4/15/15
to
вот теперь Таня дело говорит!

999Vulcan

unread,
Apr 15, 2015, 6:02:56 PM4/15/15
to
семиклассник справился

Б.B.Шитов

unread,
Apr 15, 2015, 10:14:06 PM4/15/15
to

"999Vulcan" <z...@vulakh.us> сообщил/сообщила в новостях следующее:
news:mgmn4m$cks$1...@dont-email.me...
А что там сложного? Ведь если б этот меньший квадрат
содержал не одну, а хотя бы две угловых клетки бОльшего
(первого) квадрата, то там и вырезать бы ничего не пришлось.


Mikhail Kimmelman

unread,
Apr 16, 2015, 6:48:25 AM4/16/15
to
"999Vulcan" wrote in message news:mgmn4m$cks$1...@dont-email.me...

>> Докажите, что второй (меньший) вырезанный квадрат содержит
>> одну из угловых клеток бОльшего (первого) квадрата.

> семиклассник справился

Круто !

Миша

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 6:49:42 AM4/16/15
to
натаскали :-)

Mikhail Kimmelman

unread,
Apr 16, 2015, 7:05:59 AM4/16/15
to
"999Vulcan" wrote in message news:mgmn4m$cks$1...@dont-email.me...

>> Докажите, что второй (меньший) вырезанный квадрат содержит
>> одну из угловых клеток бОльшего (первого) квадрата.

> семиклассник справился

Кстати, можно и без квадратного уравнения обойтись.

Пусть L1 - сторона первого квадрата, а L2 - сторона второго.
L1^2 - L2^2 = 79, т.е. (L1 - L2)(L1 + L2) = 79.
А поскольку 79 простое, то L1 - L2 = 1

В общем, то же самое, но попроще для решения в уме.

Миша

Mikhail Kimmelman

unread,
Apr 16, 2015, 7:22:36 AM4/16/15
to
"999Vulcan" wrote in message news:mgo42c$4cf$1...@dont-email.me...

>>>> Докажите, что второй (меньший) вырезанный квадрат содержит
>>>> одну из угловых клеток бОльшего (первого) квадрата.
>>
>>> семиклассник справился
>>
>> Круто !

> натаскали :-)

Поздравляю :)
Ну что ? Можно признать, что натаскивание таки работает.

Миша

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 7:26:26 AM4/16/15
to
хорошо!

вообще отличная задача
где взял?

Mikhail Kimmelman

unread,
Apr 16, 2015, 7:40:33 AM4/16/15
to
"999Vulcan" wrote in message news:mgo678$ba7$1...@dont-email.me...

> вообще отличная задача

Хорошая. Лучше сингапурской.

> где взял?

где-то в ЖЖ. Кстати, я там увидел ссылку на книжку В. Арнольда
"Задачи для детей от 5 до 15".

http://avva.livejournal.com/2856705.html

Миша

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 8:41:00 AM4/16/15
to
эта книжка по твоей наводке у меня уже давно окрыта в pinned tab :-)

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 8:42:30 AM4/16/15
to
On 4/16/2015 7:40 AM, Mikhail Kimmelman wrote:
> "999Vulcan" wrote in message news:mgo678$ba7$1...@dont-email.me...
>
>> вообще отличная задача
>
> Хорошая. Лучше сингапурской.

я считаю, что традиционный "русский" подход к преподаванию математики
кроет новомодный сингапурский, как аляска техас

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 8:45:42 AM4/16/15
to
On 4/16/2015 7:40 AM, Mikhail Kimmelman wrote:
> "999Vulcan" wrote in message news:mgo678$ba7$1...@dont-email.me...
>
>> вообще отличная задача
>
> Хорошая. Лучше сингапурской.

с сингапурской у нас даже третьеклассник справился - правда, приглось
сперва объяснить психологический аспект (что участники предполагают, что
другие участники думают, о чём думают другие участники)

:-)

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 8:57:32 AM4/16/15
to
кстати, Хантер, тут нужна запятая?
у Жванецкого есть
http://www.jvanetsky.ru/data/text/t7/tshatelnee

Sericinus hunter

unread,
Apr 16, 2015, 10:23:27 AM4/16/15
to
On 4/16/2015 8:57 AM, 999Vulcan wrote:
> On 4/16/2015 8:42 AM, 999Vulcan wrote:
>> On 4/16/2015 7:40 AM, Mikhail Kimmelman wrote:
>>> "999Vulcan" wrote in message news:mgo678$ba7$1...@dont-email.me...
>>>
>>>> вообще отличная задача
>>>
>>> Хорошая. Лучше сингапурской.
>>
>> я считаю, что традиционный "русский" подход к преподаванию математики
>> кроет новомодный сингапурский, как аляска техас
>
> кстати, Хантер, тут нужна запятая?

В каком месте?

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 10:26:13 AM4/16/15
to
On 4/16/2015 10:23 AM, Sericinus hunter wrote:
> On 4/16/2015 8:57 AM, 999Vulcan wrote:
>> On 4/16/2015 8:42 AM, 999Vulcan wrote:
>>> On 4/16/2015 7:40 AM, Mikhail Kimmelman wrote:
>>>> "999Vulcan" wrote in message news:mgo678$ba7$1...@dont-email.me...
>>>>
>>>>> вообще отличная задача
>>>>
>>>> Хорошая. Лучше сингапурской.
>>>
>>> я считаю, что традиционный "русский" подход к преподаванию математики
>>> кроет новомодный сингапурский, как аляска техас
>>
>> кстати, Хантер, тут нужна запятая?
>
> В каком месте?

ну хорошо, поставим вопрос иначе: найди ошибки в предложении

:-)

Б.B.Шитов

unread,
Apr 16, 2015, 10:30:20 AM4/16/15
to

"999Vulcan" <z...@vulakh.us> сообщил/сообщила в новостях следующее:
news:mgogoa$hoa$1...@dont-email.me...
> On 4/16/2015 10:23 AM, Sericinus hunter wrote:
>> On 4/16/2015 8:57 AM, 999Vulcan wrote:
>>> On 4/16/2015 8:42 AM, 999Vulcan wrote:
>>>> On 4/16/2015 7:40 AM, Mikhail Kimmelman wrote:
>>>>> "999Vulcan" wrote in message news:mgo678$ba7$1...@dont-email.me...
>>>>>
>>>>>> вообще отличная задача
>>>>>
>>>>> Хорошая. Лучше сингапурской.
>>>>
>>>> я считаю, что традиционный "русский" подход к преподаванию математики
>>>> кроет новомодный сингапурский, как аляска техас
>>>
>>> кстати, Хантер, тут нужна запятая?
>>
>> В каком месте?
>
> ну хорошо, поставим вопрос иначе: найди ошибки в предложении
>
> :-)

Аляска и Техас следует писать с большой буквы.


999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 10:33:21 AM4/16/15
to
On 4/16/2015 10:30 AM, Б.B.Шитов wrote:
> "999Vulcan" <z...@vulakh.us> сообщил/сообщила в новостях следующее:
>>>>>>> вообще отличная задача
>>>>>>
>>>>>> Хорошая. Лучше сингапурской.
>>>>>
>>>>> я считаю, что традиционный "русский" подход к преподаванию математики
>>>>> кроет новомодный сингапурский, как аляска техас
>>>>
>>>> кстати, Хантер, тут нужна запятая?
>>>
>>> В каком месте?
>>
>> ну хорошо, поставим вопрос иначе: найди ошибки в предложении
>>
>> :-)
>
> Аляска и Техас следует писать с большой буквы.

вот я хотел добавить оговорку на этот счёт

Sericinus hunter

unread,
Apr 16, 2015, 10:37:24 AM4/16/15
to
On 4/16/2015 10:26 AM, 999Vulcan wrote:
> On 4/16/2015 10:23 AM, Sericinus hunter wrote:
>> On 4/16/2015 8:57 AM, 999Vulcan wrote:
>>> On 4/16/2015 8:42 AM, 999Vulcan wrote:
>>>> On 4/16/2015 7:40 AM, Mikhail Kimmelman wrote:
>>>>> "999Vulcan" wrote in message news:mgo678$ba7$1...@dont-email.me...
>>>>>
>>>>>> вообще отличная задача
>>>>>
>>>>> Хорошая. Лучше сингапурской.
>>>>
>>>> я считаю, что традиционный "русский" подход к преподаванию математики
>>>> кроет новомодный сингапурский, как аляска техас
>>>
>>> кстати, Хантер, тут нужна запятая?
>>
>> В каком месте?
>
> ну хорошо, поставим вопрос иначе: найди ошибки в предложении

К уже указанному Борисом Васильевичем могу добавить, что
начинать предложение надо тоже с большой буквы.

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 10:40:39 AM4/16/15
to
а про точку в конце что, никто и словом не обмолвится?

Sericinus hunter

unread,
Apr 16, 2015, 11:04:07 AM4/16/15
to
Погоди, ещё подтянутся.

Andrey Tarasevich

unread,
Apr 16, 2015, 4:55:32 PM4/16/15
to
On 4/15/2015 4:38 AM, Mikhail Kimmelman wrote:
> Из тетради в клетку вырвали листок и вырезали из него квадрат
> строго по линиям квадратной сетки. Потом из полученного
> квадрата вырезали по линиям еще один квадрат. После этого
> в первом квадрате осталось 79 клеток.
>
> Докажите, что второй (меньший) вырезанный квадрат содержит
> одну из угловых клеток бОльшего (первого) квадрата.

Странная задача.

Понятно, что для любого фиксированого размера внутреннего квадрата
количество остающихся клеточек всегда будет одно и то же, где его не
вырезай. Т.е. информация о количестве оставшихся клеточек никак не
описывает _положения_ внутреннего квадрата во внешнем квадрате.

Так как никакой дополнительной информации о положении внутреннего
квадрата нам не дано, можно сразу же сделать вывод, что требуемое
утверждение является доказуемым только в том случае, если размер
внутреннего квадрата делает его _заведомо_ верным, независимо от
какой-либо других параметров условия. Исключая вырожденный случай, это
возможно тогда и только тогда, когда сторона внутреннего квадрата ровно
на 1 меньше стороны внешнего квадрата.

В этом смысле эта задача отдаленно похожа на сингапурскую задачу. Если
Алиса сказала Бобу, что требуемое утверждение - доказуемо, то Боб
вынужден прийти к выводу, что сторона внутреннего квадрата ровно на 1
меньше стороны внешнего квадрата и справдливость утвреждения очевидна.

999Vulcan

unread,
Apr 16, 2015, 5:35:00 PM4/16/15
to
nice:)

999Vulcan

unread,
Apr 21, 2015, 7:38:54 PM4/21/15
to
On 4/16/2015 4:55 PM, Andrey Tarasevich wrote:
кстати, нет

справедливость утверждения не очевидна даже после того, как ты пришёл к
этому выводу, потому что из существования решения не следует его
единственность

case in point: замени 79 на 77

(40,39) - единственное решение, а (39,38) - нет
0 new messages